甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高一上学期第一学段考试数学试题 Word版含解析

天水一中高一级2020—2021学年度第一学期第一学段考试

数学试题

一．选择题（每题10分，共40分）

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

转化条件得，，再由集合的交集运算即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2. 下列各组函数中，与相等的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】

同一函数的判断先看定义域，再看化简后的解析式.

【详解】选项A，B的定义域不同，C选项定义域都为，化简后的解析式是，，解析式不同，

选项D定义域相同，化简后的解析式相同

故选：D

【点睛】本题考查了同一函数的判断，较简单.

3. 已知函数，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

判断出函数是奇函数，从而根据的值可求出的值.

【详解】函数的定义域为，，

函数为奇函数，则.

故选：B.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，推导出函数的奇偶性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

4. 定义在R上偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.

【详解】由于对任意的，都有，所以函数在上为减函数，由于函数是上的偶函数，故函数在上递增，且，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集是.

故选D.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

5. 函数的奇偶性是（）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数

【答案】A

【解析】

【分析】

先求定义域，再化简，最后根据奇偶性定义判断.

【详解】因为，

因此,而,所以函数是奇函数，选A.

【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力.

6. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）

A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多

C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲比乙先到达终点

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图象，观察甲、乙的出发时间相同，路程相同，到达时间不同，速度不同来判断即可.

【详解】从图中直线可以看出，甲的图象斜率大于乙的图象斜率，，甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲比乙先到达.

故选D.

【点睛】本题主要考查了函数的表示方法---图像法，属于中档题.

7. 已知二次函数，且是偶函数，若满足，则实数的取值范围是（    ）

A  B.

C. 由的范围决定 D. 由，的范围共同决定

【答案】B

【解析】

【分析】

由是偶函数可得，从而得到函数关于对称，所以，再写出不等式，即可得答案；

【详解】是偶函数，

，函数关于对称，

，，

或，

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

8. 设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

画出函数的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．

【详解】画出函数的图象如下图所示，

结合图象可得，要使函数是在上的增函数，

需满足，解得．

所以实数取值范围是．

故选D．

【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．

9. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，

【详解】函数为偶函数，

则，故，

因为在单调递增，所以.

根据二次函数的性质可知，

不等式 ，或 者，

的解集为，

故选D.

【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.

10. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数在上的解析式，以及，求出函数在上的解析式，求出满足题意的临界值即可.

【详解】，

∴

当时，，

时，，，

时，，，

将函数大致图象绘制如下：

时，令，

解得：，，

若对于任意，都有，

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及数形结合求解恒成立问题的能力，属综合性中档题.

二．填空题（每题5分，共20分）

11. 已知，则__________．

【答案】3

【解析】

【分析】

利用指数幂的运算性质即可求解.

【详解】

故答案为：3

【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题.

12. 某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是      元

【答案】2250

【解析】

【详解】主要考查一次函数模型的应用．

解：设彩电原价为X  则：X×(1+0.4)×0.8-X=270 ，解得X=2250．

13. 若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质列出不等式组，求解即可.

【详解】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3

解得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.

14. 已知函数在定义域上是单调函数，若对任意的，都有则的值是________．

【答案】6

【解析】

【分析】

由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，

令，则，所以，解得，即可求出的解析式以及的值.

【详解】因为在定义域上是单调函数，，

所以是一个常数，

令，则，且，

令，则，所以，即，解得：，

所以 ，

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求值，属于中档题.

三．解答题（每题10分，共40分）

15.

(1)已知在上是单调函数,求的取值范围；

(2)求的解集.

【答案】(1) 或；(2) 当时,不等式的解集为空集；

当时, 不等式的解集为；

当时, 不等式的解集为.

【解析】

分析】

(1)求出函数的对称轴,然后根据二次函数的单调性,由题意分类讨论即可求的取值范围；

(2)根据一元二次方程根之间大小关系进行分类讨论求出的解集.

【详解】(1)函数 的对称轴为：

因为在上是单调函数,所以有：或,解得

或；

(2)方程的两个根为：.

当时,不等式的解集为空集；

当时, 不等式的解集为；

当时, 不等式的解集为.

【点睛】本题考查了已知函数单调性求参数问题,考查了求解一元二次不等式的解集,考查了分类讨论思想.

16. 已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；

（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

17. 养鱼场中鱼群的最大养殖量为，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为．注：

（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围．

【答案】（1）（2）.（3）.

【解析】

【分析】

（1）鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为，根据空闲率的公式求出空闲率的表达式，即可得到关于的函数关系式；

（2）结合（1），使用配方法，易分析出鱼群每年增长量的最大值；

（3）由于，结合（2）的结论，解不等式，即可得到答案．

【详解】（1）由题意得，空闲率为，由于鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为，所以.

（2）由（1）得：.

当时，，

即鱼群年增长量的最大值为.

（3）由题意可得，，即，.又，.

的取值范围是.

【点睛】本题解题的关键是理解题意，将实际问题转化为常规的数学问题—二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题，属于中档题．

18. 已知定义域为的函数满足对任意，都有

（1）求证:是奇函数；

（2）设，且当时，，求不等式的解集.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）利用赋值法，由，得到得证..

（2）将变为 ， 所以，再根据当时，，利用单调性的定义来判断其单调性，由（1）易知是偶函数，将转化，再利用的单调性求解.

【详解】（1）令，得

令，得

令，，

得

是奇函数.

（2），

，

设，则，所以

在上是减函数

偶函数

∴不等式的解集为或.

【点睛】本题主要考查了抽象函数奇偶性的判断和奇偶性与单调性的综合应用，还考查推理论证的能力，属于难题.