2022-2023学年河南省郑州一中等中原名校高二上学期第二次联考（月考）数学试题含解析

河南省郑州一中等中原名校2022—2023学年上期第二次联考

高二数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线的倾斜角为（    ）

A．51°   B．129°   C．141°   D．149°

2．已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（    ）

A．0   B．   C．   D．

3．若直线l交圆于A，B两点，且弦AB的中点为M（1，0），则l的方程为（    ）

A．    B．

C．    D．

4．设，则“直线与直线平行”是“a＝1”的（    ）

A，充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

5．圆上到直线的距离为1的点的个数为（    ）

A．1   B．2   C．3   D．4

6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A．1.8cm  B．2.5cm  C．3.2cm  D．3.9cm

7．已知空间四边形PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（    ）

A．   B．   C．   D．

8．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（    ）

A．   B．

C．    D．

9．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标为（    ）

A．（4，0，3）  B．（1，2，3）  C．（3，1，3）  D．（2，1，3）

10．已知三点，，，则的垂心到原点的距离为（    ）

A．   B．  C．  D．

11．平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（    ）

A．  B．   C．  D．

12．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．过点（1，2）作直线l，则满足在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程是______．

14．已知，且，其中O为坐标原点，则______．

15．如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．

16．已知直线与圆交于A，B两点，且的面积为，则实数k的值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

已知直线，直线和．

（1）求证：直线l恒过定点；

（2）设（1）中的定点为P，l与，的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m．

18．（本题满分12分）

已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．

（1）求k的取值范围；

（2）若，其中O为坐标原点，求．

19．（本题满分12分）

如图，已知三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，．

（1）试用，，表示向量；

（2）若，，，求MN的长．

20．（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为．

（1）若，求实数t的值；

（2）过A点作斜率为k的直线和圆，圆均相切，求实数k的值．

21．（本题满分12分）

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，BC的中点，点P在直线上．

（1）证明：；

（2）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°时，求平面PMN与侧面的交线长．

22．（本题满分12分）

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）若过点A的直线l与点P的轨迹相交于E，F两点，M（2，0），则是否存在直线l，使取得最大值，若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

中原名校2022—2023学年上期第二次联考

高二数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解析】斜率，故选C．

2．【解析】由点A，B的坐标可得，因为，则，所以，故选B．

3．【解析】圆C的标准方程为，圆心为，因为弦AB的中点为，由垂径定理可知，，∵，故，因此，直线l的方程为，即．故选A．

4．【解析】“直线与直线平行”的充要条件是，解得或，所以是必要不充分条件．故选B．

5．【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离，所以可知有3个，故选C．

6．【解析】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选B．

7．【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令PA＝2，则，，，，则，，设异面直线PN和BM所成角为，则．故选B．

8．【解析】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：或由于直线l与圆相切，故圆心（2，0）到直线的距离等于半径

∴或∴．

故直线的方程为：，，，故选B．

9．【解析】∵在基底下的坐标为（4，2，3）∴

设在基底下的坐标为，

则，对照系数，可得：，

解得：，∴在基底下的坐标为（3，1，3），故选C．

10．【解析】由题意可得，，∴为等边三角形，故的垂心是的中心，又等边的高为，故中心为，故垂心到原点的距离．

故选B．

11．【解析】设，则P的轨迹方程为，

令，则曲线C与交于，，

令，则曲线C与交于，，

易知：．故选C．

12．【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设，

则，，，，则，故，

又，，于是，

设平面APC的法向量，则有，

可取，

则点B到平面APC的距离为，

当时，点B到平面APC的距离为0，

当时，，

当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故选D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．或  14．4

15．      16．或

13．【解析】若截距相等且不为0，可以设直线方程为：

将点（1，2）代入直线方程后可得：，解得：a＝3．此时，直线方程为：；

若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：．

综上：直线l的方程是或．

14．【解析】因为，故，即，故，

故．

15．【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

由题可得，，，，

所以，，所以，

所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是．

16．【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为r＝2，因为的面积为，可得，解得，所以或；

可得或，又由圆的弦长公式可得d＝1或，

由点到直线的距离公式：或，解得或．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解析】

（1）由题，可化为，

由于，所以，解得，

即直线l恒过定点．

（2）由（1）知，不妨设，则，

满足，解得，

代入直线l方程得．

18．【解析】

（1）由题设，可知直线l的方程为．

因为l与C交于两点，所以，解得，

所以k的取值范围为．

（2）设，．

将代入方程，整理得，

所以，．

，

由题设可得，解得，所以l的方程为y＝x＋1．

故圆心在直线l上，所以．

19．【解析】

（1）由图形知：

．

（2）由题设条件

∵．

∴，．

20．【解析】

（1）因为，，，所以，，

因为，所以，

又，解得．

（2）设直线，则，所以，

因为，所以．

因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，

所以或，即或，

当时，得；

当时，得，总之，．

将代入得；将代入得，

故k的值为或．

21．【解析】

（1）由题意AB，AC，两两垂直．

所以以，，分别作为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，．

∵M是的中点，N是BC的中点，∴，．

设，∴，则，．

则，所以．

（2）设，则，，

设平面PMN的法向量为，

则，即，令x＝3，则，

又平面ABC的一个法向量为，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°时，

∴，即，

解得，此时，如图位置，

设E为AB的中点，连接PE，交于点Q，由且

所以与全等，则Q为中点．连接QM，EN，

由Q，M分别为，中点，则

又E，N分别为AB，BC中点，则，所以

所以点E，N，M，Q共面，又

所以E，N，M，Q，P共面，即面MNP与面NMPQE重合．

所以平面PMN与侧面的交线为QM，所以交线长度为QM＝AC＝l．

22．【解析】

（1）由已知，设，则，平方整理得：，

即，所以点P的轨迹方程是．

（2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，且，，

则，联立方程：，

∴，

又∵直线l不过点，．

∵点到直线l的距离，，

∴，

∵，，∴当时，取得最大值2，

此时，，

∵直线l得方程为或．