河北省保定市雄县2022-2023学年中考一模数学试卷

这是一份河北省保定市雄县2022-2023学年中考一模数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省初中毕业升学仿真模拟考试（一）
数学
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 若，则“？”是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3. 与的计算结果相同的是（ ）
A. 2的倒数 B. 2的相反数 C. 的相反数 D. 的倒数
4. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ）

A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图
5. 下列计算错误是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若代数式与的值相同，则m等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 如图，，E为的中点，若将线段绕点逆时针旋转后点落在线段的点处，则n的值为（ ）

A. 80 B. 100 C. 150 D. 160
8. 如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 下列图形一定为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）

A. 0．8 B. 0．96 C. 1 D. 1．08
11. 数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示数分别为，和0，则x可能是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
12. 为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可；

方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．


A. Ⅰ，Ⅱ都不可行 B. Ⅰ，Ⅱ都可行 C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行
13. 如图，手机在处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段的长度记为d，下列描述错误的是（ ）

A. 当时， B. 当时，弧所对的圆周角为
C. 当时， D. 当时，弧的长度为
14. 白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A. 中位数是4 B. 众数是4 C. 平均数是4 D. 方差是
15. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）

A. 玻璃加热速度为 B. 玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C. 能够对玻璃进行加工时长为 D. 玻璃从降至室温需要的时间为
16. “在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17. 如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为__________．

18. 在一个五子棋棋盒中放有4颗黑子和若干颗白子．
（1）若白子数量为6颗，嘉嘉随机从中摸一颗，则摸到白子的概率为__________．
（2）若拿走3颗白子后棋盒中棋子的总量为原来的，则原来棋盒中白子的数量为__________颗．
19. 如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d．

（1）__________．
（2）当面积最小时，点M到的距离为__________，d的最大值为__________．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间距离（单位：千米）．

（1）求景点C，D之间距离．（用含m的代数式表示）
（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．
21. 我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，莉莉同学本学期五方面得分如图1所示，综合成绩按照扇形统计图（图2）各项所占之比计算．

（1）求扇形图中“智”所对圆心角的度数．
（2）求莉莉的综合成绩．
22. 如图1，数轴上从左到右排列着A，B，C，D四个点，其中点A与点D之间的距离为12，原点O是的中点，B为的中点．如图2，把线段固定，让线段绕点O顺时针旋转．

（1）当时，连接，在备用图中补全图形，并求四边形的周长．
（2）当直线与线段旋转形成的扇形相切于点B时，求线段扫过的扇形面积．
23. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，．

（1）求连接水管的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：）
24. 如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示．

（1）求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
（2）求正方体铁块的体积．
25. 用绘图软件绘制抛物线m：与动直线l：相交于两点，图1为时的视窗情形．

（1）求图1中A，B两交点之间的距离．
（2）如图2，将图1中的直线l绕点B旋转得到，且经过抛物线m与x轴的交点C，M为抛物线段上一动点，过点M作轴与交于点N，求的最大值．
（3）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图3，其可视范围就由及变成了及）．若l与m的交点分别是点P和，为能看到抛物线m在点P，Q之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的k倍，求整数k的值．
26. 华罗庚是我国著名的数学家，他推广的优选法，就是以黄金分割法为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验方法．
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．
如图1，点B把线段分成两部分，如果，那么称B为线段黄金分割点，它们的比值为．

（1）如图1，若，则的长为__________．
（2）如图2，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得到折痕，连接，将折叠到上，点B对应点为点H，折痕为．延长交的延长线于点M．求证：A是的黄金分割点．
（3）如图3，在正方形的边上任取一点，连接，作，交于点F，延长交的延长线交于点P，连接．若F为的黄金分割点，求的值．
2023年河北省初中毕业升学仿真模拟考试（一）
数学
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 若，则“？”是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据零次幂可进行求解．
【详解】解：由可知：“？”是0；
故选A．
【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．
2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念: 在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴；据此回答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，掌握其定义是解题的关键．
3. 与的计算结果相同的是（ ）
A. 2的倒数 B. 2的相反数 C. 的相反数 D. 的倒数
【答案】B
【解析】
【分析】把化简，然后把各选项的值求出，即可求解．
【详解】，
A．2的倒数是，故不符合同意；
B． 2的相反数是，故符合同意；
C．的相反数2，故不符合同意；
D．的倒数2，故不符合同意；
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
4. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ）

A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可．
【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化；
故选：A．
【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识．
5. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法则对A进行判定；根据二次根式的乘法法则对C进行判定；根据二次根式的除法法则对B进行判定．根据二次根式的性质对D进行判定．
【详解】解：A．不能合并，故选项A错误，符合题意；
B．，故选项B正确，不符合题意；
C．，故选项C正确，不符合题意；
D．，故选项D正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6. 若代数式与的值相同，则m等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可.
【详解】解：∵代数式与的值相同，
.∴.，
移项得，
合并同类项得，
系数化成1得：
故选：C
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键
7. 如图，，E为的中点，若将线段绕点逆时针旋转后点落在线段的点处，则n的值为（ ）

A 80 B. 100 C. 150 D. 160
【答案】D
【解析】
【分析】由为的中点，线段绕点逆时针旋转后点落在线段的点处，可得到再根据，得出根据三角形的外角的性质即可得出结果．
【详解】解：如图所示：

∵为的中点，

∵线段绕点逆时针旋转后点落在线段的点处，






即
故选：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，外角的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
8. 如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵本题答案为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴破损处“0”的个数为3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
9. 下列图形一定为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐一判定即可．
【详解】解：A、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；
B、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；
C．有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意；
D、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
10. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）

A. 0．8 B. 0．96 C. 1 D. 1．08
【答案】B
【解析】
【分析】由，可得出进而得出解出即可得出结论．
【详解】解：
，
，
，
故选：
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．
11. 数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为，和0，则x可能是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据“数轴上表示的数从左到右依次增大”列不等式组求解．
【详解】解：∵数轴上表示数从左到右依次增大，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，解不等式组是解题的关键．
12. 为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可；

方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．


A. Ⅰ，Ⅱ都不可行 B. Ⅰ，Ⅱ都可行 C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可．
【详解】方案Ⅰ：∵，，
∴，
∴，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴Ⅱ可行，
综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13. 如图，手机在处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段的长度记为d，下列描述错误的是（ ）

A. 当时， B. 当时，弧所对圆周角为
C. 当时， D. 当时，弧的长度为
【答案】C
【解析】
【分析】A、当时，为直径，即可判断；B、当时，求出弧所对的圆心角，即可判断；C、举出反例当时，当时，，即可判断；D、当时，弧的长度为，
【详解】解：A、当时，为直径，此时，A选项描述正确，不符合题意；
B、当时，弧所对的圆心角为，弧所对的圆周角为，B选项描述正确，不符合题意；
C、当时，当时，，此时，C选项描述错误，符合题意；
D、当时，弧的长度为，D选项描述正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是圆周角定理，求弧长，把任务完成的百分比转化为弧的长度与圆周长度的百分比是解题的关键．
14. 白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A. 中位数是4 B. 众数是4 C. 平均数是4 D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据为，再分别根据中位数与众数的定义、平均数和方差公式计算即可得．
【详解】解：由题意得：这组数据为，
则中位数是，选项A正确，不符合题意；
因为4出现的次数最多，
所以众数是4，选项B正确，不符合题意；
平均数是，选项C正确，不符合题意；
方差是，选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟记各定义和公式是解题关键．
15. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）

A. 玻璃加热速度为 B. 玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C. 能够对玻璃进行加工时长为 D. 玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可．
【详解】解：∵，
∴玻璃加热速度为，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，
故B选项不合题意；
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，
由题可得，在正比例函数图象上，
代入点可得，，
∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，
∴将代入，得，
∴将代入，得，
∴，
∴能够对玻璃进行加工时长为，
故C选项符合题意；
将代入得，，
∴，
∴玻璃从降至室温需要的时间为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．
16. “在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】
【分析】已知给出了的相邻外角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【详解】∵在中，与相邻的外角是，
∴，
∴当时，；
∴当时，，
∴；
∴当时，；
综上所述，的度数为或或，
∴三人答案合在一起才完整．
故选：D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17. 如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为__________．

【答案】##360度
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360度即可求解．
【详解】解：多边形的外角和等于360度，
琪琪跑完一圈时，身体转过的角度之和是360度．
故答案为：360度．
【点睛】此题考查的是多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
18. 在一个五子棋棋盒中放有4颗黑子和若干颗白子．
（1）若白子数量为6颗，嘉嘉随机从中摸一颗，则摸到白子的概率为__________．
（2）若拿走3颗白子后棋盒中棋子的总量为原来的，则原来棋盒中白子的数量为__________颗．
【答案】 ①. ##0.6 ②. 5
【解析】
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）设原来棋盒中白子的数量为x颗，根据拿走3颗白子后棋盒中棋子的总量为原来的，列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）若白子数量为6颗，嘉嘉随机从中摸一颗，则摸到白子的概率为；
故答案为：．
（2）设原来棋盒中白子数量为x颗，根据题意得：
，
解得：，
即原来棋盒中白子的数量为5颗．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程，解方程．
19. 如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d．

（1）__________．
（2）当面积最小时，点M到的距离为__________，d的最大值为__________．
【答案】 ①. 4 ②. ③. ##
【解析】
【分析】（1）连接，可得是等边三角形，即可；
（2）当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接，根据勾股定理求出的长，即可；根据题意得当点M在线段上时，d最大，即可．
【详解】解：（1）连接，
在正六边形中，，，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：4
（2）如图1，当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接．
∴，，，
∴，
∴，
即此时M到的距离为．
如图2，当点M在线段上时，d最大，．

故答案为：；
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）．

（1）求景点C，D之间的距离．（用含m的代数式表示）
（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．
【答案】（1）千米
（2）13千米
【解析】
【分析】（1）景点C，D之间的距离等于B，D之间的距离减去B，C之间的距离；
（2）根据景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：．
答：景点C，D之间的距离为千米．
【小问2详解】
解：由题意得，
解得，
∴．
答：景点B，D之间的距离13千米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．
21. 我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，莉莉同学本学期五方面得分如图1所示，综合成绩按照扇形统计图（图2）各项所占之比计算．

（1）求扇形图中“智”所对圆心角的度数．
（2）求莉莉的综合成绩．
【答案】（1）
（2）9分
【解析】
【分析】（1）先求出“智”在扇形统计图所占的比例，再乘以即可求出结果；
（2）利用德、智、体、美、劳的分数分别乘以扇形统计图中所占的比例，即可求出结果．
【小问1详解】
解：“智”所占的比例为，
∴扇形图中“智”所对圆心角的度数为，
答：扇形图中“智”所对圆心角的度数为108°．
【小问2详解】
解：莉莉的综合成绩为：

．
答：莉莉的综合成绩为9分．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的关联、加权平均数，熟练掌握扇形统计图中的各项所占的比例乘以等于其在扇形统计图中所占圆心角度数是解题的关键．
22. 如图1，数轴上从左到右排列着A，B，C，D四个点，其中点A与点D之间的距离为12，原点O是的中点，B为的中点．如图2，把线段固定，让线段绕点O顺时针旋转．

（1）当时，连接，在备用图中补全图形，并求四边形的周长．
（2）当直线与线段旋转形成的扇形相切于点B时，求线段扫过的扇形面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据O是的中点得到，再根据B为的中点得到，根据勾股定理计算出，证明四边形为菱形即可求得周长；
（2）根据切线的性质得到，再求得，根据扇形的面积公式即可计算出面积．
【小问1详解】
解：补全图形如下：

∵点A与点D之间的距离为12，O是的中点，
∴．
∵B为的中点，
∴．
∵，
∴．
∵O是的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为菱形，
∴四边形的周长．
【小问2详解】
解：∵直线与线段旋转形成的扇形相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段扫过的扇形面积．
【点睛】本题考查勾股定理、菱形的判断和圆的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
23. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，．

（1）求连接水管的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的正切值求解即可；
（2）连接．首先证明出四边形为矩形，进而得到，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴．
答：连接水管的长为．
【小问2详解】
如图，连接．

∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：水盆两边缘C，D之间的距离为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
24. 如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示．

（1）求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
（2）求正方体铁块的体积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出得解析式即可，令时，求出值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
将点和代入中，
得，解得，
∴直线解析式为．
令，即，解得，
故容器注满水所需的时间为．
【小问2详解】
解：由图像段可知正方体的高为，
即正方体的边长为，
故正方体的体积为．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
25. 用绘图软件绘制抛物线m：与动直线l：相交于两点，图1为时的视窗情形．

（1）求图1中A，B两交点之间的距离．
（2）如图2，将图1中的直线l绕点B旋转得到，且经过抛物线m与x轴的交点C，M为抛物线段上一动点，过点M作轴与交于点N，求的最大值．
（3）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图3，其可视范围就由及变成了及）．若l与m的交点分别是点P和，为能看到抛物线m在点P，Q之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的k倍，求整数k的值．
【答案】（1）
（2）当时，的最大值为
（3）5
【解析】
【分析】（1）把代入解方程可得A，B的坐标，从而可得答案；
（2）将代入中，可得点．设直线为，可得直线的解析式为．设点M坐标为，则点N坐标为，且，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解．结合抛物线m的对称轴为直线．点P与点Q关于对称，可得．通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：将代入中，
得，解得，
∴点，点，
∴．
【小问2详解】
将代入中，得，
解得，
∴点．
设直线为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
设点M坐标为，则点N坐标为，且，
则，
∴当时，的最大值为．
【小问3详解】
将代入到中，得，
∴．
∵，
∴抛物线m的对称轴为直线．
∵点P与点Q关于对称，
∴．
通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响，
∴，解得，
故最小整数k的值为5．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解线段长度的最值，不等式的应用，理解题意，建立方程或不等式是解本题的关键．
26. 华罗庚是我国著名的数学家，他推广的优选法，就是以黄金分割法为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验方法．
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．
如图1，点B把线段分成两部分，如果，那么称B为线段的黄金分割点，它们的比值为．

（1）如图1，若，则的长为__________．
（2）如图2，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得到折痕，连接，将折叠到上，点B对应点为点H，折痕为．延长交的延长线于点M．求证：A是的黄金分割点．
（3）如图3，在正方形的边上任取一点，连接，作，交于点F，延长交的延长线交于点P，连接．若F为的黄金分割点，求的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据黄金分割的定义代入计算即可；
（2）先证明，根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后求出的值即可；
（3）根据证明得，证明得，由黄金分割的定义得，从而可证，可求，进而可求的值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴．
由折叠的性质可知，
∴，
∴．
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴A为的黄金分割点．
【小问3详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵F是的黄金分割点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值，理解黄金分割的定义是解答本题的关键．