2022天津河东区高二上学期期末考试数学试题含解析

河东区2021~2022学年度第一学期期末质量检测

高二数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.

答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！

2．本卷共9小题，每小题4分，共36分.

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 双曲线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得焦点坐标．

【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，

∴，

∴双曲线的焦点坐标为．

故选：A．

2. 如果抛物线的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.

【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.

故选：D

3. 已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（     ）

A. =1 B. =1 C. =1 D. =1

【答案】B

【解析】

【分析】根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可.

【详解】由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为，

∴双曲线的标准方程是.

故选：B

4. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意作出简图，可得为等边三角形，在中求解可得，从而得解.

【详解】根据题意作出简图，如图所示：

根据抛物线的定义可知，结合，可得为等边三角形，

所以，

在中，因为，所以，

所以.

故选：D.

5. 已知，分别为双曲线的左，右焦点，双曲线上的点A满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为(   )

A.  B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由“，的中点在轴上”可知，可知，根据几何关系列出关于a和c的齐次式，构造离心率即可得答案﹒

【详解】设，，双曲线上的点A满足，的中点在轴上，可得，∴，

即有轴，A的横坐标为，如图所示：

令，可得，

在直角三角形中，，

可得，

即为，

即，，

解得，或(不合题意，舍去)；

双曲线的离心率是．

故选：B．

6. 已知数列是公差不为零的等差数列，若，且（），设，则数列的前n项和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列的基本量运算得，进而得，利用裂项相消法求和即可.

【详解】数列是公差不为零的等差数列，设公差为，

，解得，

所以，

所以，

所以数列前n项和.

故选：A.

7. 在正项等比数列中，，则数列的前9项和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质可得到答案

【详解】由题意知．

故选：B

8. 已知数列满足且，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. －4

【答案】A

【解析】

【分析】根据数列递推公式，可知数列是周期为的周期数列，由此即可求出结果.

【详解】因为数列满足且，

所以，，

所以，

又，

所以，

又，所以

所以，……

所以数列是周期为的周期数列，所以.

故选：A.

9. 我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（    ）

A. 96 B. 48 C. 24 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.

【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.

第一天走了里，．

第4天走了

故选：C．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.

2．本卷共11小题，共64分.

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

10. 设各项均为正数的等差数列的前n（）项和为，，且是与的等比中项，则数列的公差d为______．

【答案】1

【解析】

【分析】设各项均为正数的等差数列的公差为，根据基本量列方程求解.

【详解】设各项均为正数的等差数列的公差为，

因为是与的等比中项，所以，

所以，解得或（舍）.

经检验满足题意.

故答案为：1.

11. 若数列的通项公式，其前5项和___________

【答案】

【解析】

【分析】先判断数列为等比数列，再用求和公式求解即可

【详解】数列的通项公式，

则，故数列首项为2公比为2的等比数列，

所以

故答案为：

12. 已知数列的前n项和为，若，，则的最大值为______．

【答案】30

【解析】

【分析】先判定数列为等差数列，再令，解得.可得最大值为，即得解.

【详解】由可得数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，

令，解得.

所以

则的最大值为.

故答案为：30.

13. 已知是数列的前项和，，则________；若，则________.

【答案】    ①.     ②. 218

【解析】

【分析】根据题意得到，两式作差得到再检验首项即可得到结果；当时，当时，，将代入第二个式子即可得到答案.

【详解】，则，

两式作差得到，当时成立，故得到；

当时，

，

当时，

故得到：，.

故答案为：；.

14. 已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____.

【答案】

【解析】

【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到，然后利用计算即可.

【详解】如图，

作垂直右准线交右准线于点，作垂直右准线交右准线于点

作垂直于点

由，设，则

由

所以，

又直线的斜率为，所以

所以

故答案为：

15. 若方程所表示的曲线为C，给出下列命题：

①若C为椭圆，则实数t的取值范围为；

②若C为双曲线，则实数t的取值范围为；

③曲线C不可能是圆；

④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则实数t的取值范围为，其中真命题的序号为______．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】①若C为椭圆，则需要满足，解出不等式组，即可判正误；②若C为双曲线，则满足，解出不等式，即可判正误；③当曲线C为圆，则需要满足，解出不等式组，即可判正误；④若C为②④椭圆，且长轴在x轴上，则需要满足解出不等式组，即可判正误.

【详解】方程所表示的曲线为C，

①若C为椭圆，则需要满足 故①不正确；

②若C为双曲线，则满足或，故②正确；

③当曲线C为圆，则需要满足，故③错误；

④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则需要满足，故④正确；

故答案为：②④.

三．解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 已知椭圆的方程为9?2+ 4?2=36，写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标.

【答案】长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，.

【解析】

【分析】把椭圆方程化为标准方程，判断焦点位置，可得答案.

【详解】椭圆的方程化为标准方程为，

因为，所以焦点在轴上，

，所以，

，所以，

所以长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，.

17. 已知正项数列的前项和为，.

（1）求、；

（2）求证：数列是等差数列.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）直接在数列递推式中取即可求、

（2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列

【详解】（1）由已知条件得：.∴.

又有，即.

解得（舍）或.

（2）由得

时：，

∴，

即，

∴，

∴，

∴即，

经过验证也成立，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.

【点睛】利用与的关系，多递推一次再相减的思想，结合等差数列的定义，证明等差数列.

18. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点A（4，2），F为抛物线的焦点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若B（4，1），P为抛物线上一动点，求的最小值．

【答案】（1）y2＝x或x2＝8y   

（2）最小值为或

【解析】

【分析】（1）讨论焦点的位置，结合条件即求；

（2）利用图象数形结合即得.

【小问1详解】

①当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线：y2＝2px（p＞0）

又∵抛物线过A(4,2)，

即，

∴抛物线方程为y2＝x；

②当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线：x2＝2py(p＞0)

∵抛物线过A(4,2)，

，

∴抛物线方程为x2＝8y

综上抛物线方程：y2＝x或x2＝8y.

【小问2详解】

①当抛物线：x2＝8y，如图

则当F、P、B三点共线时，P在F、B之间时，取得最小值，

此时，又F（0，2）， B（4，1），

∴

②当抛物线：y2＝x时，过P作PM⊥准线l于M，

，

∴

当B、P、M共线时，取得最小值，又准线l：，

此时.

综上：最小值为或.

19. 已知中心在原点，焦点为，的椭圆经过点.

（1）求椭圆方程；

（2）若M是椭圆上任意一点，交椭圆于点A，交椭圆于点B，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆第一定义，结合两点距离公式求a，即可写出椭圆方程.

（2）法一：构建以左焦点为极点，为极轴建立极坐标系，椭圆方程为(为离心率且)，设，即可求、，进而得到、；法二：设M，A， 在左准线上的射影分别为，，Q，利用相似比求、，即可求

【详解】（1）设椭圆方程为.

由椭圆定义知：，即，又，

∴，故椭圆方程为.

（2）法一：以左焦点为极点，为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为(为离心率且).

设，，则，.

∴，即.同理，有.

∴.

法二：设M，A， 在左准线上的射影分别为，，Q，如下图，

∴，，，

由相似形及和分比定理得，

∴，同理，得，

∴.

【点睛】关键点点睛：第二问，通过构建极坐标系，利用椭圆极坐标方程求线段比，或利用M，A， 在准线上的射影，结合相似比求线段比，进而求目标式的值.

20. 已知等差数列中，，，数列满足，．

（1）求，的通项公式；

（2）任意，，求数列的前2n项和．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差等比的基本量运算求解即可；

（2）分奇数项和偶数项分别求和即可，奇数项用乘公比错位相减，偶数项用裂项相消求和即可.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，由，，可得，

解得，

所以，

数列满足，，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，

【小问2详解】

由（1）可知，

当为奇数时，，

设，

，

两式相减可得：，

整理得：，

当为偶数时，，

设，

所以数列的前2n项和为