题型九 二次函数综合题 类型四 二次函数与角度有关的问题（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型九 二次函数综合题

类型四 二次函数与角度有关的问题（专题训练）

1.已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；

（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．

①______；

②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．

【分析】

（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；

（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；

（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；

②先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．

【详解】

解：（1）将点，代入得：，

解得，

则抛物线的解析式为；

（2）由题意得：点的坐标为，

对于二次函数，

当时，，即，

设直线的解析式为，

将点，代入得：，解得，

则直线的解析式为，

，

，，

，

，即，

解得或（与不符，舍去），

故当时，；

（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，

则点的坐标为，点的横坐标为3，

设直线的解析式为，

将点，代入得：，解得，

则直线的解析式为，

由平移的性质得：直线的解析式为，

当时，，即，

，

，

故答案为：；

②由题意得：，

则设直线的解析式为，

将点代入得：，解得，

则直线的解析式为，

联立，解得，

即直线与直线的交点坐标为，

设点的坐标为，

则，解得，即，

将点代入得：，

整理得：，

解得或，

则点的坐标为或．

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．

2.二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，当时，求直线的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为

【分析】

（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；

（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；

（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可．

【详解】

解：（1）由题意可得：

解得：，

∴二次函数的表达式为；

（2）设与y轴交于点E，

∵轴，

，

，

，

，

，设，

则，，

在中，由勾股定理得，

解得，

，

设所在直线表达式为

解得

∴直线的表达式为．

（3）设与交于点N．

过B作y轴的平行线与相交于点M．

由A、C两点坐标分别为，

可得所在直线表达式为

∴M点坐标为，

由，可得，

设，则

，

∴当时，有最大值0.8，

此时P点坐标为．

【点睛】

本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．

3.如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．

（1）求m的值和直线对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．

【答案】（1），；（2），，；（3）

【分析】

（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；

（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；

（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；

【详解】

（1）将代入，

化简得，则（舍）或，

∴，

得：，则．

设直线对应的函数表达式为，

将、代入可得，解得，

则直线对应的函数表达式为．

（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，

由（1）得直线BC的解析式为，，

∴直线AG的表达式为，

联立，

解得：（舍），或，

∴，

由直线AG的表达式可得，

∴，，

∴直线的表达式为，

联立，

解得：，，

∴，，

∴，，．

（3）如图，取点，连接，过点作于点，

过点作轴于点，过点作于点，

∵，

∴AD=CD，

又∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，则，．

设，

∵，，

∴．

由，则，即，解之得，．

所以，又，

可得直线对应的表达式为，

设，代入，

得，，，

又，则．所以．

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．

4.如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）∠OCA=45°，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．

【分析】

（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB的长；

（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可证明△DBC∽△OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；

（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案．

【详解】

（1）∵抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

∴当x=0时，y=-a，

当y=0时，，

解得：，，

∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），

∴OB=1，OA=OC=a，

∴△OCA是等腰直角三角形，

∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．

（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，

∵点D为的外心，

∴DB=DC，

∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，

∴∠OAC=45°，AC=，

∵∠BDC和∠BAC是所对的圆心角和圆周角，

∴∠BDC=2∠BAC=90°，

∴∠DBC=45°，

∴∠DBC=∠OAC，

∴△DBC∽△OCA，

∵与的周长之比为，

∴，即，

解得：，

经检验：是原方程的根，

∵,

∴a=2，

∴抛物线解析式为：=．

（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，

∵a=2，

∴C（0，-2），A（2，0），AC=，

∵∠OCA=45°，

∴∠OCF=45°，

∴△OCF是等腰直角三角形，

∴F（-2，0），

设直线CF的解析式为y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线CF的解析式为，

∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，

∴OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，

∵点D为的外心，

∴点D在直线OG上，

∵A（2，0），C（0，-2），

∴G（1，-1），

设直线OG的解析式y=mx，

∴m=-1，

∴直线OG的解析式y=-x，

∵点D为△ABC的外心，

∴点D在AB的垂直平分线上，

∴点D的横坐标为=，

把x=代入y=-x得y=-，

∴D（，-），

∴DH=，BH=1+=，

∵，∠BHD=∠ACE=90°，

∴△BHD∽△ACE，

∴，即，

解得：，

∵点E在直线CF上，

∴设点E坐标为（n，-n-2），

∴CE==，

解得：，

∴（，），（，），

设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，

∴，

解得：，

∴直线AE1的解析式为，

同理：直线AE2的解析式为，

联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，

解得：，（与点A重合，舍去），

∴P1（，），

联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，

解得：，（与点A重合，舍去），

∴P2（1，-2）．

综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）．

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键

5.已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ，求点K的坐标．

【分析】

（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；

（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M（c，c），由两点距离公式可得（c﹣2）2+（c2）2＝8，可求c＝4或，即可求解；

（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DE＝BE，由锐角三角函数可求NE，分DK与射线EC交于点N（m，4﹣m）和DK与射线EB交于N（m，4﹣m）两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．

【解析】

（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），

∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），

∵二次函数图象过点C（0，4），

∴4＝a（0+2）（0﹣4），

∴a，

∴二次函数的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4；

（2）存在，

理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，

∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC4，

设直线BP解析式为：y＝kx+b，

由题意可得：，

解得：

∴直线BP的解析式为：yx，

∵∠BMC＝90°

∴点M在以BC为直径的圆上，

∴设点M（c，c），

∵点Q是Rt△BCM的中点，

∴MQBC＝2，

∴MQ2＝8，

∴（c﹣2）2+（c2）2＝8，

∴c＝4或，

当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，

∴c，则点M坐标（，），

故线段PB上存在点M（，），使得∠BMC＝90°；

（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，

∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，

∴∠OBC＝45°，

∵DE⊥BC，

∴∠EDB＝∠EBD＝45°，

∴DE＝BE，

∵点B（4，0），C（0，4），

∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，

设点E（n，﹣n+4），

∴﹣n+4，

∴n，

∴点E（，），

在Rt△DNE中，NE，

①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），

∵NE＝BN﹣BE，

∴（4﹣m），

∴m，

∴点N（，），

∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，

联立方程组可得：，

解得：或，

∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；

②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），

∵NE＝BE﹣BN，

∴（4﹣m），

∴m，

∴点N（，），

∴直线DK解析式为：yx，

联立方程组可得：，

解得：或，

∴点K坐标为（，）或（，），

综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；

（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．

（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．

【解析】

（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3

（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，

∴A（﹣3，0），

∵B（0，3），C（1，0），

∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝3，

∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，

∴△PAO∽△CAB，

∴，

∴，

∴AP＝2．

（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝2，

①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，

∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），

②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，

∴N″（﹣4，﹣5），

综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．