2022-2023学年内蒙古呼和浩特三十五中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古呼和浩特三十五中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图各交通标志中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  关于的方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

3.  如图，已知圆周角，则圆心角(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一个不透明的布袋里装有个红球，个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如图，圆与正方形的两边、相切，点在圆上，连结若圆的半径为，且当最大时，的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列事件中，是不可能事件的是(    )

A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 射击运动员射击一次，命中环
C. 明天会下雨 D. 度量三角形的内角和，结果是

7.  若函数的图象上有两点，若，则                           (    )

A.  B.
C.  D. 的大小不确定

8.  如图，将绕点按顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知是的直径，切于点，点是弧的中点，则下列结论：；；；其中正确的有    (    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给____ 个人．

12.  若是一元二次方程，则的值为______．

13.  若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的圆心角是______

14.  如图，二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，给出四个结论：；；；若点，为函数图象上的两点，则．

其中正确结论是______写上你认为正确的所有序号

15.  如图，已知等边的边长为，以为直径的与边、分别交于、两点，则劣弧的长为______．
 

16.  在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是______．

 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程：

四、解答题（本大题共6小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级班的名男生、名女生男生用，表示，女生用表示和九年级班的名男生、名女生男生用表示，女生用表示共人中随机选出名主持人，用树状图或列表法求出名主持人来自不同班级的概率．

19.  本小题分
已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点求证：是的切线．
 

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求的取值范围；
若，求的值．

21.  本小题分
某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于元；市场调查发现，若每箱以元的价格销售，平均每天销售箱；每箱以元的价格销售，平均每天销售箱．假定每天销售量箱与销售价元箱之间满足一次函数关系式．
求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式；
求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式；
当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接．
求证：；
若，求的长．

23.  本小题分
如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于，两点，其中点的横坐标是．
求这条直线的函数关系式及点的坐标．
在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
过线段上一点，作轴，交抛物线于点，点在第一象限，点，当点的横坐标为何值时，的长度最大？最大值是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】A.不是中心对称图形，故此选项正确；
B、、是中心对称图形，故B、、选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的定义可直接选出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的方程，
，
方程没有实数根，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：设白球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即袋中白球有个，
故选：．
设白球有个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程，解之可得．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接、，当最大时，与圆相切于点．

四边形是正方形，
，，
圆与正方形的两边、相切，
，
，
四边形是正方形，
，
和与圆相切，圆的半径为，
，，
，
故选：．
当最大时，与圆相切于点．求出长和长，根据求出即可．
本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出长和得出．
 

6.【答案】 

【解析】解：、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A选项错误；
B、射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，故B选项错误；
C、明天会下雨，是随机事件，故C选项错误；
D、度量一个三角形的内角和，结果是，是不可能事件，故D选项正确．
故选：．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
本题考查了不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
对称轴是，开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
．
故选：．
先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，找到对称轴，利用到对称轴距离进行判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：绕点旋转得到，
，
，．
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积．
故选：．
根据图形可以得出扫过的图形的面积，求出其值即可
本题考查的是扇形的面积，涉及到图形旋转的性质，全等三角形的性质，解答时根据旋转的性质求解是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由直线与轴的交点在轴的负半轴上可知，，错误，不符合题意；
B.由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意；
C.由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意；
D.由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确，符合题意．
故选：．
根据二次函数图象与轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出的符号，即可确定出正确的选项．
本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由为弧中点，利用垂径定理的逆定理得到垂直于，根据等弧对等弦得到，再由为直角，利用圆周角定理得到垂直于，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，由为圆的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用同角的余角相等得到，根据不一定为弧中点，可得出与不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
【解答】
解：设，的交点为，
为的中点，即，
，，选项正确；
，
为圆的直径，
，即，
，
，选项正确；
为圆的切线，
，即，
，
，选项正确；
点不一定为中点，故AC与不一定垂直，选项错误，
则结论成立的是．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染给个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设每轮传染中平均一个人传染给个人，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数是度，
则，
解得：．
故答案为．
根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开扇形图的弧长与原来的圆锥底面周长之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，能灵活根据二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的图象和轴的交点个数即可判断；根据对称轴即可判断，把代入即可判断，根据二次函数的性质即可判断．
【解答】
解：抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确
对称轴是直线，开口向下，
，，，
，，故错误；
图象过，对称轴为直线，
图象和轴的另一个交点的坐标是，
代入得：，故正确；
点关于直线的对称点的坐标是，
，，
，故错误；
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
连接、，先证明、是等边三角形，得出，求出，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】
解：连接、，如图所示：

是等边三角形，
，
，，
、是等边三角形，
，
，
，
的长；
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用．
过点作于，过点作轴于，交于，连接分别求出、，相加即可．

【解答】
解：过点作于，过点作轴于，交于，连接．

，
，
又，
．
点在直线上，
，
，
，
，
，
，
．
的圆心是，
点的横坐标为，
，
，
．
故答案为：．  

17.【答案】解：由求根公式有，
，． 

【解析】利用求根公式解答．
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：列表可得：

共有种等可能的结果．
其中名主持人来自不同班级的情况有种，
即名主持人来自不同班级的概率为：． 

【解析】首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果，由选出的是名主持人来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：连接；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线． 

【解析】连接，只要证明即可．
本题考查切线的判定．
 

20.【答案】解：由题意可知，，
整理得：，
解得：，
的取值范围是：；
由题意得：，
由根与系数的关系可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，，
又由中可知，
的值为． 

【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据建立不等式即可求解；
先提取公因式对等式变形为，再结合根与系数的关系求解即可．
 

21.【答案】解：设，
把已知，代入得，
，
解得：，
故平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式为：；

水果批发商销售每箱进价为元的苹果，销售价元箱，
该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式为：
．

，
，抛物线开口向下．
又对称轴为，当，随的增大而增大，
由于，当时，的最大值为元．
当每箱苹果的销售价为元时，可以获得最大利润，为元． 

【解析】利用每天销售量箱与销售价元箱之间满足一次函数关系式，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
利用该批发商平均每天的销售利润元每箱的销售利润每天的销售量得出即可；
根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可．
此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

22.【答案】证明：连接，
是的中点，是的直径，
，
是的切线，
，
，
，
；

解：是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是直径，
，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，由是的中点，是的直径，则，再由是的切线，得，从而得出，即可证明；
根据点是的中点，得，可证明≌，则，即可得出，由勾股定理得出，由是直径，得，可证明∽，即可得出的长．
本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．
 

23.【答案】解：点是直线与抛物线的交点，且横坐标为，
，即点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的函数解析式为：，
直线与抛物线相交，
，
解得：或，
当时，，
点的坐标为；
存在，如图，连接，，

由，，可求得．
设点，同理可得，
，
若，则，即，
解得：；
若，则，即，
解得：或；
若，则，即，
解得：；
点的坐标为，，，；
设，如图，延长与轴交于点，

在中，由勾股定理得，
又点与点纵坐标相同，
，
，
点的横坐标为，
，
，
又，
当，
取到最大值为，
当的横坐标为时，的长度的最大值是． 

【解析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求解析式和勾股定理的运用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
首先求得点的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
如图，连接，，然后分若，则；若，则；若，则三种情况求得的值，从而确定点的坐标；
设，如图，延长与轴交于点，首先在中，由勾股定理得，然后根据点与点纵坐标相同得到点的横坐标为，从而得到，确定二次函数的最值即可．