还剩30页未读，
继续阅读
2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区四校联考九年级（下）开学数学试卷(含解析)
展开
这是一份2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区四校联考九年级（下）开学数学试卷(含解析)，共33页。试卷主要包含了下列四个运算中，结果最小的是，下列运算正确的是，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区四校联考九年级（下）开学数学试卷
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A．﹣1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．2.2×10﹣9
3．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（a﹣1）＝3a+1 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．5y3•3y2＝15y6 D．x3÷x2＝x
4．下列几何体都是由4个相同的小立方块搭成的，其中从正面看和从左面看，形状图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
7．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m＜﹣2 D．m＜﹣2且m≠﹣3
8．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有两个角为直角的四边形是矩形
C．反比例函数的图象经过点（1，﹣1）
D．若a＜b，则a2＜b2
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
11．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一动点，将△ABE沿直线BE对折，点A的落点为A′，当△A′DE为直角三角形时，线段AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6或3 D．3或4
二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）
13．计算：的值为 ．
14．不等式组：，的解集为 ．
15．从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的纸片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率 ．
16．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
18．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点G，BF⊥AE，垂足为F，若AD＝AE＝1，∠DAE＝30°，则EF＝ ．
19．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，C为x轴正半轴上一点，连接AC交y轴于点D，tan∠ACB＝，AO平分∠CAB，此时，S△ABC＝8，则k的值为 ．
三．解答题（共6小题，共63分）
20．现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市若干名教师某日“微信运动”中的步数情况，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的教师人数为 人，a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在 范围内；众数落在 范围内；
（4）若在这些被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用画树状图或者列表的方法求出被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
21．某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE＝45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于60°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm．支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求脚架BE的长度和支架最高点A到地面的距离．（结果保留根号）
22．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
23．如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．
24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；
（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；
（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．
25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM长度的最大值．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A．﹣1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
【分析】本题是对有理数的大小比较和混合运算的法则的综合考查，减去一个数等于加上这个数的相反数．除以一个数等于乘以一个数的倒数．
解：A、原式＝﹣1﹣2＝﹣3；
B、原式＝1+2＝3；
C、原式＝﹣2；
D、原式＝1×（﹣）＝﹣；
∵﹣3＜﹣2＜﹣＜3，
∴在上面四个数中，最小的数是﹣3；
故选：A．
【点评】本题综合考查了有理数大小的比较、有理数的混合运算．解决此类问题的关键是找出最大最小有理数和对加减法法则的理解．
2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．2.2×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（a﹣1）＝3a+1 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．5y3•3y2＝15y6 D．x3÷x2＝x
【分析】根据整式的乘法、除法和乘方的计算解答即可．
解：A、﹣3（a﹣1）＝﹣3a+1，选项错误，不符合题意；
B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，选项错误，不符合题意；
C、5y3•3y2＝15y5，选项错误，不符合题意；
D、x3÷x2＝x，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查整式的混合计算，关键是根据整式的乘法、除法和乘方的计算解答．
4．下列几何体都是由4个相同的小立方块搭成的，其中从正面看和从左面看，形状图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：B从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，
∠F＝90°﹣∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．
故选：C．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°．故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
7．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m＜﹣2 D．m＜﹣2且m≠﹣3
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，通过方程的解为正数得不等式，求解即可．
解：＝+2，
3x＝﹣m+2（x﹣1），
整理，得x＝﹣m﹣2．
∵方程的解为正数，
∴﹣m﹣2＞0且﹣m﹣2≠1．
∴m＜﹣2且m≠﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
8．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有两个角为直角的四边形是矩形
C．反比例函数的图象经过点（1，﹣1）
D．若a＜b，则a2＜b2
【分析】根据正方形的判定定理，矩形的判定定理，反比例函数的性质，有理数大小的比较法则解答即可．
解：A．对角线相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意；
B．有两个角为直角的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
C．反比例函数的图象经过点（1，﹣1），是假命题，不符合题意；
D．若a＜b，则a2＜b2，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握正方形的判定定理，矩形的判定定理，反比例函数的性质，有理数大小的比较法则是解决本题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】连接OP，由菱形的性质得AC⊥BD，AO＝10，BD＝5，则AB＝5，再由矩形的性质得EF＝OP，然后由三角形的面积求出OP的长，即可得到结论．
解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
解：如图，
①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，9），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，1.5），
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线y＝﹣x+4的交点上．
在直线中，当x＝0时y＝3，即Q（0，3），
当y＝0时x＝4，即点P（4，0），
则PQ＝＝5，
过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线恰好有两个交点．
所以直线上有两点C满足∠C＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为4，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一动点，将△ABE沿直线BE对折，点A的落点为A′，当△A′DE为直角三角形时，线段AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6或3 D．3或4
【分析】分两种情形：①如图1，当∠EA'D＝90°时．②如图2，当∠A'ED＝90°时，由勾股定理分别求解即可．
解：①如图1，当∠EA'D＝90°时，B，A'，D共线，设AE＝EA'＝x，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
∵BA'＝BA＝6，
∴DA'＝10﹣6＝4，
在Rt△EA'D中，DE2＝EA'2+DA'2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴AE＝3．
②如图2中，当∠A'ED＝90°时，AE＝AB＝6．
综上所述，满足条件的AE的值为3或6．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）
13．计算：的值为 0 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝3+1﹣4
＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
14．不等式组：，的解集为 ﹣1＜x≤2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x﹣≥2，得：x≤2，
由4x﹣2＜5x﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的纸片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率 ．
【分析】由四张形状、大小相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可．
解：∵四张形状、大小相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，
∴随机抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥ ．
【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当（k﹣1）2＝0，即k＝1时，解一元一次方程可得出x＝﹣，进而可得出k＝1符合题意；当（k﹣1）2≠0，即k≠1时，利用根的判别式Δ≥0，即可求出k的取值范围，综上，此题得解．
解：当（k﹣1）2＝0，即k＝1时，原方程为3x+1＝0，
解得：x＝﹣，
∴k＝1符合题意；
当（k﹣1）2≠0，即k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1≥0，
解得：k≥，
∴k≥且k≠1．
综上，k的取值范围为k≥．
故答案为：k≥．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况，找出k的值或k的取值范围是解题的关键．
17．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 π﹣ （结果保留π）
【分析】由条件可求得∠COD的度数，过O作OE⊥CD于点E，则可求得OE的长和CD的长，再利用S阴影＝S扇形COD﹣S△COD可求得答案．
解：
如图，过O作OE⊥CD于点E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠DBA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵OC＝OD＝2，
∴∠ODE＝30°，
∴OE＝1，CD＝2DE＝2
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×1×2＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COD和△COD的面积是解题的关键．
18．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点G，BF⊥AE，垂足为F，若AD＝AE＝1，∠DAE＝30°，则EF＝ ﹣1 ．
【分析】首先证明△ADE≌△GCE，推出EG＝AE＝AD＝CG＝1，再求出FG即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BG，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠G＝30°，
∵DE＝EC，∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE＝EG＝AD＝CG＝1，
在Rt△BFG中，∵FG＝BG•cos30°＝，
∴EF＝FG﹣EG＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，C为x轴正半轴上一点，连接AC交y轴于点D，tan∠ACB＝，AO平分∠CAB，此时，S△ABC＝8，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】通过设点A纵坐标与tan∠ACB＝，可表示出AB与BC的长度，再通过S△ABC＝8可求出点A坐标，作OE垂直于AC可求求出OB与OE的长度，即求出点A坐标从而求解．
解：设点A纵坐标为m，则点A坐标为（，m），作OE垂直于AC于点E，
∴AB＝m，
∵tan∠ACB＝＝，
∴BC＝＝m，
∴S△ABC＝AB•BC＝mBC＝m2＝8，
解得m＝2或m＝﹣2（舍），
∴AB＝2，BC＝，AC＝＝，
∵OE＝OB，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB•BO+AC•OE＝BO（AB+AC）＝×（2+）BO＝8，
解得BO＝，
∴点A坐标为（﹣，2），
∴k＝﹣×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与三角函数的知识点．
三．解答题（共6小题，共63分）
20．现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市若干名教师某日“微信运动”中的步数情况，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的教师人数为 50 人，a＝ 0.16 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在 8000≤x＜12000 范围内；众数落在 4000≤x＜8000 范围内；
（4）若在这些被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用画树状图或者列表的方法求出被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【分析】（1）根据4000≤x＜8000的频数与频率，求出总人数，再用0≤x＜4000的频数除以总人数即可求出a；
（2）先求出c的值，再补全统计图即可；
（3）根据中位数和众数的定义直接解答即可；
（4）画树状图列出所有等可能结果，找出被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的情况数，然后根据概率公式求解可得．
解：（1）本次调查的教师人数为：15÷0.3＝50（人），
a＝8÷50＝0.16，
故答案为：50，0.16；
（2）c＝50×0.2＝10，
补全频数分布直方图如下：
（3）把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则中位数落在8000≤x＜12000范围内；
众数落在范围内4000≤x＜8000；
故答案为：8000≤x＜12000，4000≤x＜8000；
（4）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
共有20种等可能的情况数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的有2种情况，
则被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE＝45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于60°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm．支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求脚架BE的长度和支架最高点A到地面的距离．（结果保留根号）
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据三角函数、勾股定理进行解答即可．
解：过点D作DG⊥BC于点G，延长AC交MN于点H，则AH⊥MN，
在Rt△DCG中，根据sin∠GCD＝，得DG＝CD•sin∠GCD＝，
在Rt△BDG中，根据sin∠GBD＝，得，
∵D为BE的中点，
∴BE＝2BD＝30，
在Rt△BHE中，根据cos∠HBE＝，
得BH＝BE•，
∴AH＝AB+BH＝40+30，
∴脚架BE的长度为30cm，支架最高点A到地面
的距离为（）cm．
【点评】本题是解直角三角形的应用问题，考查了三角函数、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是关键．
22．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【分析】（1）直接利用队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，进而利用总工作量为1得出等式求出答案；
（2）直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，得出不等式求出答案．
解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的，
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：
+15（+）＝1，
解得：x＝30，
检验得：x＝30是原方程的根，
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：
×36+y×≥1，
解得：y≥18，
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键．
23．如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．
【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；
（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可；
②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．
解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．
（2）①如图2，
∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝2，DN＝，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定、圆中弧长的计算，以及相似三角形的判定与性质，作高构造出相似三角形是解题的关键．
24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；
（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；
（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．
【分析】（1）如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED是矩形，解直角三角形求出AQ，QE即可解决问题．
（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF＝FH，连接CM，DH．利用全等三角形的性质证明∠H＝∠FMC＝∠DBH，再证明2∠DBH＝90°即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．解直角三角形求出DF，FA′，判断出当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2，过点D′作D′R⊥AA′于R，求出D′R即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED是矩形，
∴BD＝QE＝，
在Rt△BQE中，∠QBE＝30°，
∴，，
在Rt△ABC中，，
∴AQ＝10，
在Rt△AQE中，．
（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF＝FH，连接CM，DH．
在△BAD和△CBM中，
，
∴△BAD≌△CBM（SAS），
∴BD＝CM，∠ABD＝∠BCM，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△DFH和△CFM中，
，
∴△DFH≌△CFM（SAS），
∴DH＝CM，∠H＝∠FMC，
∴DH＝BD，∠H＝∠FMC＝∠DBH，
又∵∠FMC是△BMC的外角，
∴∠FMC＝∠BCM+∠MBC＝∠ABD+∠MBC，
∵∠ABD+∠MBC+∠DBF＝90°，
∴2∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝45°．
（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，
∴AB＝AC＝AC＝2，∠BAC＝45°，
∵AF＝FC＝2，FT⊥AB，
∴AT＝FT＝AF＝，
∵AB＝BA′＝2
∴BT＝AT＝，A′T＝3，
∴A′F＝＝＝2，
∵∠ADC＝90°，AF＝CF，
∴DF＝AC＝2，
∵DA′≥A′F﹣DF，
∴DA′≥2﹣2，
∴当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2，
过点D′作D′R⊥AA′于R，
∵FT⊥AB，
∴D′R∥FT，
∴＝，
∴＝，
∴D′R＝﹣，
∴S△D′AB＝×2×（﹣）＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM长度的最大值．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）分两种情形分别求解可得结论；
（3）根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得：当x＝时，PM的最大值．
解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或﹣1，
∴B（3，0）；
如图1，连接BD，CE′，CE′交BD于点T．
设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D点坐标代入函数解析式，得
﹣2k＝﹣4，
解得k＝2，
故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y＝2x+b，
将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，
故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，x＝．
当点E在点B的右侧时，
∵△BCD是直角三角形，
∴CE′经过BD的中点T（2，﹣2），
∴直线CT的解析式为y＝﹣x﹣3，
∴点E′的坐标是（6，0）．
∴综上所述，点E的坐标是（，0）或（6，0）；
（3）如图2，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PM有最大值为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区四校联考九年级（下）开学数学试卷
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A．﹣1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．2.2×10﹣9
3．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（a﹣1）＝3a+1 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．5y3•3y2＝15y6 D．x3÷x2＝x
4．下列几何体都是由4个相同的小立方块搭成的，其中从正面看和从左面看，形状图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
7．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m＜﹣2 D．m＜﹣2且m≠﹣3
8．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有两个角为直角的四边形是矩形
C．反比例函数的图象经过点（1，﹣1）
D．若a＜b，则a2＜b2
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
11．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一动点，将△ABE沿直线BE对折，点A的落点为A′，当△A′DE为直角三角形时，线段AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6或3 D．3或4
二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）
13．计算：的值为 ．
14．不等式组：，的解集为 ．
15．从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的纸片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率 ．
16．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
18．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点G，BF⊥AE，垂足为F，若AD＝AE＝1，∠DAE＝30°，则EF＝ ．
19．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，C为x轴正半轴上一点，连接AC交y轴于点D，tan∠ACB＝，AO平分∠CAB，此时，S△ABC＝8，则k的值为 ．
三．解答题（共6小题，共63分）
20．现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市若干名教师某日“微信运动”中的步数情况，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的教师人数为 人，a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在 范围内；众数落在 范围内；
（4）若在这些被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用画树状图或者列表的方法求出被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
21．某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE＝45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于60°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm．支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求脚架BE的长度和支架最高点A到地面的距离．（结果保留根号）
22．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
23．如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．
24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；
（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；
（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．
25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM长度的最大值．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A．﹣1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
【分析】本题是对有理数的大小比较和混合运算的法则的综合考查，减去一个数等于加上这个数的相反数．除以一个数等于乘以一个数的倒数．
解：A、原式＝﹣1﹣2＝﹣3；
B、原式＝1+2＝3；
C、原式＝﹣2；
D、原式＝1×（﹣）＝﹣；
∵﹣3＜﹣2＜﹣＜3，
∴在上面四个数中，最小的数是﹣3；
故选：A．
【点评】本题综合考查了有理数大小的比较、有理数的混合运算．解决此类问题的关键是找出最大最小有理数和对加减法法则的理解．
2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．2.2×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（a﹣1）＝3a+1 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．5y3•3y2＝15y6 D．x3÷x2＝x
【分析】根据整式的乘法、除法和乘方的计算解答即可．
解：A、﹣3（a﹣1）＝﹣3a+1，选项错误，不符合题意；
B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，选项错误，不符合题意；
C、5y3•3y2＝15y5，选项错误，不符合题意；
D、x3÷x2＝x，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查整式的混合计算，关键是根据整式的乘法、除法和乘方的计算解答．
4．下列几何体都是由4个相同的小立方块搭成的，其中从正面看和从左面看，形状图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：B从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，
∠F＝90°﹣∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．
故选：C．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°．故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
7．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m＜﹣2 D．m＜﹣2且m≠﹣3
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，通过方程的解为正数得不等式，求解即可．
解：＝+2，
3x＝﹣m+2（x﹣1），
整理，得x＝﹣m﹣2．
∵方程的解为正数，
∴﹣m﹣2＞0且﹣m﹣2≠1．
∴m＜﹣2且m≠﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
8．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有两个角为直角的四边形是矩形
C．反比例函数的图象经过点（1，﹣1）
D．若a＜b，则a2＜b2
【分析】根据正方形的判定定理，矩形的判定定理，反比例函数的性质，有理数大小的比较法则解答即可．
解：A．对角线相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意；
B．有两个角为直角的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
C．反比例函数的图象经过点（1，﹣1），是假命题，不符合题意；
D．若a＜b，则a2＜b2，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握正方形的判定定理，矩形的判定定理，反比例函数的性质，有理数大小的比较法则是解决本题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】连接OP，由菱形的性质得AC⊥BD，AO＝10，BD＝5，则AB＝5，再由矩形的性质得EF＝OP，然后由三角形的面积求出OP的长，即可得到结论．
解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
解：如图，
①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，9），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，1.5），
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线y＝﹣x+4的交点上．
在直线中，当x＝0时y＝3，即Q（0，3），
当y＝0时x＝4，即点P（4，0），
则PQ＝＝5，
过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线恰好有两个交点．
所以直线上有两点C满足∠C＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为4，
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一动点，将△ABE沿直线BE对折，点A的落点为A′，当△A′DE为直角三角形时，线段AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6或3 D．3或4
【分析】分两种情形：①如图1，当∠EA'D＝90°时．②如图2，当∠A'ED＝90°时，由勾股定理分别求解即可．
解：①如图1，当∠EA'D＝90°时，B，A'，D共线，设AE＝EA'＝x，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
∵BA'＝BA＝6，
∴DA'＝10﹣6＝4，
在Rt△EA'D中，DE2＝EA'2+DA'2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴AE＝3．
②如图2中，当∠A'ED＝90°时，AE＝AB＝6．
综上所述，满足条件的AE的值为3或6．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）
13．计算：的值为 0 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝3+1﹣4
＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
14．不等式组：，的解集为 ﹣1＜x≤2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x﹣≥2，得：x≤2，
由4x﹣2＜5x﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的纸片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率 ．
【分析】由四张形状、大小相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可．
解：∵四张形状、大小相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，
∴随机抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥ ．
【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当（k﹣1）2＝0，即k＝1时，解一元一次方程可得出x＝﹣，进而可得出k＝1符合题意；当（k﹣1）2≠0，即k≠1时，利用根的判别式Δ≥0，即可求出k的取值范围，综上，此题得解．
解：当（k﹣1）2＝0，即k＝1时，原方程为3x+1＝0，
解得：x＝﹣，
∴k＝1符合题意；
当（k﹣1）2≠0，即k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1≥0，
解得：k≥，
∴k≥且k≠1．
综上，k的取值范围为k≥．
故答案为：k≥．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况，找出k的值或k的取值范围是解题的关键．
17．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 π﹣ （结果保留π）
【分析】由条件可求得∠COD的度数，过O作OE⊥CD于点E，则可求得OE的长和CD的长，再利用S阴影＝S扇形COD﹣S△COD可求得答案．
解：
如图，过O作OE⊥CD于点E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠DBA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵OC＝OD＝2，
∴∠ODE＝30°，
∴OE＝1，CD＝2DE＝2
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×1×2＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COD和△COD的面积是解题的关键．
18．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点G，BF⊥AE，垂足为F，若AD＝AE＝1，∠DAE＝30°，则EF＝ ﹣1 ．
【分析】首先证明△ADE≌△GCE，推出EG＝AE＝AD＝CG＝1，再求出FG即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BG，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠G＝30°，
∵DE＝EC，∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE＝EG＝AD＝CG＝1，
在Rt△BFG中，∵FG＝BG•cos30°＝，
∴EF＝FG﹣EG＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，C为x轴正半轴上一点，连接AC交y轴于点D，tan∠ACB＝，AO平分∠CAB，此时，S△ABC＝8，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】通过设点A纵坐标与tan∠ACB＝，可表示出AB与BC的长度，再通过S△ABC＝8可求出点A坐标，作OE垂直于AC可求求出OB与OE的长度，即求出点A坐标从而求解．
解：设点A纵坐标为m，则点A坐标为（，m），作OE垂直于AC于点E，
∴AB＝m，
∵tan∠ACB＝＝，
∴BC＝＝m，
∴S△ABC＝AB•BC＝mBC＝m2＝8，
解得m＝2或m＝﹣2（舍），
∴AB＝2，BC＝，AC＝＝，
∵OE＝OB，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB•BO+AC•OE＝BO（AB+AC）＝×（2+）BO＝8，
解得BO＝，
∴点A坐标为（﹣，2），
∴k＝﹣×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与三角函数的知识点．
三．解答题（共6小题，共63分）
20．现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市若干名教师某日“微信运动”中的步数情况，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的教师人数为 50 人，a＝ 0.16 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在 8000≤x＜12000 范围内；众数落在 4000≤x＜8000 范围内；
（4）若在这些被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用画树状图或者列表的方法求出被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【分析】（1）根据4000≤x＜8000的频数与频率，求出总人数，再用0≤x＜4000的频数除以总人数即可求出a；
（2）先求出c的值，再补全统计图即可；
（3）根据中位数和众数的定义直接解答即可；
（4）画树状图列出所有等可能结果，找出被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的情况数，然后根据概率公式求解可得．
解：（1）本次调查的教师人数为：15÷0.3＝50（人），
a＝8÷50＝0.16，
故答案为：50，0.16；
（2）c＝50×0.2＝10，
补全频数分布直方图如下：
（3）把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则中位数落在8000≤x＜12000范围内；
众数落在范围内4000≤x＜8000；
故答案为：8000≤x＜12000，4000≤x＜8000；
（4）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
共有20种等可能的情况数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的有2种情况，
则被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE＝45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于60°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm．支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求脚架BE的长度和支架最高点A到地面的距离．（结果保留根号）
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据三角函数、勾股定理进行解答即可．
解：过点D作DG⊥BC于点G，延长AC交MN于点H，则AH⊥MN，
在Rt△DCG中，根据sin∠GCD＝，得DG＝CD•sin∠GCD＝，
在Rt△BDG中，根据sin∠GBD＝，得，
∵D为BE的中点，
∴BE＝2BD＝30，
在Rt△BHE中，根据cos∠HBE＝，
得BH＝BE•，
∴AH＝AB+BH＝40+30，
∴脚架BE的长度为30cm，支架最高点A到地面
的距离为（）cm．
【点评】本题是解直角三角形的应用问题，考查了三角函数、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是关键．
22．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【分析】（1）直接利用队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，进而利用总工作量为1得出等式求出答案；
（2）直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，得出不等式求出答案．
解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的，
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：
+15（+）＝1，
解得：x＝30，
检验得：x＝30是原方程的根，
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：
×36+y×≥1，
解得：y≥18，
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键．
23．如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．
【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；
（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可；
②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．
解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．
（2）①如图2，
∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝2，DN＝，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定、圆中弧长的计算，以及相似三角形的判定与性质，作高构造出相似三角形是解题的关键．
24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；
（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；
（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．
【分析】（1）如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED是矩形，解直角三角形求出AQ，QE即可解决问题．
（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF＝FH，连接CM，DH．利用全等三角形的性质证明∠H＝∠FMC＝∠DBH，再证明2∠DBH＝90°即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．解直角三角形求出DF，FA′，判断出当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2，过点D′作D′R⊥AA′于R，求出D′R即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED是矩形，
∴BD＝QE＝，
在Rt△BQE中，∠QBE＝30°，
∴，，
在Rt△ABC中，，
∴AQ＝10，
在Rt△AQE中，．
（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF＝FH，连接CM，DH．
在△BAD和△CBM中，
，
∴△BAD≌△CBM（SAS），
∴BD＝CM，∠ABD＝∠BCM，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△DFH和△CFM中，
，
∴△DFH≌△CFM（SAS），
∴DH＝CM，∠H＝∠FMC，
∴DH＝BD，∠H＝∠FMC＝∠DBH，
又∵∠FMC是△BMC的外角，
∴∠FMC＝∠BCM+∠MBC＝∠ABD+∠MBC，
∵∠ABD+∠MBC+∠DBF＝90°，
∴2∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝45°．
（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，
∴AB＝AC＝AC＝2，∠BAC＝45°，
∵AF＝FC＝2，FT⊥AB，
∴AT＝FT＝AF＝，
∵AB＝BA′＝2
∴BT＝AT＝，A′T＝3，
∴A′F＝＝＝2，
∵∠ADC＝90°，AF＝CF，
∴DF＝AC＝2，
∵DA′≥A′F﹣DF，
∴DA′≥2﹣2，
∴当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2，
过点D′作D′R⊥AA′于R，
∵FT⊥AB，
∴D′R∥FT，
∴＝，
∴＝，
∴D′R＝﹣，
∴S△D′AB＝×2×（﹣）＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM长度的最大值．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）分两种情形分别求解可得结论；
（3）根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得：当x＝时，PM的最大值．
解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或﹣1，
∴B（3，0）；
如图1，连接BD，CE′，CE′交BD于点T．
设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D点坐标代入函数解析式，得
﹣2k＝﹣4，
解得k＝2，
故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y＝2x+b，
将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，
故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，x＝．
当点E在点B的右侧时，
∵△BCD是直角三角形，
∴CE′经过BD的中点T（2，﹣2），
∴直线CT的解析式为y＝﹣x﹣3，
∴点E′的坐标是（6，0）．
∴综上所述，点E的坐标是（，0）或（6，0）；
（3）如图2，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PM有最大值为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
相关试卷
2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区八年级（下）适应性数学试卷（3月份）(含解析）： 这是一份2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区八年级（下）适应性数学试卷（3月份）(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区六校联考七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）： 这是一份2022-2023学年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区六校联考七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区七年级（上）期末数学试卷： 这是一份2019-2020学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区七年级（上）期末数学试卷，共19页。
