2023长沙立信中学八年级下学期期中考试模拟卷一（原卷及解析版）

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八年级下学期期中考试模拟卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“大雪”、“白露”、“芒种”、“立春”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
2．我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就，科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，125纳米＝0.000000125米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的是（　　）
A．1.25×10﹣9米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣7米 D．1.25×10﹣6米
【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米，
故选：C．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+62＝52≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．对于直线y＝﹣x﹣1的描述正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是（0，﹣1）
C．经过点（﹣2，﹣2） D．图象不经过第二象限
【解答】解：A．∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意；
B．当x＝0时，y＝﹣×0﹣1＝﹣1，
∴直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点是（0，﹣1），选项B符合题意；
C．当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）﹣1＝0，
∴直线y＝﹣x﹣1经过点（﹣2，0），选项C不符合题意；
D．∵k＝﹣＜0，b＝﹣1＜0，
∴直线y＝﹣x﹣1经过第二、三、四象限，选项D不符合题意．
故选：B．
6．若函数y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|＝1，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
7．下列说法正确的有（　　）
①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①一组邻边相等的矩形是正方形，故①正确；
②对角线互相垂直的矩形是正方形，故②正确；
③对角线相等的菱形是正方形，故③正确；
④对角线相等的菱形是正方形，故④正确．
故选：D．
8．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠BEA
∴BE＝AB＝3
∵BC＝AD＝5
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2
故选：B．
9．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在△ABC中，∠ACB＝90°，图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）

A．25 B．175 C．600 D．625
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S，
∴S＝625．
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝8，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　）

A．15 B．9 C．17 D．18
【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE＝BC＝4，EF＝AB＝5，DB＝5，BF＝4，
∴四边形DBFE的周长＝5+4+5+4＝18，
故选：D．
11．已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象可能是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
12．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（　　）

A．小明吃早餐用了25min
B．小明读报用了30min
C．食堂到图书馆的距离为0.8km
D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）＝17min，A错误；
小明读报用了（58﹣28）＝30min，B正确；
食堂到图书馆的距离为（0.8﹣0.6）＝0.2km，C错误；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷10＝0.08km/min，D错误；
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．因式分解：2x2﹣6x＝　2x（x﹣3）　．
【解答】解：2x2﹣6x＝2x（x﹣3）．
故答案为：2x（x﹣3）．
14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥﹣1且x≠0　．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
15．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠BEF的度数为 　55°　．

【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠ABC＝∠D＝∠C＝90°．
由折叠的特性可知：∠BC′F＝∠C＝90°，∠EBC′＝∠D＝90°．
∵∠ABE+∠EBF＝90°，∠C′BF+∠EBF＝90°，且∠ABE＝20°，
∴∠C′BF＝20°．
∵∠BC′F＝90°，
∴∠BFC′＝90°﹣∠C′BF＝70°．
又∵2∠EFB+∠BFC′＝180°，
∴∠EFB＝＝55°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝55°，
∴∠BEF＝∠DEF＝55°，
故答案为：55°．
16．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为　（3，）　．

【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（，0），A（3，0），
∴H（，0），
∴直线CH解析式为y＝﹣x+4，
∴x＝3时，y＝，
∴点E坐标（3，），
故答案为：（3，）．

三．解答题（共9小题）
17．计算：．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣2 ——————————4
＝+1． ——————————2
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？

【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； ——————————3

（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km）＜250km， ——————————2
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响； ——————————1

19．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DM＝2，AN＝3，求AB的长．

【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形； ——————————3
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
∵四边形CMAN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∴DM＝BN，
∴AB＝AN+DM＝2+3＝5． ——————————3
20．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于点F．
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）作DG⊥BA延长线于点G，连接OG，如果OC：OB＝1：2，，求OG的长．

【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形． ——————————2
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形； ——————————2
（2）解：∵四边形OBEC为矩形，，
∴BC＝OE＝4，
∵OC：OB＝1：2，
∴OC＝OB，
在Rt△BOC中，OC2+OB2＝BC2，
∴（OB）2+OB2＝（4）2，
∴OB2＝64，
∴OB＝8或﹣8（不符合题意，舍去）， ——————————2
∵四边形ABCD为菱形，
∴O是BD的中点，
∵DG⊥BA，
∴OG＝BD＝OB＝8． ——————————2


21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点C（1，﹣3），且与正比例函数y＝﹣x的图象相交于点B（2，M），与x轴相交于点A．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOB的面积．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象过点B（2，M），
∴M＝﹣＝﹣1，
即B点的坐标是（2，﹣1）， ——————————1
把B（2，﹣1），C（1，﹣3）代入y＝kx+b得：，
解得：k＝2，b＝﹣5，
即一次函数y＝kx+b的解析式是y＝2x﹣5； ——————————3

（2）y＝2x﹣5，当y＝0时，2x﹣5＝0，
解得：x＝2.5，
即OA＝2.5， ——————————2
∵B（2，﹣1），
∴这两个函数图象与x轴所围成的△AOB的面积是＝． ——————————2
22．今年发布的“十四五”规划建议中指出：“治理城乡生活环境，消除城市黑臭水体”，为响应国家号召，某市准备购买甲、乙两种品牌的污水处理器，已知2套甲品牌污水处理器和3套乙品牌污水处理器共需21万元，4套甲品牌污水处理器和5套乙品牌污水处理器共需37万元．
（1）甲、乙两种品牌污水处理器的单价分别是多少万元？
（2）某市准备购买两种品牌的污水处理器共80套，要求甲品牌污水处理器的数量不能超过乙品牌污水处理器的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲品牌污水处理器的单价为x万元，乙品牌污水处理器的单价为y万元，
根据题意得：．
解得：． ——————————3
答：甲种品牌污水处理器的单价是3万元，乙品牌污水处理器的单价为5万元； ——————————1
（2）设购买甲种品牌污水处理器m套，则购买乙种品牌污水处理器（80﹣m）套，费用为w万元，
w＝3m+5（80﹣m）＝﹣2m+400， ——————————2
∵甲品牌污水处理器的数量不能超过乙品牌污水处理器的数量的3倍，
∴m≤3（80﹣m），
解得：m≤60， ——————————1
∵w＝﹣2m+400，k＝﹣2＜0，
∴w随m的增大而减少， ——————————1
∴当m＝60时，w取得最大值，此时w＝280（万元），80﹣m＝20（套）．————————1
答：购买甲种品牌污水处理器60套，则购买乙种品牌污水处理器20套，最低费用为280万元．
23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．

【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形； ——————————4

（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2； ——————————3

（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，

②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，

综上所述，∠EFC＝130°或40°． ——————————2


24．平面直角坐标系xOy中，对于点M（a，b）和点N（a，b'），若b'＝，则称点N为点M的因变点．例如：点（2，5）的因变点的坐标是（2，3），点（﹣1，2）的因变点的坐标是（﹣1，﹣2）．
（1）①点（，1）的因变点的坐标是　（，﹣1）　；
②点P（1，1），Q（﹣2，﹣3）中有一个点是函数y＝3x图象上某一个点的因变点，这个点是　P　；（填“P”或“Q”）
（2）若点M在函数y＝x﹣5（﹣3≤x≤7）的图象上，求其因变点N的纵坐标b'的取值范围；
（3）若点M在函数y＝﹣x+6（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其因变点N的纵坐标b'的取值范围是﹣8≤b'≤3，求出k的取值范围．
【解答】解：（1）①点（，1），
∵＞1，
故该点的限变点的坐标（，﹣1），
故答案为：（，﹣1）； ——————————2
②设点P是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：（1，3），该点限变点为（1，1），即为点P，
同理验证点Q不符合条件，
故答案为：点P； ——————————2

（2）由题意得：函数y＝x﹣5（﹣3≤x≤7）图象上的点M的因变点N必在函数y＝的图象上，
当x＝7时，y＝0，
当x＝1时，7＝﹣6，
当x＝﹣3时，y＝﹣8，
∴当﹣3≤x≤7时，﹣8≤b′≤0； ——————————3

（3）依题意，y＝﹣x+6（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）图象上的点M的因变点N必在函数b′＝的图象上，（如图）
当x＝1时，b'取得最大值，b′＝﹣1+4＝3，
当b′＝﹣5时，﹣x+4＝﹣5，解得x＝9，
当b′＝﹣8时，﹣x+4＝﹣8或x﹣6＝﹣8，解得x＝12或x＝﹣2，
∵﹣8≤b′≤3，
∴由图象可知k的取值范围为：9＜k≤12． ——————————3
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABO的边OB与x轴重合，顶点A（m，n）的坐标满足：m2﹣10m+25+＝0，P为AB上一点，BP＝4；动点M从点O出发，沿着O→A→B→O的方向以每秒3个单位长度的速度向着终点O运动，动点N从点B出发，沿B→P方向以每秒1个单位长度的速度向着终点P运动，且动点M、N同时出发，各自到达终点即停止运动．
（1）求A点的坐标；
（2）当MN截△OAB所得的四边形的面积等于17时，求点M的运动时间t；
（3）若动点M、N在满足（2）的条件下静止不动，此时点C为坐标平面内任意一点，请问在线段OB上是否存在这样的点D，使得以M、N、C、D为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵m2﹣10m+25+＝0，
即（m﹣5），
∴m＝5，n＝5，
∴A（5，5）； ——————————3
（2）∵A（5，5），BP＝4，△ABO为等边三角形，
∴OA＝10，
∴点M运动的总时间为＝10（秒），点N运动总时间为4秒，
当点M在线段OA上时，即0，分别过点M，N作OB的垂线，垂足为D，E，

∴OM＝3t，BN＝t，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴OD＝，EB＝，
由勾股定理得DM＝，
由题意得×++＝17，
整理得3t2﹣40t+68＝0，
解得t＝34（舍去）或2；
当点M在线段OB上且点N在线段BP上，即时，过点N作OB的垂线，垂足为F，

∴OM＝30﹣3t，BN＝t，
∴BM＝10﹣OM＝3t﹣20，FB＝，由勾股定理得FN＝，
由题意得：×，
整理得3t2﹣20t﹣32＝0，
解得t＝﹣（舍去）或8（舍去）；
当点M在线段OB上且点N到达点P，即4≤t≤10时，
OM＝30﹣3t，BN＝4，
∴BM＝10﹣OM＝3t﹣20，GB＝，由勾股定理得PG＝2，
由题意得：×＝17，
解得t＝；
综上，点M的运动时间t的值为2或； ——————————3
（3）存在，理由如下：
当t＝2时，OM＝6，BN＝2，
∴AM＝4，AN＝8，
过点M作AB的垂线，垂足为H，

△ABO为等边三角形，
∴∠A＝60°，则∠AMH＝30°，
∴AH＝，由勾股定理得MH＝2，
∴NH＝6，
∴MN2＝MH2+HN2＝48，
∵AN2＝64，AM2＝16，64＝48+16，
∴AN2＝MN2+AM2，
∴△AMN是直角三角形，且△△AMN＝90°，
∵四边形MNC1D1是矩形，
∴D1（0，0），
四边形MND2C2是矩形，
∴C2D2＝MN＝4，
同理求得OD2＝8，
∴D2（8，0）；
∵四边形MC3ND3是矩形，
∴MD3∥AB，
∴△OMD3是等边三角形，
∴OD3＝OM＝6，
∴D3（6，0）；
当t＝时，BN＝4，

∵四边形 MC4ND4是矩形，
∴BD4＝BN＝2，
∴OD4＝10﹣2，
∴D4（10﹣2，0），
综上：存在，D（0，0）或（6，0）或（8，0）或（，0）． ——————————4
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