新高考数学一轮复习《导数小题易错练》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《导数小题易错练》课时练习

一              、选择题

1.已知下列四个命题，其中正确的个数是(　　)

①(2x)′＝x·2x﹣1；                    ②(sin 2x)′＝cos 2x；

③(logax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)；   ④(ln 2)′＝.

A.0        B.1         C.2           D.3

【答案解析】答案为：A

解析：①(2x)′＝2x·ln 2，所以①错误；

②(sin 2x)′＝2cos 2x，所以②错误；

③(logax)′＝(a＞0，且a≠1)，所以③错误；

④(ln 2)′＝0，所以④错误.

2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝﹣3处取得极大值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

【答案解析】答案为：D

解析：函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝﹣3处取得极大值，当x＜﹣3时，f′(x)＞0；当x＝﹣3时，f′(x)＝0；当x＞﹣3时，f′(x)＜0.所以当x＜﹣3时，xf′(x)＜0；当x＝﹣3时，xf′(x)＝0；当﹣3＜x＜0时，xf′(x)＞0；当x＝0时，xf′(x)＝0；当x＞0时，xf′(x)＜0.

3.已知f(x)＝，则当0＜x＜1时，下列大小关系正确的是(　　)

A.[f(x)]2＜f(x2)＜f(x)          B.f(x2)＜[f(x)]2＜f(x)

C.f(x)＜f(x2)＜[f(x)]2                    D.f(x2)＜f(x)＜[f(x)]2

【答案解析】答案为：D

解析：∵0＜x＜1，∴0＜x2＜x＜1.∵f′(x)＝＝，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，∴f(x2)＜f(x)＜f(1)＝0，又∵[f(x)]2＝()2＞0，∴f(x2)＜f(x)＜[f(x)]2.

4.若函数f(x)＝ex﹣(a﹣1)x＋1在(0,1)上不单调，则a的取值范围是(　　)

A.(2,e+1)                     B.[2，e＋1]

C.(-∞,2]∪[e＋1，＋∞)       D.(-∞,2)∪(e＋1，＋∞)

【答案解析】答案为：A

解析：∵f(x)＝ex﹣(a﹣1)x＋1，∴f′(x)＝ex﹣a＋1，若f(x)在(0,1)上不单调，则f′(x)在(0,1)上有变号零点，又∵f′(x)单调递增，∴f′·f′(1)＜0，即(1﹣a＋1)(e﹣a＋1)＜0，解得2＜a＜e＋1.∴a的取值范围是(2，e＋1).

5.函数f(x)＝3x﹣x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为(　　)

A.[1，]        B.[1，＋∞)      C.(1，]        D.(1，＋∞)

【答案解析】答案为：A

解析：∵f(x)＝3x﹣x3，∴f′(x)＝3﹣3x2＝3(1＋x)(1﹣x)，令f′(x)＝0，则x＝1或﹣1(舍负)，当0≤x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，函数f(x)的图象如图所示，

∴1≤m≤.

6.在函数f(x)＝x3﹣x2图象上某点处的切线的倾斜角的取值范围为(　　)

A.[0,]     B.[0,)∪[,π)    C.[,π)     D.(,]

【答案解析】答案为：B

解析：由函数f(x)＝x3﹣x2，得f′(x)＝x2﹣2x，设函数f(x)＝x3﹣x2图象上任一点P(x0，y0)，且在该点处的切线的倾斜角为α(0≤α＜π)，则f′(x0)＝x﹣2x0＝(x0﹣1)2﹣1≥﹣1，∴切线斜率k≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π.∴在函数f(x)＝x3﹣x2图象上某点处，切线倾斜角的范围为[0,)∪[,π) .

7.已知函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1在x∈(﹣∞，﹣2)上单调递增，在x∈(﹣2,1)上单调递减，则函数f(x)在x∈[﹣2,2]的值域是(　　)

A.[﹣1，e]        B.[﹣1,5e﹣3]       C.[﹣1，﹣e﹣1]        D.[5e﹣3，e]

【答案解析】答案为：A

解析：由f′(x)＝[x2＋x＋a﹣1]ex﹣1，由已知可得f′(﹣2)＝0⇒a＝﹣1，则f(x)＝ex﹣1，f′(x)＝ex﹣1，当x∈[﹣2,1]时，f′(x)≤0⇒f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0⇒f(x)单调递增，则f(x)min＝f(1)＝﹣1，f(﹣2)＝5e﹣3，f＝e，f(x)max＝f＝e，综上，f(x)∈[﹣1，e].

8.已知过点A(a,0)作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　)

A.(﹣∞，﹣4)∪(0，＋∞)          B.(0，＋∞)

C.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)          D.(﹣∞，﹣1)

【答案解析】答案为：A

解析：设切点为(x0，x0)，y′＝(x＋1)ex，∴y′|＝(x0＋1)·，则切线方程为y﹣x0＝·(x﹣x0)，将点A(a,0)代入得﹣x0＝·(a﹣x0)，∴a＝，即方程x﹣ax0﹣a＝0有两个不同的实数解，则有Δ＝a2＋4a＞0⇒a＞0或a＜﹣4.

二              、多选题

9. (多选)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)的定义域是(0，＋∞)

B.当x∈时，f(x)图象位于x轴下方

C.f(x)存在单调递增区间

D.f(x)有且仅有一个极值点

【答案解析】答案为：BCD.

解析：由题意，函数f(x)＝满足解得x＞0且x≠1，所以函数f(x)＝的定义域为∪(1，＋∞)，所以A不正确；由f(x)＝知，当x∈时，ln x＜0，∴f(x)＜0，f(x)在上的图象都在x轴的下方，B正确；∵f′(x)＝，∴f′(x)＞0在定义域上有解，函数f(x)存在单调递增区间，C正确；由g(x)＝ln x﹣，则g′(x)＝＋(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确.

10. (多选)已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f′(x)满足(x＋1)·[f′(x)﹣f(x)]＞0，对于函数g(x)＝，下列结论正确的是(　　)

A.函数g(x)在上单调递增     B.x＝﹣1是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)必有2个零点               D.e2f(e)＞eef(2)

【答案解析】答案为：BD

解析：函数g(x)＝，则g′(x)＝，

当x＜﹣1时，f′(x)﹣f(x)＜0，故g(x)在上单调递减，A错误；

当x＞﹣1时，f′(x)﹣f(x)＞0，故g(x)在上单调递增，故x＝﹣1是函数g(x)的极小值点，B正确；

若g＜0，则y＝g(x)有两个零点，若g＝0，则y＝g(x)有一个零点，

若g＞0，则y＝g(x)没有零点，故C错误；g(x)在上单调递增，

则g＜g，即＜，化简得e2f(e)＞eef(2)，D正确.

三              、填空题

11.若函数f(x)＝x3﹣ax2＋x﹣5无极值点，则实数a的取值范围是________.

【答案解析】答案为：[﹣1,1]

解析：∵f(x)＝x3﹣ax2＋x﹣5，∴f′(x)＝x2﹣2ax＋1，由函数f(x)＝x3﹣ax2＋x﹣5无极值点知，f′(x)＝0至多有1个实数根，∴Δ＝(﹣2a)2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤1，故实数a的取值范围是[﹣1,1].

12.已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈[0，＋∞)，均满足：xf′(x)＋2f(x)＞0，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(2x)＜g(1﹣x)的解集是________.

【答案解析】答案为：(﹣1,).

解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴g(x)＝x2f(x)是R上的偶函数，

∵xf′(x)＋2f(x)＞0，∴当x∈[0，＋∞)时，x2f′(x)＋2xf(x)≥0，

∴g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)≥0，∴g(x)＝x2f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴|2x|＜|1﹣x|，即(x＋1)(3x﹣1)＜0.解得﹣1＜x＜，∴所求不等式的解集为(﹣1,).

13.已知函数f(x)＝﹣ex＋2x﹣x3(e为自然对数的底数)，若f(3a2)＋f(2a﹣1)≥0，则实数a的取值范围是________.

【答案解析】答案为：[-1,].

解析： 由题意得f′(x)＝﹣﹣ex＋2﹣x2＝﹣(ex＋)＋2﹣x2， 因为ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，所以f′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减，又因为f(x)为奇函数，f(3a2)＋f(2a﹣1)≥0，所以f(3a2)≥﹣f(2a﹣1)＝f(1﹣2a)，即3a2≤1﹣2a，解得﹣1≤a≤.

14.已知函数f(x)＝.若函数f(x)在区间(a,a＋)上存在极值，则正实数a的取值范围是_______；如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，那么实数k的取值范围是_______.

【答案解析】答案为：(,1)和(﹣∞，2].

解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝﹣，

令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.

所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，

所以0＜a＜1＜a＋，故＜a＜1，即实数a的取值范围为(,1).

当x≥1时，k≤恒成立，令g(x)＝(x≥1)，

则g′(x)＝＝.

再令h(x)＝x﹣ln x(x≥1)，则h′(x)＝1﹣≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，

所以g(x)为增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(﹣∞，2].