2022天津南开区高二上学期期末考试数学试题含解析

2021—2022学年度第一学期南开区期末考试试卷

高二年级  数学学科2022.01

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线的倾斜角为（    ）．

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】设直线的倾斜角为，则，

∵，所以.

故选：C

2. 是首项和公差均为3的等差数列，如果，则n等于（    ）．

A. 671 B. 672 C. 673 D. 674

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.

【详解】因为数列为等差数列，

所以，

令，解得.

故选：D

3. 直线的方向向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线方程，求得斜率k，分析即可得直线的方向向量.

【详解】直线变形可得，

所以直线的斜率，

所以向量为直线的一个方向向量，

因为，

所以向量为直线的方向向量，

故选：D

4. 过点且平行于直线的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.

【详解】解：设直线的方程为，

把点坐标代入直线方程得.

所以所求的直线方程为.

故选：A

5. 抛物线的准线方程是，则a的值为（    ）．

A. 4 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，

又准线方程是，所以，

所以.

故选：C

6. 已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.

【详解】因为离心率，所以，

所以， ，则，

所以C的渐近线方程为.

故选：A

7. 如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.

【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，

又因为为的中点，所以，

所以，

故选：A.

8. 在数列中，，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.

【详解】由题意得，令，可得，

令，可得，

令，可得，

令，可得.

故选：D

9. 过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（    ）

A. 28 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线方程得，，由双曲线的定义，证出，结合

即可算出△的周长．

【详解】双曲线方程为，

，

根据双曲线的定义，得

，，

，，

相加可得，

，，

因此△的周长，

故选：C

10. 将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ值为(　　)

A. －3或7 B. －2或8

C 0或10 D. 1或11

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．

解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，

直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，

因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，

化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，

解得λ=﹣3或7

故选A

考点：直线与圆的位置关系．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．

11. 两条平行直线与的距离是__________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据两平行直线，可求得a值，根据两平行线间距离公式，即可得答案.

【详解】因为两平行直线与，

所以，解得，

所以两平行线的距离.

故答案为：5

12. 等差数列的前项和为，已知，则__.

【答案】33.

【解析】

【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.

【详解】因为等差数列的前项和为，，

则，

故答案为：33.

【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题.

13. 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______．

【答案】4

【解析】

【分析】根据抛物线的定义，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意：抛物线的准线为，设点P的纵坐标为，

由抛物线定义可得，解得，

所以点P的纵坐标为4.

故答案为：4

14. 已知等比数列的前n项和为，且满足，则_____________．

【答案】##31.5

【解析】

【分析】根据等比数列通项公式，求出，代入求和公式，即可得答案.

【详解】因为数列为等比数列，

所以，又，

所以，

所以.

故答案为：

15. 分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线、，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围.

【详解】根据条件可知 ，

以为直径的圆与椭圆没有交点，即

，

即，

，即.

故填：.

【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.

三、解答题：（本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知等差数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得列出方程组，可求得的值，代入公式，即可得答案.

（2）由（1）可得，利用等比数列的定义，可证数列为等比数列，结合前n项和公式，即可得答案.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，由题意得，

解得，

所以通项公式

【小问2详解】

由（1）可得，

，又，

所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，

所以

17. 直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.

【答案】或

【解析】

【分析】直线截圆得的弦长为，结合圆的半径为5，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率，由点斜式可得结果.

【详解】设直线的方程为，即，

因为圆的半径为5，截得的弦长为

所以圆心到直线的距离，

即或，

∴所求直线的方程为或.

【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.

18. 公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列．

（1）求数列的通项；

（2）当时，求数列的前n和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的性质，结合题意，可求得值，根据成等比数列，即可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案；

（2）由（1）可求得，即可得表达式，根据裂项相消求和法，即可得答案.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，

由等差数列性质可得，解得，

又成等比数列，

所以，整理得，

因为，

所以，

所以

【小问2详解】

由（1）可得，则，

所以，

所以

19. 如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）若E为的中点，求与所成的角．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）连接，交于O，连接OD，根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可得证；

（2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面与平面法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案；

（3）求得坐标，根据线线角的向量求法，即可得答案.

【小问1详解】

连接，交于O，连接OD，则O为的中点，

在中，因为O、D分别为、BC中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面

【小问2详解】

由题意得，两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：

设，则，所以，

则，，

因为平面在平面ABC内，且平面ABC，

所以即为平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，

所以法向量，

所以，

由图象可得平面与平面的夹角为锐角，

所以平面与平面的夹角的余弦值为

【小问3详解】

由（2）可得，

设与所成的角为，

则，

解得，所以与所成的角为

20. 如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据离心率为可得，把代入方程可得，又，解方程组即可求得方程；（2）设直线的方程为，整理方程组，求得，及参数的范围，由斜率公式表示出，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.

试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，

，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，又，，三点不重合，∴，

设，，

由得，

所以，解得，

，①

，②

设直线，的斜率分别为，，

则（），

分别将①②式代入（），

得，

所以，即直线，的斜率之和为定值．

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可得到定值.