河北省保定市雄县2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

2023学年度九年级综合复习质量检测

数学试题（一）

本试卷共8页.总分120分，考试时问120分钟.

一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.的相反数可以表示为（    ）

A. B. C.-1 D.

2.通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1-1）.在图1-2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（    ）

A.点 B.点 C.点 D.点

3.下列各式中，运算结果等于的是（    ）

A. B. C. D.

4.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ）

A.长方体 B.正方体 C.三棱柱 D.圆柱

5.实数，，满足，且，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ）

A. B.

C. D.

6.如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为27°时，的度数为（    ）

A.27° B.53° C.57° D.63°

7.已知，，其中，下列说法正确的是（    ）

A.  B.，互为倒数

C.，互为相反数  D.以上均不正确

8.如图，在中，，，是边上的一个动点，则的度数可能是（    ）

A.55° B.62° C.120° D.130°

9.如图是石家庄市地图的一部分，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度表示.市二中的坐标为，省二院的坐标为，则省二院在市二中的（    ）

A.北偏东30°方向 B.北偏西30°方向 C.北偏东45°方向 D.北偏东60°方向

10.某村耕地总面积为100公顷，该村人均耕地面积为（单位：公顷/人），总人口为（单位：百人），选取6组数对在坐标系中进行描点，则正确的是（    ）

A. B.

C. D.

11.如图，已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则，，三点所构成的三角形是（    ）

A.含30°角的直角三角形 B.等边三角形

C.顶角是30°的等腰三角形 D.视点的位置而定

12.用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中不正确的是（    ）

A. B.

C.  D.

13.如图是嘉嘉和淇淇比较与的过程，下列关于两人的思路判断正确的是（    ）

A.嘉嘉对，淇淇错  B.嘉嘉错，淇淇对

C.两人都对  D.两人都错

14.图8-1，图8-2分别是某小组7月份和8月份读书册数的统计图，与7月份相比，8月份读书册数的变化情况是（    ）

A.中位数变大，方差不变 B.中位数变小，方差不变

C.中位数不变，方差变小 D.中位数不变，方差变大

15.有若干片相同的拼图，其形状如图9-1所示，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐.当4片拼图紧密拼成一行时长度为，如图9-2所示.当10片拼图紧密拼成一行时长度为，如图9-3所示.设图9-1中的两部分的长度分别为，，则正确的是（    ）

A.依题意，

B.1片拼图的长度为

C.将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加

D.将片拼图紧密拼成一行时，总长度为

16.如图，等边三角形的边长为，半圆的直径为1，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）.下列结论正确的是（    ）

结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；结论Ⅱ：使得的值有两个；

结论Ⅲ：点运动的路径长为.

A.Ⅰ对Ⅱ对 B.Ⅱ错Ⅲ对 C.Ⅰ对Ⅲ错 D.Ⅰ错Ⅲ对

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）

17.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，则它获得食物的概率是______.

18.一个多边形纸片按如图所示的剪法剪去一个内角后，多边形的内角和______（填“增加”或“减少”______度.

19.在矩形中，的长度为，的长度为（），将矩形进行如图所示顺序的折叠.第三步折叠后，点与点的对应点分别为，.

（1）若点落在点下方，则______；（用含，的代数式表示）

（2）若点，重合，则______；

（3）b的值保持不变，改变的值，且点始终落在点下方.若四边形的面积的最大值为3，则______

三、解答题（本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（本小题满分9分）

如图，阶梯图有四级台阶，每个台阶上都标着一个数.已知第1个台阶上的数是.

（1）按照从下到上的顺序，每一个台阶阶上的数比前一个台阶上的数大2，求第4个台阶上的数；

（2）按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数是前一个台阶上的数的，用科学记数法表示第4个台阶上的数.

21.（本小题满分9分）

某市中考体育必考科目是长跑（男生1000米，女生800米）；抽考科目有4项[50米、立定和跳远、跳绳、男生引体向上或实心球（女生仰卧起坐或实心球）]；选考科目有足球、篮球和排球，每个考生任选一项作为选考考试项目.嘉嘉和淇淇在中考体育中各项成绩（每一项满分10分的）条形统计图如图所示.

（1）分别求出嘉嘉和淇淇的成绩之和，并说明他们两个谁更优秀；

（2）如果中考体育长跑，抽考科目、选考科目按照6:5:4的比例计算成绩，分别计算他们的中考体育综合成绩，并判断（1）中的结果是否会改变.

22.（本小题满分9分）

观察以下10个乘积，回答下列问题.

；；；；；；；；；.

【探究】经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式.

例如：，列出方程组，解，的值即可.

按照以上思路写出“将写成平方差的形式”的完整过程；

【发现】观察以上10个乘积，当时，______；（比较大小）

【拓展】当时，比较与的大小，并说明理由.

23.（本小题满分10分）

如图，点，在抛物线：上，点在点的右侧.

（1）写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并求的值；

（2）点是抛物线上点，之间的曲线段上的动点（包括端点），求的最大值与最小值的差；

（3）将抛物线进行平移（点随之移动），使平移后的抛物线与轴的交点分别为，，直接写出点移动的最短距离.

24.（本小题满分10分）

如图17-1，某厂家设计生产一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮.将中药放入碾槽中，滚动碾轮，可将中药粉碎，碾槽简易示意图如图17-2所示.经测量碾槽两端，的距离为，碾轮直径为，碾轮中心轴的直径为，设碾轮中心轴的截面圆圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点.

（1）求点，的距离及碾槽底部圆弧所在圆的半径；

（2）将碾轮（包括点）从图17-2的位置滚动到图17-3的位置，碾轮与碾槽的接触点从点变成点，求图17-3中的度数.（参考数据：，，）

25.（本小题满分10分）

如图18-1，已知直线：，点在直线上.是过定点的一簇直线.嘉淇用绘图软件观察与的关系.记过点时的直线为.

（1）求的值及的解析式；

（2）探究与的数量关系；当与轴的交点为时，记此时的直线为，与的交点记为，求的长；

（3）当与直线的交点为整点（横、纵坐标均为整数），且的值也为整数时，称为“美好直线”.

①在如图18-2所示的视窗下（，），求为“美好直线”时的值；

②视窗的大小不变，改变其可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心.现将图18-2中坐标系的单位长度变为原来的，使得在视窗内能看到所有“美好直线”与直线的交点，求的最小整数值.

26.（本小题满分12分）

在四边形中，，，，.直角三角板含45°角的顶点在上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点.

（1）如图19-1，当时，求证：；

（2）如图19-2，在上有一点，.若点从点到点移动的速度为每秒个单位长，求点在直角三角板内部（包括边界）的时长；

（3）连接，当的外心落在的边上时，求的值；

（4）直接写出点移动过程中的外接圆半径的最小值.

2023学年度九年级综合复习质量检测

数学试题（一）参考答案

评分说明：

1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分.

2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分.

一、（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共计42分）

【精思博考：16.，弧的长与弧的长之和为定值；

，为定值，点的运动轨迹是一段弧.

如图，取点的运动轨迹所在圆上一点，则，

.

连接，则.在中，， ， ，点运动的路径长为】

二、（每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）

17. 18.增加；180 19.（1）；（2）；（3）6

【精思博考：19.（3）设四边形的面积为，则.

由题意，的取值范围为,当时，取最大值，最大值为，.，】

三、20.解：（1）第4个台阶上的数为；………………………………………………（4分）

（2）第4个台阶上的数为.………………………………………………（9分）

21.解：（1）嘉嘉的成绩之和：（分）；淇淇的成绩之和：（分），

两人一样优秀；………………………………………………………………………………………（4分）

（2）嘉嘉的综合成绩：；淇淇的综合成绩：.

，嘉嘉的成绩更优秀，（1）中的结果会改变.…………………………………………（9分）

22.解：【探究】，则解得；…………（4分）

【发现】≤；………………………………………………………………………………………………（6分）

【拓展】当时，；………………………………………………（7分）

理由：，.…………………（9分）

23.解：（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为，的值为；……………………（4分）

（2）令，解得，.…………………………………………………………（6分）

当时，的最大值与最小值的差为，当时，的最大值与最小值的差为；………………………………………………………………………………………………（8分）

（3）点移动的最短距离为3.………………………………………………………………（10分）

【精思博考：平移后的抛物线的解析式为，顶点坐标为，顶点移动的最短距离为，即为点移动的最短距离】

24.解：（1）如图，连接，则点必在上，碾槽底部圆弧所在圆的圆心必在线段的延长线上，设碾槽底部圆弧所在圆的圆心为，连接.

.………………………………………………（2分）

在中，，解得；………………………………………（6分）

（2）在中，，，，.

设，由题意，得，解得，即的度数为106°.………（10分）

25.解：（1）的值为3；……………………………………………………………………………………（1分）

将，代入中，得，，的解析式为；…………（3分）

（2）过定点，则，；……………………………………（5分）

过，且，的解析式为；

与的交点为，；………………………………………………（7分）

（2）①当，时，上的整点为，.

当过时，且，，是“美好直线”；

当过时，且，，不是“美好直线”，

综上，的值为；………………………………………………………………………………………（8分）

②的最小整数值为4.………………………………………………………………………………（10分）

【精思博考：设直线上的任一整点为，则.，，.

当，均为整数时，满足题意.

当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.

上满足条件的点为，，，，，若这些点全部出现在视窗中，的最小整数值为4】

26.解：（1），，.

在和中，；……………………………………（4分）

（2）如图1，分别过点，作，，垂足分别为，.

则.…………………………………………………（5分）

当三角板过点时，如图2，图3.

设，由（1）知，，，………………………（6分）

，即，解得，.…………………………………………（7分）

点在直角三角板内部（包括边界）的时长为：；………（8分）

（3）如图4，当时，.

，，，

；

如图5，当时，.

，，，

；

综上，当的外心落在的边上时，的长为或；……………………（10分）

（4）的外接圆半径的最小值为.………………………………………………………（12分）

【精思博考：设外接圆的圆心为，其半径为.，劣弧所对圆周角为45°.劣弧所对圆心角，

，当最小时，也最小，当最大时，最小.

设，，，，

，∴当时，有最大值，最大值为，此时.

如图6，过点作，交的延长线于点，则，，】