重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含解析

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重庆缙云教育联盟2021-2022学年（上）年度考试

高一数学

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 命题“，”的否定为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 已知，则

A.  B.  C.  D.

3. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有个交点不含点时，则螺线长度最小值为

A.  B.  C.  D.

4. 幂函数的图象不过原点，则

A.  B.
C. 或 D.

5. 若，则

A.  B.  C.  D.

6. 锐角三角形的内角、满足：，则有

A.  B.
C.  D.

7. 若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是

A. 对任意，都有成立
B. 函数的图像关于原点成中心对称
C. 存在某个，使得
D. 对任意给定的，都有

8. 已知函数，下列关于该函数结论错误的是

A. 的最大值为 B. 的一个周期是
C. 的图象关于直线对称 D. 是区间上的增函数

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列命题中正确的是

A. 存在实数，使
B. 函数是偶函数
C. 若是第一象限角，则是第一象限或第三象限角
D. 若，是第一象限角，且，则

10. 已知函数，且，的图像如图所示，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有

A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为

12. 已知函数，下列说法正确的有

A. 函数在上单调递减
B. 函数是最小正周期为的周期函数
C. 函数的最大值与最小值之和为
D. 函数在区间内，共有个零点

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 设集合，，则______．
14. 在中，，，则面积的最大值为______．
15. 已知定义域为的函数，满足，则实数的取值范围是______．

四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

16. 已知正实数，满足，则当          时，的最小值是          ．

五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知角终边与单位圆交于点．
    求的值；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知函数．
    Ⅰ判断的奇偶性；
    Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围．
    
    已知函数的部分图象如图所示．
    求函数的解析式，并写出其单调增区间；
    在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，是方程的两个实数根，试求的周长及其外接圆的面积．

已知函数的图象与，且的图象关于轴对称，且的图象过点．
若成立，求的取值范围；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．






 

19. 已知函数其中的图象过点，且其相邻两条对称轴之间的距离为，
    求实数的值及的单调递增区间；
    若，求的值域．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知二次函数．
    若在的最大值为，求的值；
    当时，若对任意实数，总存在，，使得，求的取值范围．
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
【解答】
解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，
命题“，”的否定为：，．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：根据题意，，
若，则，
在中，令可得：，
故选：．
根据题意，令，解可得，将代入中，计算可得答案．
本题考查函数值的计算，注意特殊值法的应用，属于基础题．
 

3.【答案】
 

【解析】解：第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计次；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计次；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计欢；
前次累计画线；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计次，
累计画线；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计次；
第次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计次，
累计画线，
故选：．
根据题意，找到螺线画法的规律，从而得到答案．
本题考查了弧长问题，推理想象能力，属于中档题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：是幂函数，
则，解得：或，
时，，函数图像过原点，
时，，函数图像不过原点，
故，
故选：．
根据幂函数的定义和性质求出的值即可．
本题考查了幂函数的定义和性质，是基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

构造函数，利用其单调性比较，的大小，即可得出结果．
本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，其中构造函数是本题解题关键，属于中档题．

【解答】

解：，
，
设，则原式等价于，
函数显然单调递增，
则，
，
故选：．

6.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，都为锐角，
所以，
所以，即．
故选：．
先结合二倍角公式及同角商的关系进行化简，然后结合特殊角的三角形函数可得，关系，进而可求．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系，和差角公式在三角化简中的应用，属于中档题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：若函数为偶函数，
则对，都成立，
即对，都成立，
故选：．
根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．比较基础．
 

8.【答案】
 

【解析】解：对于，，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，
所以的最大值为，故A错误；
对于，
，
所以的一个周期是，故B正确；
对于，
，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于，在上单调递增，，
在上单调递增，
在上单调递减，，
根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，
所以是区间上的增函数，故 D正确．
故选：．
利用诱导公式证明可判断；利用可判断；利用三角函数的性质可判断；利用复合函数的单调性可判断．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：对于，由，得，即，故错误；
对于，函数是偶函数，故正确；
对于，若是第一象限的角，则，，则，可得是第一象限或第三象限角，故正确；
对于，若，，满足条件，是第一象限角，且，但，故错误．
故选：．
对于，利用二倍角的正弦公式及正弦函数的性质即可求解；
对于，利用诱导公式，余弦函数的性质即可求解；
对于，根据象限角的概念即可求解；
对于，取特例，若，，满足条件，但，即可判断得解．
本题主要考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的性质，诱导公式，余弦函数的性质，象限角的概念，属于中档题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由图像可知，
所以，
故选：．
结合指数函数的底数对图像的影响可检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数函数的图像及性质，属于基础题．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质以及对勾函数性质在解三角形中的综合应用，属于拔高题．
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合角的范围可求，即可判断；
由题意可得范围，可得，即可判断；
由正弦定理，二倍角公式可求，结合的范围，利用余弦函数的性质即可判断；
利用三角函数恒等变换的应用化简可得，又，可得，令，则，由对勾函数性质即可求解．
【解答】
解：，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确；
，，，故选项B错误；
，故选项C错误；
，
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又，，
，故选项D正确．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】解：选项A，，为偶函数，
当时，，
所以，
又，由在为先增后減，故 A 不正确；
选项B，当时，由可得，
所以函数在，且上为增凾数，在，且上为减函数，
当时，由可得，
所以函数在，且上为增函数，
在，且上为减函数，
做出函数图象如图，

又因为函数为偶函数，故不是周期函数，故B错误；
选项C，由选项的分析可知，函数的最大值为，最小值为，故最大值与最小值的和为，C 正确；
选项D，由函数图象可得在区间有个零点，故D正确，
故选：．
当时，化简函数解析式，根据正弦函数的单调性可判断；
作出函数的图象可判断；
结合图象可知函数的最大值和最小值，从而判断；
由图象可判断．
本题考查了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，属于难题．
 

13.【答案】，
 

【解析】解：集合，，
联立方程组，解得或，
所以，．
故答案为：，
联立方程组，求出交点坐标，即可得到答案．
本题考查了集合的运算，主要考查了交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
整理得，
即，
故，
过作于，

设中边上的高为，，则，
所以，，
故，
即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，
由于，
所以当最大时，三角形面积有最大值，
故三角形面积最大值为，
故答案为：．
由条件可得，过作于，设中边上的高为，，则，故有，结合基本不等式可得的最大值，从而求得三角形面积的最大值．
本题考查了三角形面积的最值问题，基本不等式的应用，属于中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以，即为奇函数，
当时，，
当时，，
当时，，又，
所以当时，，
所以函数在上为增函数，
又为奇函数，所以
函数在上为增函数，
由，得，
所以，所以，
解得或，
故答案为：．
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，可得，求解可得实数的取值范围．
本题考查函数的奇偶性的判断，以及利用单调性求不等式的解集，属中档题．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于拔高题．
利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号，而运用基本不等式后可知恰在时取得最小值，由此得解．

【解答】

解：依题意，，
即，当且仅当“”时取等号，
，
当且仅当“”时取等号，
两个取等条件相同，
故的最小值为，
故答案为：；．

17.【答案】解：由题可得，，，
则，所以；
因为，所以，
所以，
当时，上式；
当时，上式；
综上：或．
 

【解析】根据三角函数的定义，求出，，再结合二倍角公式即可求出答案；
利用角的变换，结合两角和的余弦公式即可求解．
本题考查三角函数的求值，涉及三角函数的定义，二倍角公式，以及两角和的余弦公式应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数；
Ⅱ因为在上单调递增，
故函数在上单调递减，
所以，
因为当时，恒成立，
故，
则实数的取值范围为．
 

【解析】Ⅰ利用奇函数与偶函数的定义判断即可；
Ⅱ先判断函数的单调性，利用单调性求出的取值范围，即可得到的范围．
本题考查了函数恒成立问题，函数奇偶性的判断，奇偶性函数定义的理解与应用，利用函数单调性求解函数值域的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
 

19.【答案】解：由图知，，，
所以最小正周期，
所以，
因为经过点，所以，即，
因为，所以，
所以的解析式为，
令，，则，，
故的单调增区间为，．
因为，所以，
因为，所以，
因为，是方程的两个实数根，即，
所以不妨取，，
由余弦定理知，，
所以，
所以的周长为，
由，得，
所以外接圆的半径．
 

【解析】由图易知，，，由，可得的值，再代入点，进行计算，即可得的值；由正弦函数的单调性，可得的单调增区间；
由，求得，将因式分解，可得，，再由余弦定理求出的值，由，得外接圆半径．
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正余弦定理，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，解得，，
由已知得，即
在上单调递减，
解得，
的取值范围为．
，
对于任意恒成立等价于．
，
令，，则，
，
当，即，即时，，
实数的取值范围是．
即．
 

【解析】求出函数的解析式结合函数的单调性，列出不等式组，求解即可．
利用，推出，化简函数的解析式，利用换元法求解函数的最大值，即可推出的范围．
本题考查函数以及方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：由题意可知，，．
把点代入函数的解析式可得，所以，．
解，求得：，
所以的单调递增区间为．
因为 ，所以，所以，
所以，所以的值域为．
 

【解析】由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数的增区间．
由 ，利用正弦函数的定义域和值域，求得的值域．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，分
因为，故，解得；分
当时，对称轴，在上单调递减，
所以，不合题意，舍去；
综上可得，；分
依题意得：，即，，分
当时，对恒成立，
所以，即；分
当时，对恒成立，
所以，即；分
当时，对恒成立，所以，即；分
时，对恒成立，
所以，即，分
综上所述，的取值范围为分
 

【解析】在的最大值为，分与两类讨论，可求得的值；
依题意，分、、、四类讨论，利用二次函数的图象与性质，使得对任意实数，总存在，，使得成立，即可求得的取值范围．
本题主要考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质及应用，突出考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力、抽象理解能力与运算求解能力，属于难题．