07根据平行线的性质求角的度数-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

这是一份07根据平行线的性质求角的度数-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

07根据平行线的性质求角的度数-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

一、单选题
1．（2022春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校考期中）如图，直线 a//b，一块含 30°角的直角三角板如图放置，∠1＝24°，则∠2 为（    ）

A．34° B．26° C．24° D．36°
2．（2022春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考期中）如图，，直线l分别交AB、CD于E、F，，则的度数是（    ）

A．119° B．122° C．132° D．139°
3．（2022春·江苏苏州·七年级苏州市振华中学校校考期中）如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为（    ）

A．40° B．30° C．35° D．25°
4．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°
5．（2022春·江苏扬州·七年级统考期中）如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°
6．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）小明将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=32°，则∠2的度数为(    )

A．32° B．48° C．58° D．68°
7．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）如图，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2等于(      )

A．70° B．100° C．110° D．20°

二、填空题
8．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角的度数为______．

9．（2022春·江苏无锡·七年级校考期中）和的两边分别平行，且，则___________．
10．（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，DEBC，CD平分∠ACB，∠ACB＝56°，则∠EDC＝________．

11．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，，，且，则______°．

12．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，直线，直线c分别与直线a、b分别相交于点M、N．若，则________°．

13．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点E恰好落在另 一张长方形纸片的一条边AB上，已知∠BEF＝32°，则∠CMF＝________°．

14．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍还少45°，则∠B等于 ___．
15．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，直线m∥n，∠1=145°，∠2=45°，则∠3=______．

16．（2022春·江苏淮安·七年级淮安市洪泽实验中学校联考期中）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与BC相交于点G，若，则___________．

17．（2022春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考期中）如图，点C在A点的北偏东15°方向，点C在B点的北偏东60°方向，则___________．

18．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α=60°，则∠β的大小为_______．
19．（2022春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，海关大厦与电视台大厦的大楼顶部各有一个射灯，当光柱相交时，且它们都在同一个平面内，若∠1=76°，则∠2+∠3= _______________°．

20．（2022春·江苏镇江·七年级镇江市外国语学校校考期中）如图，直线m∥n，∠AOB的两边分别于直线n、m交于点A、B，已知∠AOB＝120°，则∠2﹣∠1＝__．

21．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，∠ABC=100°，，动点P在射线BA上从点B开始沿BA方向运动，连接MP，当∠PMN=120°时，∠BPM的度数为 _________ ．

22．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 _____．

23．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直线a与直线b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是_____．

24．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，有一块含有角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是_______．

25．（2022春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校考期中）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2＝50°，则∠1＝_______．

26．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC＝_____°．

27．（2022春·江苏淮安·七年级淮安市洪泽实验中学校联考期中）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝65°，则∠2＝_____．

28．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．


三、解答题
29．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）如图：AB∥CD，，．求和的度数．

30．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，DE⊥AB，EFAC，∠A=31°．

(1)求∠DEF的度数．
(2)若∠F比∠ACF大40°，求∠B的度数．
31．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，在中，点在边上，，分别交、于点、，平分，交于点，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
32．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC______．


参考答案：
1．D
【分析】过60°角的顶点作c∥a，根据平行公理可得c∥b，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再求出∠4，然后根据两直线平行，内错角相等求解．
【详解】解：如图，过60°角的顶点作c∥a，

∵a∥b，
∴c∥b，
∴∠3＝∠1＝24°，
∴∠4=60°-24°=36°，
∴∠2=∠4=36°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
2．A
【分析】先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，即可根据邻补角互补求出∠2的度数．
【详解】解：∵，
∴∠EFD=∠1=61°，
∴∠2=∠180°-∠EFD=119°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，邻补角，熟知平行线的性质是解题的关键．
3．B
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠BCF=∠ABC，∠CDE+∠DCF=180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF=70°，由等式性质得到∠DCF=30°，于是得到结论．
【详解】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE（平行公理的推论），
∴∠BCF=∠ABC=70°，∠DCF=180°-∠CDE=40°，
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-40°=30°．
故选：B．

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同们角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．
4．D
【分析】如图，根据平行线的性质求出∠3的度数即可解决问题
【详解】如图，

∵AB//CD，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠2=90°-∠3=40°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．B
【详解】解：∵m∥n，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°
∵∠ACB=90°，
∴∠4=∠ACB−∠3=90°−40°=50°，
∴∠2=180∘−∠4=180°−50°=130°
故选B

6．C
【分析】根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=58°，所以∠2=58°．
【详解】 解：如图所示，


∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣32°=58°，
∴∠2=58°．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
7．C
【详解】解：∵直线a∥b，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-70°=110°．
故选C．


8．75°##75度
【分析】根据平行线的性质先求出∠1=30°，再由∠2=∠α，得出2∠α+30°=180°，即可求解．
【详解】解：延长CA至D点，如下图所示：

∵CDEB，
∴∠1=30°（两直线平行，同位角相等），
∵两边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠，
∴∠2=∠α，
∵∠2+∠α+∠1=180°，
∴2∠α+30°=180°，
∴，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质．解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
9．40°或140°
【分析】分∠B是锐角和钝角两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图1所示，

∵∠A和∠B的两边互相平行，
∴∠A=∠1，∠1=∠B．
∴∠B=∠A=40°；
如图2所示，

∵∠A和∠B的两边互相平行，
∴∠A=∠2，∠2+∠B=180°．
∴∠A +∠B=180°．
∴∠B=140°；
故答案为：40°或140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，易漏解∠B是钝角的情况．
10．28°##28度
【分析】根据角平分线的定义可得∠DCB＝28°，再由平行线的性质易求得∠EDC的度数．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝56°，
∴∠DCB＝∠ACB＝28°，
∵DEBC，
∴∠EDC＝∠DCB＝28°．
故答案为：28°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
11．44
【分析】根据平行线的性质即可求得∠BAD=180°-∠D，再根据已知条件∠CAD：∠BAC=3：2即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠D=70°，
∴∠BAD=180°-∠D=110°．
又∠CAD：∠BAC=3：2，
则∠CAD=110°×=66°，∠BAC=110°-66°=44°．
∴∠ACD=∠BAC=44°．
故答案为：44．
【点睛】此题主要是运用了平行线的性质．两条直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
12．120
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】如图，

∵，
∴，
∴
故答案为：120．
【点睛】本题考查由平行线的性质求角的大小，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
13．
【分析】首先根据平角的定义计算出∠1的度数，再根据平行线的性质可得到∠2的度数，进而得到∠CMF的度数．
【详解】解：连接MN．

∵∠HEF=90°，∠FEB=32°，
∴∠1=180°-90°-32°=58°，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠2=58°，
∵HE∥GF，
∴∠CMF=∠2=58°，
故答案为：58．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是“掌握两直线平行，内错角相等”，“两直线平行，同位角相等”．
14．45°或75°
【分析】由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°，又由∠A比∠B的2倍还少45°，即可求得∠B的度数．
【详解】解：∵∠A和∠B的两边分别平行，
∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°，
∵∠A比∠B的2倍还少45°，即∠A=2∠B-45°，
∴2∠B-45°=∠B或2∠B-45°+∠B=180°，
∴∠B=45°或∠B=75°
故答案为：45°或75°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°是解题的关键．
15．80°##80度
【详解】解：如图，过点M作MF∥m，

∵m∥n，
∴m∥n∥MF，
∴∠1+∠AMF=180°，∠2=∠BMF，
∵∠1=145°，∠2=45°，
∴∠AMF=35°，∠BMF=45°，
∴∠3=∠AMF+∠BMF=80°，
故答案为：80°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
16．120°##120度
【分析】先根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG=60°，∠1=∠GED，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=60°，则∠GED=120°，所以∠1=120°．
【详解】解：∵DE∥GC，
∴∠DEF=∠EFG=60°，∠1=∠GED，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠GEF=60°，
即∠GED=120°，
∵DE∥GC，
∴∠1=∠GED=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
17．45°
【分析】过点C作CE∥MB，根据题意可得∠MBC=60°，∠NAC=15°，然后利用平行线的性质可求出∠BCE，∠ACE的度数，进行计算即可解答．
【详解】解：过点C作CE∥MB，

由题意得：
∠MBC=60°，∠NAC=15°，
∵MB∥CE，
∴∠MBC=∠BCE=60°，
∵NA∥CE，
∴∠NAC=∠ACE=15°，
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．60°或120°
【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α=∠1=∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2=180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2=∠β，即可得出答案．
【详解】解：如图1，

∵a∥b，
∴∠1=∠α，
∵c∥d，
∴∠β=∠1=∠α=60°；
如图（2），

∵a∥b，
∴∠α+∠2=180°，
∵c∥d，
∴∠2=∠β，
∴∠β+∠α=180°，
∵∠α=60°，
∴∠β=120°．
综上，∠β=60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键．
19．284
【分析】过点E作EMAB，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点E作EMAB，

∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠2+∠AEM=180°，∠3+∠CEM=180°，
∴∠2+∠AEM+∠3+∠CEM=360°，
即∠1+∠2+∠3=360°，
∵∠1=76°，
∴∠2+∠3=284°
故答案为：284．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
20．60°
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质得到∠2=180°-∠AOC，∠BOC=∠DBO=∠1，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，则，
∴∠2=180°-∠AOC，∠BOC=∠DBO=∠1，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=∠AOC+∠1=120°，
∴∠2=180°-（120°-∠1），
∴∠2=60°+∠1，
∴∠2-∠1=60°，
故答案为：60°

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
21．140°或20°
【分析】如图1和图2所示，过点P作，则，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点P在MN下方时，过点P作，
∵，，
∴，
∴∠MPQ=180°-∠PMN=60°，∠BPQ=180°-∠ABC=80°，
∴∠BPM=∠MPQ+∠BPQ=140°，

如图2所示，当点P在MN上方时，过点P作，
∵，，
∴，
∴∠MPQ=180°-∠PMN=60°，∠BPQ=180°-∠ABC=80°，
∴∠BPM=∠BPQ-∠MPQ=20°，

故答案为：140°或20°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和分类讨论求解是解题的关键．
22．30或120
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DEBC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DEBC时，延长AC交MN于点P，

①DE在MN上方时，
∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴APDF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MNGH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴APDF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MNGH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，

①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DFBC，AC⊥BC，
∴AIDF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MNGH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120(此时DF在MN下方，舍去），
②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°-180°，
∵DFBC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴ACDE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MNGH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°-60°，
∴t＝120，
综上，所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论．
23．30°##30度
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠3减去∠1即可得到直线a顺时针旋转的度数．
【详解】解：如图．

∵∠3=∠2=70°时，a∥b，
∴要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是70°-40°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
24．26
【分析】依据∠ABC＝60°，，即可得到∠EBC＝26°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝26°．
【详解】如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝34°，
∴∠EBC＝26°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝26°，
故答案为：26．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
25．
【分析】先标角，先根据图形翻折变换的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠2=50°， ∴∠3=180°-50°×2=80°，
∵纸条的两边互相平行， ∴∠1=180°-∠3=180°-80°=100°．
故答案为：100°．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
26．100°
【分析】利用平行线的性质得到∠ABE＝∠MAB＝60°，∠CBE＝∠NCB＝40°，然后计算∠ABE+∠CBE即可．
【详解】解：如图，延长DB 至点E，
∵AM∥BD，
∴∠ABE＝∠MAB＝60°，
∵CN∥BD，
∴∠CBE＝∠NCB＝40°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝60°+40°＝100°．
故答案为100．

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
27．25°
【分析】先由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠3＝∠1＝65°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2．
【详解】解：已知直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝65°（两直线平行，同位角相等），
∠4＝90°（已知），
∠2+∠3+∠4＝180°（已知直线），
∴∠2＝180°﹣65°﹣90°＝25°
故答案为25°

【点睛】此题考查了学生对平行线性质的应用，关键是由平行线性质得出同位角相等求出∠3．
28．40°
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
29．；
【分析】根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解∶ AB∥CD，，
，∠A+∠C=180°，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
30．(1)∠DEF= 121°；
(2)∠B = 39°

【分析】（1）先根据垂直定义得到∠ADG=90°，再利用三角形外角性质得∠AGE=90°+∠A=121°，然后根据平行线的性质得到∠DEF=∠AGE=121°；
（2）先根据平行线的性质得∠F+∠ACF=180°，加上∠F-∠ACF=40°，于是可计算出∠ACF=70°，然后根据三角形外角性质计算∠B的度数．
（1）
∵DE⊥AB，
∴∠ADG=90°，
∵∠A=31°，
∴∠AGE=∠ADG+∠A=90°+31°=121°，
∵EFAC，
∴∠DEF=∠AGE=121°；
（2）
∵EFAC，
∴∠F+∠ACF=180°，
∵∠F-∠ACF=40°，
∴∠ACF=70°，
∵∠ACF=∠B+∠A，∠A=31°，
∴∠B=70°-31°=39°．
【点睛】本题考查了平行线性质．解题的关键是掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
31．（1）见解析；（2）64°
【分析】（1）由平行线的性质和∠1+∠2=180°，可推出DG∥AB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠1+∠2=180°．
∴∠1=∠3．
∴DG∥AB；
（2）∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠1=2∠4．
由（1）知DG∥AB，
∴∠4=∠B=32°，
∴∠ADC=2∠4=64°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．
32．（1）a=3，b=1；（2）t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）2：3．
【分析】（1）根据幂的运算法则即可得出a，b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，可分在灯A射线转到AN之前，与②在灯A射线转到AN之后，两种情况讨论即可求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得出∠BAC与∠BCD的数量关系．
【详解】解：（1）∵a、b满足3a =27=32·3b，
∴3a =33=32+b，
∴a=3，2+b=3，
∴b=1．
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t=(20+t)×1
解得t=10；
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣3×60+(20+t)×1=180°，
解得t=85
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
又∠ACD=90°
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BCD：∠BAC=2∶3
【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则，平行线的性质，角度计算，由动点问题引起的分类讨论．