2023年中考数学专题复习：二次函数综合题训练(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题

1．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

(1)点A的坐标为　     　，点B的坐标为　       　．

(2)①求抛物线的解析式；

② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．

3．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．

(1)直接写出抛物线的函数关系式        ；

(2)请用含m的代数式表示线段PN的长        ；

(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；

(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值        ．

4．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线经过点B，C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．

①求△PBC面积最大值和此时m的值；

②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．

5．已知抛物线（a为常数，）交x轴于点A（6，0），点，交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；

(3)M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分的边MN时，求点N的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

(2)试探究抛物线上是否存在点F（不与点C重合），使|FC﹣FE|的值最大，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

7．图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

(1)求点A，B，C的坐标．

(2)P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)设M为该抛物线的顶点，D为抛物线的对称轴与x轴的交点，如图2所示，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．

(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；

(2)求直线BC的解析式；

(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；

(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点、．

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)为抛物线第一象限内一点，使得面积最大，求面积的最大值及此时点的坐标；

(3)当时，（1）中二次函数有最大值为，求的值．

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，且．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图，当D为抛物线上一点，横坐标为，请求出CBD的面积；

(3)将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，若点F为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A(，0)、B(4，0)，与y轴交于点C．

(1)求a和c的值；

(2)若点D（不与点C重合）在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；

(3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．

13．二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求、的值；

(2)是二次函数图像在第一象限部分上一点，且，求点坐标；

(3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与点重合，与点重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．

14．如图，抛物线的图像与轴交于的、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．

(1)求点、、坐标；

(2)求的面积；

(3)点是抛物线上一动点，当的面积为时，求所有符合条件的点的坐标；

15．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；

(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．

16．如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是抛物线在轴上方的一个动点．

(1)菱形的边长为______．

(2)求面积的最大值．

18．抛物线的顶点为，与直线为常数相交于，两点．当时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．

(1)求、的值；

(2)当时，若点是抛物线上异于、的一点，且满足，试判断的形状，并说明理由；

(3)若直线交轴于点，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、，连接、BF（如图2）．设、、的面积分别为、、，是否存在常数t，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（0，n），n≠0．抛物线l的顶点是（1，0），并且经过点P，点A、点B、点C的坐标分别为（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．

(1)当抛物线l过点A时，求此时抛物线l的函数关系式及点P的坐标；

(2)若存在一条新抛物线，它与抛物线l的形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过点A和第（1）问中的点P，求新抛物线l′的函数关系式，并求出新抛物线的顶点坐标；

(3)若抛物线l经过△ABC区域（含边界），请求出n的取值范围．

20．如图，抛物线与轴交于点，对称轴交轴于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，交轴于点，交轴于点，轴于点，点是抛物线的顶点，已知在点的运动过程中，的最大值是．

(1)求点的坐标与的值；

(2)当点恰好是的中点时，求点的坐标；

(3)连结，作点关于直线的对称点，当点落在线段上时，则点的坐标为______直接写出答案

参考答案：

1．(1)

(2)（1，1）

(3)存在，，，，，

2．(1)（﹣3，0），（0，3）；

(2)①，②存在，△MAB的面积最大为，此时，

(3)当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形

3．(1)

(2)

(3)存在，

(4)或

4．(1)

(2)①最大值为8，m＝2；②存在，或

5．(1)C（0，6）；抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6

(2)P（3，12）

(3)点N的坐标为（，）或（，）

6．(1)y＝x2﹣3x﹣8，点B坐标（8，0），点E坐标（3，﹣4）

(2)存在，F

(3)﹣或﹣

7．(1)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)

(2)

(3)存在，或

8．(1)，

(2)直线的解析式为

(3)存在点，使的面积最大，最大面积是16

(4)满足条件的点的坐标为，，，，，

9．(1)，顶点的坐标为

(2)最大值为，此时点坐标为

(3)或

10．(1)

(2)（11，4）

(3)或或

11．(1)

(2)

(3)，，，

12．(1)

(2)(1+，4)或(1-，4)或(2，-4)

(3)(-6，20)

13．(1)

(2)

(3)6

14．(1)，，

(2)

(3)或或或

15．(1)

(2)M（2，﹣1），y＝2x﹣5

(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)

16．(1)

(2)P（4，21），（﹣4，5）

(3)

17．(1)5

(2)15

18．(1)，

(2)是直角三角形

(3)存在，

19．(1)，

(2)，

(3)且n≠0

20．(1)B（2，0），a＝；

(2)E（，0）；

(3)E（，0）．