2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题14 圆锥曲线中的定值定点问题 Word版含解析

专题14  圆锥曲线中的定值定点问题

1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.

4．（2022·上海松江·二模）已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；

(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．

5．（2022·上海浦东新·二模）已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点．

(1)当直线垂直于轴时，求弦长；

(2)当时，求直线的方程；

(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

6．（2022·上海长宁·二模）已知分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆的右焦点，是椭圆上异于的点．

(1)若，求椭圆的标准方程

(2)设直线与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点，求证：的值仅与有关

(3)如图，在四边形中，，，若四边形面积S的最大值为，求的值．

7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足

(1)求点的轨迹方程；

(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形

8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆C的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆的两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过左焦点的直线交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点（不与重合），是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由.

10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆上一个动点N到椭圆焦点的距离的最小值是，且长轴的两个端点与短轴的一个端点B构成的的面积为2．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于P，Q两点．证明：直线与直线的交点T在定直线上．

11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．

(1)若是短轴，求点C坐标；

(2)是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O：x2+y2＝4与x轴交于点，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，N是MH的中点，记N的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，设直线AP，AS的斜率分别为k1，k2.证明：k1＝4k2．

13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.

14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．

15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．

(1)若的坐标为，求四边形的面积；

(2)若与椭圆相切于且，求的值；

(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．

16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆：的右顶点为A，上顶点为，直线的斜率为，原点到直线的距离为.

(1)求的方程；

(2)直线交于，两点，，证明：恒过定点.

17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点．若四边形的面积为，且，，成等差数列．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆外一点(不在坐标轴上)连接，，分别与椭圆交于，两点，直线交轴于点．试问：，两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由．

18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．

(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；

(2)请从①②两个问题中任选一个作答

①设与的斜率之积，求面积的值．

②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．

19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：

（i）的面积等于的面积；

（ii）为定值．

20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆过点，离心率为.

(1)求椭圆M的方程；

(2)已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求的值.