2022-2023学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.

【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.

故选：C.

2．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果.

【详解】.

故选：D.

3．若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质求得的值.

【详解】设等比数列的公比为，

所以，

根据等比数列的性质可知，解得.

故选：B

4．双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据标准方程可得的值，进而可用离心率公式求解.

【详解】由双曲线，得，，∴，，

∴，

故选:C．

5．“”是“直线与直线垂直”的（    ）．

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】当直线与直线垂直时，

，即，

∴“”是“直线与直线垂直”的

既不充分也不必要条件．

6．曲线在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.

【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，

所以曲线在点处的切线方程是，

即，

故选：B

7．⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（    ）

A． B．4

C． D．

【答案】D

【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果

【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.

圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2，

∴截得弦长为.

故选：D

【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

8．过椭圆的左焦点作相互垂直的两条直线，分别交于椭圆、、、四点，则四边形面积最大值与最小值之差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当、有一条不存在斜率时，直接求得四边形的面积. 当、都存在斜率时，设出直线的方程，利用弦长公式求得，由此求得四边形的面积的表达式，求得面积的取值范围，从而计算出正确结论.

【详解】依题意，

设点在椭圆上，则，解得.

①当、有一条不存在斜率时，

.

②当、都存在斜率时，设方程：，方程：，

与椭圆联立得，消去并化简得，

则，

.

同理可得，

∴

，

，

故当，即时取得最小值，

由于，，所以.

综上所述，的最大值为，最小值为，

则最大值与最小值之差为.

故选：A

【点睛】求解直线和圆锥曲线位置关系的题目，要注意判断直线的斜率是否存在，必要时要进行分类讨论.

二、多选题

9．已知向量，，下列说法不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据空间向量的坐标运算法则计算可得；

【详解】解：因为，，

所以，

，；

故错误的有BC；

故选：BC

10．如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】ABC

【分析】证明面即可判断A；由线面平行的判定定理可判断B；由线面角的定义求出两个线面角即可判断C；根据异面直线所成的角可判断D，进而可得正确选项

【详解】解：对于A：因为底面，面，所以，

因为底面是正方形，所以，因为，平面，

所以平面，因为平面，所以，故A正确；

对于B：因为底面是正方形，所以，因为平面，平面，

由线面平行的判定定理可得平面，故B正确；

对于C：设，连接，因为平面，平面，

所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，，

因为，，且，所以 ，

可得，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，故C正确；

对于D：因为，所以即为与所成的角，即为与所成的角，

因为，，，平面，所以平面，

因为平面，所以，所以，因为，

所以，所以，

所以与所成的角不等于与所成的角，故D不正确；

故选：ABC

11．已知椭圆：，：，则（    ）

A．，的焦点都在轴上 B．，的焦距相等

C．，没有公共点 D．离心率比离心率小

【答案】BCD

【分析】将椭圆化成标准方程，结合椭圆的的方程，根据椭圆的焦点，焦距，离心率等概念逐项判断，即可得到结果.

【详解】因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；

因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；

联立椭圆，的方程，消除，得，所以无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；

因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确．

故选：BCD.

12．已知直线与圆交于，两点，则（    ）

A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2

C．线段的中点轨迹方程为  D．直线的倾斜角为

【答案】AC

【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角，

【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确；

对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误；

对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确；

对于D，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误，

故选：AC

三、填空题

13．已知直线，.若，则________.

【答案】

【分析】根据直线与直线平行的系数关系列方程求解即可.

【详解】解：因为直线，，且，

则，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查直线与直线的平行的系数关系，是基础题.

14．已知函数，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中不正确的序号是______．

①当时函数取得极小值；

②有两个极值点；

③当时函数取得极小值；

④当时函数取得极大值．

【答案】①

【分析】由导函数的图像判断出函数f(x)的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.

【详解】由图象可知,当时,;当时, ;当时, .

所以函数f(x)在上单增，在上单减，在上单增.

f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时,函数取得极大值,故只有①不正确.

故答案为:①

15．已知数列满足，，则数列的前10项和为________．

【答案】

【分析】先根据递推式可判断为等比数列，然后求出公比和首项，最后套用等比数列的求和公式即可求出答案.

【详解】因为

所以，则数列是以为公比的等比数列，

，

故答案为：.

16．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为__________.

【答案】13.

【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.

【详解】由，得，所以双曲线的焦点坐标为，

由圆的方程知：圆圆心的坐标为，半径，

圆的圆心坐标为，半径，

分别为两圆切线，

，，

，

为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为，，

又（当为双曲线右顶点时取等号），

，

即最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.

四、解答题

17．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．

（1）求证：；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；

（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值

【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

则，，

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.

18．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？

【答案】两段铁丝的长度均为.

【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积，利用导数求它的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可.

【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，

∴两个正方形的面积和，则，

∴时，

故当时，，单调递减；当时，，单调递增；

∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.

综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小.

19．已知数列的前项和为

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)当时，求的前项和．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据与的关系即可求出通项；

（2）根据裂项相消即可求出答案；

（3）利用错位相减来求和即可.

【详解】（1）当时，，

当时，，

当，也满足上式，

所以 .

（2）由（1）知

所以 =

（3）

①

②

由②-①得  =

=

20．已知抛物线的准线与轴的交点为.

（1）求的方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据抛物线的准线求参数p，即可写出抛物线方程；

（2）设直线为，、，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，由，，代入目标式化简，即可证结论.

【详解】（1）由题意，可得，即，

∴抛物线的方程为.

（2）证明：设直线的方程为，，，

联立抛物线有，消去x得，则，

∴，，又，.

∴.

∴为定值.