2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题16 圆锥曲线中的存在性问题 Word版含解析

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专题16  圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．(1)若点的纵坐标为，求的值；(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；(3)证明：存在常数、，使得．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．(1)若直线垂直于轴，求线段的长；(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；(3)若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．(1)若的坐标为，求四边形的面积；(2)若与椭圆相切于且，求的值；(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．(1)求点P的轨迹E的方程；(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，①求证：是定值．②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知△ABC的顶点，，满足：．(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，且A为椭圆上的一点.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线与抛物线相交于两点，射线，与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，对于任意时，总存在实数t，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，已知离心率为的椭圆的左右顶点分别为､，是椭圆上异于､的一点，直线､分别交直线于､两点.直线与轴交于点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若线段的中点为，问在轴上是否存在定点，使得当直线､的斜率､存在时，为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点P的轨迹方程C；(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值；(3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线的焦点为F，不过原点的直线l交抛物线C于A，B两不同点，交x轴的正半轴于点D．(1)当为正三角形时，求点A的横坐标；(2)若，直线，且和C相切于点E；①证明：直线过定点，并求出定点坐标；②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．(1)若，求证：；(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于第一象限的点，且，过点（不同于焦点F）的直线与抛物线E交于A，B，过A作抛物线的切线交y轴于M，过B作的平行线交y轴于N．(1)求抛物线方程及直线的斜率；(2)记为与y轴围成三角形的面积，是否存在实数使，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆的右焦点为，，为上不同的两点，且，．(1)证明：，，成等差数列；(2)试问：轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.(1)求抛物线的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为线段的中点，过的直线与的右支交于两点，延长分别与交于点两点，若的离心率为为上一点.(1)求证：；(2)已知直线和直线的斜率都存在，分别记为，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且.(1)抛物线E的标准方程；(2)如图所示，过点和点分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且.（i）试求实数k的值；（ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围.