2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期第一学段检测（月考）数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期第一学段检测数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A．， B． C． D．

【答案】C

【分析】先解方程得交点坐标，再求集合运算即可.

【详解】解：解方程得，

所以，

故选：C

2．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】题图中阴影部分表示集合，即可求

【详解】题图中阴影部分表示集合.

故选：B

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；

故选：C

4．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用基本不等式判断.

【详解】对于A，若，则满足，且，而，所以A错误，

对于B，若，则满足，且，而，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确，

对于D，若，则满足，且，而，所以D错误，

故选：C

5．“且”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由且，则且，所以，即充分性成立；

由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；

故“且”是“”的充分不必要条件；

故选：B

6．下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1

【答案】B

【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.

【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；

当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；

当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；

当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．

故选：B.

7．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.

【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；

对于B，，无法判断，故B错误；

对于C，因为，，故C正确；

对于D，因为，故，即，故D错误．

故选：C．

8．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能

【答案】A

【分析】根据杠杆原理以及基本不等式即可求解.

【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为

由杠杠平衡原理可得，，所以，这样可知称出的黄金大于.

故选:A

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“且”是“”的充分不必要条件

C．当时，“”是“方程有解”的充要条件

D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.

【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；

对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；

对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.

对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.

故选：ABD.

10．下列命题为真命题的为（    ）

A． B．当时，，

C．成立的充要条件是 D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】对于A，通过配方判断，对于B，由根的判别式判断，对于C，举例判断，对于D，由充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】对于A，因为，所以恒成立，所以A正确；

对于B，当时，方程的判别式，所以，成立，所以B正确；

对于C，若，则，所以成立的充要条件是是错误的；

对于D，当，时，，而当时，成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.

故选：ABD.

11．已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，方程的两个实数根之和为0

B．方程无实数根的一个必要条件是

C．方程有两个正根的充要条件是

D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是

【答案】BD

【分析】对于A，直接解方程判断，对于B，根据必要条件的定义判断，对于CD，根据根的分布和充要条件的定义判断.

【详解】对于选项，方程为，方程没有实数根，所以选项错误；

对于选项B，如果方程没有实数根，则，所以是的必要条件，所以选项B正确；

对于选项C，如果方程有两个正根，则，所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项错误；

对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则，所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.

故选：BD

12．若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（   ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】AB

【分析】求出二次函数的对称轴为，分别对和进行分类讨论，即可得到答案

【详解】解：二次函数的对称轴为，

①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，

且时，即满足题意；

②若时，

如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，

则时，，解得，

此时，，

综上，，

故选：AB．

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数a的值为___________.

【答案】或

【分析】讨论与时两种情况求解即可.

【详解】，

当时，为，满足；

当时，，若则，即，解得.

综上所述，或

故答案为：或

14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.

【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，

故集合为集合的真子集，故只需.

故答案为：.

15．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____.

【答案】25

【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.

【详解】设两条直角边的边长分别为，则，

故即，当且仅当时等号成立，

故直角三角形面积的最大值为，

故答案为：

16．已知为正实数，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.

【详解】由题得，

设，则.

当且仅当时取等.

所以的最小值为6.

故答案为：6

四、解答题

17．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据并集得定义求解即可；

（2）选①，由，得，列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“”是“”的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

选③，根据列出不等式，解之即可得解.

【详解】（1）解：当时，，，

所以；

（2）解：若选择①，，则，

因为，所以，又，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，

则集合为集合的真子集，

因为，所以，

又，

所以，且，

解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择③，，

又因为，，

所以或，解得：或，

所以实数的取值范围是．

18．已知不等式的解集为．

(1)求实数，的值；

(2)解关于的不等式（其中为实数）．

【答案】(1)，

(2)当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【分析】（1）根据一元二次方程的解法，可得方程的解，根据韦达定理，可得答案；

（2）代入（1）的答案，利用分解因式法，解二次不等式，可得答案.

【详解】（1）由题意，为一元二次方程，

由韦达定理，可得，解得.

（2）由（1），不等式，可得，

整理可得：，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

19．（1）已知，求的最小值；

（2）已知是正实数，且，求的最小值．

【答案】（1）7；（2）．

【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；

（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.

【详解】（1）∵，即，

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值为7．

，，．

当且仅当，即，时取等号．

∴的最小值为．

20．已知不等式的解集为.

(1)求、的值，

(2)若，，，求证：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）解不等式，即可得出实数、的值；

（2）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：由可得，解得，

所以，不等式的解集为，因此，，.

（2）证明：由已知可得，

又因为且，则，

当且仅当时，等号成立，故，故.

21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】（1）由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

（2）∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

22．已知a，b，c均为正实数.

(1)求证：.

(2)若，求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式证明即可；

（2）由利用基本不等式求最值即可.

【详解】（1）因为a，b，c都是正数，所以

，当且仅当时，等号成立，

所以；

（2），

当且仅当时等号成立.

∴.