2023年广东省惠州一中教育集团中考数学质检试卷（含解析）

2023年广东省惠州一中教育集团中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.  图和图分别是用个相同的正方体搭成的立体图形，则两个图的三视图中相同的是(    )
 

A. 主视图 B. 主视图和左视图 C. 主视图和俯视图 D. 左视图和俯视图

3.  已知函数，则自变量的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

4.  一组数据：，，，，，这组数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，，直线与，分别交于点，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，切于点，交于点，，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  从一艘船上测得海岸上高为米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为，则的度数为______ ．

13.  如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______ ．

14.  若关于的方程的一个根为，则另一个根为______．

15.  已知二次函数的图象如图所示则有以下个结论：；；；；对于任意实数，总有其中正确的结论是        填序号

三、计算题（本大题共2小题，共17.0分）

16.  计算：．

17.  如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．
求反比例函数和一次函数的关系式；
求的面积；
求不等式的解集．直接写出答案

四、解答题（本大题共5小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，▱的对角线和相交于点，是等边三角形．求证：▱是矩形．

20.  本小题分
随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，我校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

本次调查的学生共有        人，估计我校名学生中“不了解”的人数是        人：
将条形统计图补充完整；
“非常了解”的人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率．

21.  本小题分
如图，中，，过、两点的交于点，且，交于点．
求证：是的切线；
若，求：的值．

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线对称轴交抛物线于点，交轴于点点是抛物线上的动点，且位于轴上方．
求抛物线的解析式．
如图，点与点关于直线对称，若，求点的坐标．
直线交轴于点，交直线于点，猜想线段、、三者之间存在的数量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数的减法法则，即可解答．
本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：图的主视图为底层是三个小正方形，上层的左侧是一个小正方形；图的主视图为底层是三个小正方形，上层的由侧是一个小正方形，故主视图不相同；
图和图的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
图和图的俯视图相同，均为底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形；
故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、，
这组数据的中位数是，
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．
B、原式，计算正确，故本选项符合题意．
C、原式，计算错误，故本选项不符合题意．
D、原式，计算错误，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减、乘除运算法则，同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
本题主要考查了二次根式的加减、乘除运算，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：由不等式组，得，
故该不等式组的解集在数轴表示为：

故选：．
根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，从而可以将该不等式组的解集在数轴上表示出来，本题得以解决．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
故选：．
根据平行线的性质解答即可．
此题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

为的切线，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，，得出，进而得出答案．
此题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为米
故选：．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：．
利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，易得结果．
本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，且，
又点是边的中点，
，
，
故答案为：．
根据四边形是菱形可知对角线相互垂直，得出，，即可求出．
本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程的另一个根是．
故答案为：．
利用两根之积等于，可求出方程的另一个根为．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，
，，
对称轴为，
，
，
，
，
正确．
抛物线与轴有两个交点，
，
，
错误．
，
正确．
当时，，
，
错误．
当时，有最大值为，
对于任意实数，总有，
对于任意实数，总有．
正确．
故答案为：．
，根据二次函数的图象的开口方向，与轴的交点位置，对称轴判断；根据二次函数的图象与轴的交点个数判断；根据对称轴判断；根据抛物线经过判断；根据当时函数取最大值判断．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握，，对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
 

16.【答案】解：原式． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数为，
又在反比例函数的图象上，
，
又，是一次函数图象上的点，
，解得
一次函数为；
过点作，垂足为点，
当时，，
，
由知，，
，，
的面积为：；
或． 

【解析】解：见答案；
见答案；
由图象知：当和时函数的图象在一次函数图象的上方，
不等式的解集为：或．
由点在反比例函数图象上，可求出，再由点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
由上问求出的函数解析式，求出三点的坐标，从而求出的面积；
由图象观察函数的图象在一次函数图象的上方，即可得到对应的的范围．
此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：为等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形为矩形． 

【解析】根据题意可求，，可得，即结论可得．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生总人数为人，
“不了解”对应的百分比为，
估计该校名学生中“不了解”的人数是人；
“不了解”的人数是人，
补全图形如下：

画树状图如下：

由图可知共有种可能的结果，恰好抽到名男生的结果有个，
所以恰好抽到名男生的概率为．
由非常了解的学生人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得答案；
用被调查人数乘以对应的百分比求出不了解人数，从而补全图形；
用树状图表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到名男生的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】证明：连接，
，根据圆周角定理，
，
，
，
，
是的切线；

解：连接，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即刻得到结论；
连接，根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理、三角形内角和为度、圆周角定理，正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：二次函数的图象过点、点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图，连接，设与轴交点为，

抛物线与轴交于点，
，
点与点关于直线对称，直线是抛物线的对称轴，
，，，，
，，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
设直线的解析式为，
把点坐标代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
点为直线与抛物线的交点，
，
解得：或舍去，
；
，，
∽，
，
，，
，
即．
分类讨论：
如图，此时，

；
如图，此时，

． 

【解析】用待定系数法求出二次函数关系式即可；
连接，设与轴交点为，证明≌，求得点的坐标，再求出直线的函数关系式，再与二次函数联立方程，求出点的坐标；
先证明∽，得，求得，再分两种情况进行讨论进行求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．