2023年安徽省合肥市第四十二中学九年级下学期中考模拟测试数学试卷

2023年安徽省合肥市第四十二中学九年级下学期中考模拟测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在﹣1，0，﹣2，这四个数中，最小的数是（　　）

A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．

2．据报道，2023年2月合肥市人口达到万人，将万用科学记数法表示应为（    ）

A． B． C． D．

3．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，五边形中， ，、、是外角，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图为三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有三面涂色的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．二次函数的图象经过点，则代数式的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．如图，，，与交于点，若，，则点到的距离是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在中，且，点为的内心，点为边中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

12．化简：________.

13．如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为的扇形，那么这个扇形的面积为________.

14．已知二次函数.

（1）当时，二次函数的最小值为________；

（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.

三、解答题

15．计算：.

16．观察下列各式：

①，        ②，

③，        ④，

……  ……；

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：________；

(2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明.

17．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，各顶点的坐标为．

(1)在图中作出关于y轴对称的；

(2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是___．

18．某学校升气球庆祝党的二十大胜利召开．如图，一气球到达离地面高度为米的处时，仪器显示正前方一高楼顶部的仰角是，底部的俯角是．气球要飞到楼顶，应至少再上升多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，）

19．如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的值．

20．如图，已知一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点、点．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)点在轴上，且，请求出点的坐标．

21．中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)学生会随机调查了________名同学，并补全频数分布直方图；

(2)求出扇形中________，A实验所对应的圆心角为________；

(3)根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．

22．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进两种类型的头盔，已知购进3个类头盔和4个类头盔共需288元；购进6个类头盔和2个类头盔共需306元．

(1)两类头盔每个的进价各是多少元？

(2)在销售中，该商场发现类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设类头盔每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．

23．【初步尝试】

（1）如图1，在正方形中，点，分别为、边上的点且，求证：.

（2）【思考探究】

如图2，在矩形中，，，点为中点，点为上一点，连接、且，求的值.

（3）【拓展应用】

如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且.直接写出的值.

参考答案：

1．C

【分析】由于正数大于0，负数小于0，则这样比较﹣1与﹣2的大小即可，然后计算出它们的绝对值，根据负数的绝对值越大，这个数越小进行大小比较．

【详解】∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，

∴﹣2＜﹣1＜0＜．

故选C．

【点睛】此题考查有理数大小的比较，解题关键在于掌握比较方法.

2．B

【分析】用科学记数法表示绝对值较大数字时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位少1，据此即可求解．

【详解】解：万用科学记数法表示为，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定a、n的值是解答本题的关键．

3．D

【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识逐项判断即可求解．

【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不合题意；

B. ，故原选项计算错误，不合题意；

C. ，故原选项计算错误，不合题意；

D. ，故原选项计算正确，符合题意．

故选：D

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，熟知相关计算法则是解题关键．

4．B

【分析】先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即．

【详解】A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；

B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；

C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；

D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

5．B

【分析】根据平行线的性质可得，再利用多边形的内角和即可求解．

【详解】解：，，，

，

，

，

，

，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了多边形的内角和和平行线的性质，熟记多边形的内角公式为是解题的关键．

6．C

【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．

【详解】解：∵一元二次方程无实数根

∴，解得，

由一次函数可得，，

∴一次函数过一、二、四象限，不过第三象限，

故选：C

【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．

7．A

【分析】先找出恰有三面涂色的小立方块的个数，再利用概率公式求出答案.

【详解】解：由图可知，三阶魔方的小立方体共有27个，恰有三个面都涂色的小立方体正是处于三阶魔方的每个面的交点处的小立方体，也就是上面4个，下面4个，共8个.

故随机取出一个小正方体的概率为.

故答案选：A .

【点睛】本题考查了概率公式的运用，正确得出三个面都涂有颜色的小立方体是解题的关键.

8．C

【分析】先把点代入到二次函数解析式得到，进而推出，再把整体代入到所求式子中得到，由此利用二次函数的性质求解即可．

【详解】解：∵二次函数的图象经过点，

∴，

∴，

∵，

∴；

∵，，

∴当时，有最小值，最小值为，

故选C．

【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确推出且是解题的关键．

9．B

【分析】作，作交的延长线于点G，证明，根据勾股定理求出，，根据，即可得出答案．

【详解】解：作于点F，作交的延长线于点G，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∵，，

，

，

，

∴，

∴，

∴，即点到的距离是，

故选：B．

【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．

10．A

【分析】连接、，根据三角形内心的性质，得出，得出点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为，连接交于点F，交于点G，连接，，，先求出，根据垂径定理得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出结果即可．

【详解】解：连接、，如图所示：

∵，

∴，

∵点为的内心，

∴、分别平分、，

∴，，

∴，

∴，

∴为定值，

∴点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为，连接交于点F，交于点G，连接，，，如图所示：

当点P在点F时，最小，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵为的中点，

∴，，

根据旋转可知，，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

即的最小值为，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，找出点P的运动轨迹，使取最小值时，点P的位置．

11．

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解．

【详解】解：由题意得：，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12．

【分析】将分式的分子进行分解因式，再与分母进行月份即可得到答案.

【详解】解：

故答案为：.

【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是否熟练掌握因式分解.

13．

【分析】如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．

【详解】解：如图，连接，

，

为圆的直径，，

，，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

14．          或

【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值；

（2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可．

【详解】解：（1）当时，，

∵，则开口向上，

∴二次函数的最小值为，

故答案为：；

（2）二次函数，则对称轴为：，

分三种情况：

①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，

∴当时，有最小值，，解得：；

②当时，即时，此时对称轴在内，

当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，

∴当时，有最小值，，解得：；

∵，

∴，

③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，

∴当时，有最小值，，解得：（舍去）；

综上所述，或；

故答案为：或

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．

15．

【分析】先计算幂的乘方、立方根、负整数指数幂和特殊角的三角函数，再进行加减计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数与实数的综合运算，熟记特殊角的三角函数值和负整数指数幂、幂的乘方的运算法则是解题的关键．

16．(1)

(2)；证明见解析

【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是，，分子第三项是，分母第三项是，根据此规律写出第6个等式即可；

（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．

【详解】（1）解：第6个等式为；

故答案为：．

（2）解：第个等式为，

左边

右边．

故答案为：．

【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律．

17．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，先在坐标系中描出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；

（2）如图所示，连接与交于点P，点P即为所求．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，连接与交于点P，

由图可知点P的坐标为（此坐标可以利用P是的中点进行求解），

故答案啊为：．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，找对称中心，灵活运用所学知识是解题的关键．

18．米

【分析】过作，垂足为点，过作，垂足为点，则即为所求的高度．在中，运用三角函数定义求出的值；进而可在中，求出的值．

【详解】

解：过作，垂足为点，过作，垂足为点，

根据题意，楼，

∴四边形是矩形，

∴，和都是直角三角形，

∵气球到达离地面高度为米的处时，仪器显示正前方高楼顶部的仰角是，底部的俯角是，

∴，，，

在中，

∵，．

∴，

在中，

∵，．

∴（米）．

答：气球应至少再上升米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．借助仰角俯角的定义构造直角三角形是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)2

【分析】（1）连接，由题意可证，且，可得，即与相切；

（2）连接，与交于点G，由（1）得：，从而得到，进而得到，再证明四边形是矩形，即可．

【详解】（1）证明：连接，

∵，

∴，

又∵平分，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴与相切；

（2）解：连接，与交于点G，

由（1）得：，

∵是直径，

∴，

即，

∴，

∵点O为的中点，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴．

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，熟练运用切线的判定解决问题是本题的关键．

20．(1)，；

(2)点的坐标为或．

【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；

（2）先求出点C坐标，进而可得的面积，然后根据求出，即可得到点P的坐标．

【详解】（1）解：将代入得：，

∴反比例函数表达式为：；

将，代入得：，

解得：，

∴一次函数的表达式为：；

（2）解：在中，当时，解得，

∴，

∴，

∵点在轴上，且，

∴，

解得：，

∴点的坐标为或．

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将坐标转化为线段的长度进行运算是求解本题的关键．

21．(1)150；补图见解析

(2)16；

(3)640

【分析】（1）利用A实验的频数除以其所占的百分数即可求出样本总数，再用样本总数乘以B实验所占的百分数，求出B实验的学生人数，再补全直方图即可；

（2）利用C实验的学生人数除以样本总数即可求出结果，再利用A实验所占的百分数乘以即可求解；

（3）利用C实验所占的百分数乘以全校学生人数即可求解．

【详解】（1）解：学生会随机调查的学生人数为：（人），

B实验的学生人数为：（人）补全频数分布直方图如下：

故答案为：150（人）．

（2）解：由题意可知：

，A实验所对应的圆心角为：，

故答案为：16；．

（3）解：由题意可得：（人），

答：全校有640人对“水球光学实验”感兴趣．

【点睛】本题考查了扇形统计图和频率分布直方图、用样本估计总体，熟练掌握频率除以其所占的百分比求样本总数是解题的关键．

22．(1)类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元

(2)，最大利润为2048元

【分析】（1）根据解决实际应用题的步骤，设、列、解、答，列出二元一次方程组求解即可得到答案；

（2）根据题意，得到关于的函数解析式，从而利用二次函数的图像与性质得到，即当时，有最大值，最大值为2048，即可得到答案．

【详解】（1）解：设类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元，

根据题意得：，解得，

答：类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元；

（2）解：根据题意得：

∵，

∴当时，有最大值，最大值为2048，

∴关于的函数解析式为，最大利润为2048元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数的实际应用，读懂题意，根据相应关系得到方程组及函数表达式是解决问题的关键．

23．（1）见解析；（2）；（3）

【分析】（1）根据正方形的性质和角的代换证明即可；

（2）延长交于点M，如图，证明，得出，证明，求出，证明，再利用相似三角形的性质求解即可；

（3）作辅助线如详解图，先利用角的代换证明，进而可证明，得到，再由，得出，于是可得结果.

【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：延长交于点M，如图，

∵点为中点，

∴，

∵矩形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∴，

∵，

∴，即，

在直角三角形中，，

∵，

∴，

∴，即，

解得：；

（3）如图，过点作于点，设交于点，交于点，

∵，∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵即，，

∴，即；

∴，

∴.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形以及全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.