2023年浙江省宁波市中考数学第一次适应性试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市中考数学第一次适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为元人民币．数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某露天舞台如图所示，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  不等式的解为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  点点同学对数据，，，，进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差

7.  如图，在中，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

9.  点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在几何原本中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连结，记的面积为，图中阴影部分的面积为若点，，在同一直线上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  实数的立方根是          ．

12.  分解因式：______．

13.  一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为        ．

14.  若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______．

15.  如图，中，，，点在边上，，点是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为______．

16.  如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结若，的面积为，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程组：．

18.  本小题分
如图，在的方格纸中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点，，，重合．
在图中画一个格点，使点，，分别落在边，，上，且．
在图中画一个格点四边形，使点，，，分别落在边，，，上，且．
 

19.  本小题分
如图，点在第一象限内，轴于点，反比例函数的图象分别交，于点，已知点的坐标为，．
求的值及点的坐标．
已知点在该反比例函数图象上，且在的内部包括边界，直接写出点的横坐标的取值范围．

20.  本小题分
某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试测试满分分，得分均为不小于的整数，并将测试成绩分为四个等级：基本合格，合格，良好，优秀，制作了如图统计图部分信息未给出．

由图中给出的信息解答下列问题：
求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图．
求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
这次测试成绩的中位数是什么等级？
如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

21.  本小题分
如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
求证：；
若为中点，，求菱形的周长．
 

22.  本小题分
已知抛物线经过点，．
求，的值；
若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．

23.  本小题分
某经销商月份用元购进一批恤衫售完后，月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，但每件进价涨了元．
月份进了这批恤衫多少件？
月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元．甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
用含的代数式表示．
已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．

24.  本小题分
如图，经过等边的顶点，圆心在内，分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．
求证：．
当：：，时，求的长．
设，．
求关于的函数表达式；
如图，连结，，若的面积是面积的倍，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、故选项B不合题意；
C、，故选项C不合题意；
D、，故选项D符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数字科学记数法可表示为元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：它的俯视图是：

故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得，
移项合并同类项，得，
系数化为，得，
故选：．
去分母、移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．
【解答】

解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第个数有关，而这组数据的中位数为，与第个数无关．
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
又为中线，
．
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．
故选：．
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于点，则，

，
，
解得，米，
故选：．
根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出的长．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】
解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，．

由题意：，，
点，，在同一直线上，，
∽，
，
，
整理得，
，
故选：．
如图，连接，，利用相似三角形的性质求出与的关系，再求出面积比即可．
本题源于欧几里得几何原本中对的探究记载．图形简单，结合了教材中平方差证明的图形进行编制．巧妙之处在于构造的三角形一边与矩形的一边等长，解题的关键是利用相似三角形的性质求出与的关系，进而解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．
如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】
解：的立方等于，
的立方根等于．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】
解：，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：摸出红球的概率为．
故答案为：．
应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
根据弧长公式，代入相应数值进行计算即可．
【解答】
解：根据弧长公式：，
故答案为：  

15.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用切线的性质是解题的关键．
根据勾股定理得到，，当于相切时，点到的距离，过作于，则，当于相切时，点到的距离，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
当与相切时，点到的距离为，

过作于，则，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当与相切时，点到的距离为，
过作于，则，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
半径为的不与的边相切，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，
过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，的面积为，
，
设点，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
；
故答案为；
连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线，
可得，进而可得；设点，由已知条件，，可得，则点，证明∽，得到，所以；即可求解；
本题考查反比例函数的意义；借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
，得，
，
把代入得，
，
原方程组的解为． 

【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
用加减消元法解方程组即可．
本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程组，能正确根据整式的运算法则进行化简是解的关键，能根据加减消元法求出方程组的解是解的关键．
 

18.【答案】解：满足条件的，如图，所示．


满足条件的四边形如图所示．
 

【解析】利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．
如图中，构造矩形即可解决问题．如图中，构造即可．
本题考查作图应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得，
．
点的纵坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得，
即点的坐标为；
点，点，点在该反比例函数图象上，且在的内部包括边界，
点的横坐标的取值范围是． 

【解析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，再把代入函数解析式，即可得到点的坐标；
根据题意和点、的坐标，可以直接写出点的横坐标的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

20.【答案】解：人，
人，
直方图如图所示：


“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

这次测试成绩的中位数是这次测试成绩的中位数的等级是良好．

人，
答：估计该校获得优秀的学生有人． 

【解析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题．
根据圆心角“良好”所占的百分比计算即可．
根据中位数的定义判断即可．
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，

≌，
；
连接，

四边形是菱形，
，，
为中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
菱形的周长． 

【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确利用好各个几何性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，对称轴为，
，
． 

【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求解析式，解方程组，正确理解题意是解题的关键．
把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，再根据对称轴，即可得到结论．
 

23.【答案】解：设月份购进件恤衫，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：月份进了这批恤衫件；
每件恤衫的进价为：元，


化简，得；
设乙店的利润为元，

，
乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
，
即，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：乙店利润的最大值是元． 

【解析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
根据月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得月份进了这批恤衫多少件；
根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于、的方程，然后化简，即可用含的代数式表示；
根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，
，，
，
；
如图，过点作于点，
是等边三角形，，
，
在中，，
，
，
，
：：，
，
，
在中，；
如图，过点作于点，

，
在中，，
，，
，
，
，
，
在中，，
；
如图，过点作于点，

设，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的面积，
的面积，
的面积是的面积的倍，
，
，
解得：，
， 

【解析】根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
过点作于点，根据三角函数和函数解析式解得即可；
过点作于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质解答．