2023年河南省郑州四中中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省郑州四中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

2.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  我们伟大的祖国山川秀美，地形多样，幅员辽阔，陆地面积约万平方千米把万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，直线分别与直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  数学老师计算同学们一学期的总评成绩时，将平时、期中和期末的成绩按：：计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是分、分、分，则小红一学期的数学总评成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

7.  若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，平行四边形中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；画射线，交于点，交对角线于点若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，边在轴上，顶点，的坐标分别为和将正方形沿轴向右平移．当点落在边上时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在四边形中，，，，动点沿的路线运动，到点时停止．过点作，垂足为点，设点运动的路程为，的面积与之间的函数关系图象如图所示，当时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  不等式组的解集是        ．

12.  现有两个不透明的袋子，一个装有个红球、个白球，另一个装有个黄球、个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出个球，摸出的两个球颜色相同的概率是______．

13.  如图，的顶点在坐标原点，边在轴上，，，把绕点按顺时针方向旋转到，使得点的坐标是，则在旋转过程中线段扫过部分阴影部分的面积为______．

14.  如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
血橙的营养价值高，维生素含量丰富，深受大家喜爱某商场准备在、两个血橙种植基地中选择一个进行合作，为了解这两个种植基地血橙的产量和产量的稳定性，从、两个种植基地的果树株树都是株，各随机抽取株血橙果树进行调查每株果树所结的血橙个数用表示，共分为三个等级：不合格，良好，优秀，下面给出了部分信息：
基地株果树所结血橙个数分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据为：
，，，，，，，，，
抽取的、两个基地每株果树所结血橙个数的统计表

抽取的基地每株果树所结血橙个数扇形统计图
填空：        ，        ，        ．
请估计两个基地属于“优秀”等级的果树共有多少株；
根据以上数据，你认为该商场应选择与哪个基地进行合作？请说明理由写出一条理由即可．

18.  本小题分
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成如图，图是从图引出的平面图．假设你站在处测得塔杆顶端的仰角是，沿方向水平前进米到达山底处，在山顶处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端、、在同一直线上的仰角是已知叶片的长度为米塔杆与叶片连接处的长度忽略不计，山高为米，，，求塔杆的高．参考数据：，，，
 

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，的取值范围；
过点作轴，于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．

20.  本小题分
年月日总书记深刻指出：扶贫贵在精准，重在精准，为了贯彻落实政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶，两贫困村的计划，现决定从某地运送箱鱼苗到、两村养殖，若用大小货车共辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为箱辆和箱辆，其运往、两村的运费如下表：

求这辆车中大小货车各多少辆？
现安排其中辆货车前往村，其余货车前往村，设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，试求出与的函数解析式．
在的条件下，若运往村的鱼苗不少于箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

21.  本小题分
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为


 

求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离；

一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

22.  本小题分
在正方形中，过点作直线，点在直线上，连接，，其中，过点作于点，交直线于点．
当直线在如图的位置时，
请直接写出与之间的数量关系______；
请直接写出线段，，之间的数量关系______；
当直线在如图的位置时，请写出线段，，之间的数量关系并证明；
已知，在直线旋转过程中当时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的相反数是．
故选：．
先去绝对值符号，再根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是绝对值及相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为，

故选：．
根据几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得的度数．
本题考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质进行推理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：小红一学期的数学总评成绩是分，
故选：．
按：：的比例算出本学期数学学期总评成绩即可．
此题考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得，
所以可以取．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得且，再解不等式得到的范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故选：．
利用勾股定理求出，再证明，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，证得∽是解题的关键．
根据已知条件得到，，，求得，根据正方形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】
解：如图，设正方形是正方形沿轴向右平移后的正方形，
顶点，的坐标分别为和．
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当点落在边上时，点的坐标为，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是动点问题的函数图象，涉及三角形的面积等知识，此类问题关键是：由图得出，，是解题关键．
分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解．
【解答】
解：由图可知，，，
由函数图象可知，，
如图，当点与点重合时，，，，
，
，
如图，当时，，此时，点与点重合，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或画树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】
解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：过作于，则，

点的坐标是，
，，
，
，
，
，
即旋转角为，
，
把绕点按顺时针方向旋转到，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
过作于，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积，分别求出即可．
本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图，当点在矩形内部时，

点在的垂直平分线上，
；
，
由勾股定理得，
，
设为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
如图，当点在矩形外部时，

同的方法可得，
，
设为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或
故答案为：或．
分两种情况讨论：点在矩形内部；点在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到的长．
本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行化简，然后再计算即可．
本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，准确计算．
 

16.【答案】解：




． 

【解析】根据分式的混合运算法则可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
 

17.【答案】     

【解析】解：基地株果树所结血橙个数处于“优秀”等级所占百分比为，
“优秀”等级个数为：个．
将基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据按从大到小的顺序排列为：
，，，，，，，，，，
中位数；
基地株果树所结血橙个数中，优秀的有个，
，
．
基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，
“不合格”等级占，即．
故答案为：，，；
估计两个基地属于“优秀”等级的果树共有台；
该商场应选择与基地进行合作，理由如下：
在平均数都是的情况下，基地所结血橙个数的众数基地所结血橙个数的众数理由不唯一．
根据中位数、优秀率的概念可求出、的值，求出基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
先求出两个基地属于“优秀”等级的果树，再相加即可得答案；
比较、两个基地每株果树所结血橙个数的平均数、众数或中位数或方差或优秀率可得答案．
本题考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

18.【答案】解：如图，作于点，

则、，
设，则，
在中，，
，
，
，即，
解得：，
，
答：塔杆的高为米． 

【解析】作，知、，设，则，由知，根据可得关于的方程，解之可得．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点的坐标为，
由题意得，
解得，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点在点的左侧时，点的坐标为，
当点在点的右侧时，点的坐标为，
当点的坐标为或时，． 

【解析】利用待定系数法求出，求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
利用数形结合思想解答；
根据直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况解答．
本题考查的是一次函数和反比例函数的知识，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
 

20.【答案】解：设大货车用了辆，则小货车用了辆，
根据题意得：，
解得：，
．
答：大货车用了辆，小货车用了辆．
设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为，
根据题意得：，且为整数．
根据题意得：，
解得：．
又，
，且为整数．
中一次项系数，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为．
答：使总运费最少的调配方案是：辆大货车、辆小货车前往村，辆大货车、辆小货车前往村，最少运费为元． 

【解析】本题考查了一元一次方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用有关知识．
设大货车用了辆，则小货车用了辆，根据鱼苗总箱数大货车的辆数小货车辆数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为，根据总运费前往村的运费前往村的运费，即可得出关于的一次函数关系式；
由运往村的鱼苗不少于箱，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题．
 

21.【答案】解：根据题意得，，
把，代入得，
解得．
所以抛物线解析式为，
则，
所以，
所以拱顶到地面的距离为；
由题意得货运汽车最外侧与地面的交点为或，
当或时，，
所以这辆货车能安全通过；
令，则，解得，，
则，
所以两排灯的水平距离最小是 

【解析】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点的坐标，从而得到点到地面的距离；
由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，则货运汽车最外侧与地面的交点为或，然后计算自变量为或的函数值，再把函数值与进行大小比较即可判断；
抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
 

22.【答案】   

【解析】解：；理由：
四边形为正方形，
，．
，
．
，
．
故答案为：．
理由：
过点作于点，如图，

，，
，，
，
．
，
．
，
故答案为：．
证明：线段，，之间的数量关系为：理由：
过点作交于点，

则．
，
．
四边形为正方形，
，
，
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
是等腰直角三角形．
．
，
．
或理由：
当直线在的上方时，
过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图，

，，
，
．
，
．
．
．
．
，，
．
，，
∽．
．
．
，
为等边三角形．
，
．
，，
．
，
为等腰直角三角形．
．
；
当直线在的下方时，
过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图，

，，
，
．
，
．
．
．
．
，，
．
，，
∽．
．
．
，
又，，
．
，，
．
，
为等腰直角三角形．
．
．
利用等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论；
过点作于点，则为等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质和线段和差的关系即可得出结论；
过点作交于点，则是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质和线段和差的关系即可得出结论；
分两种情况讨论解答：当直线在的上方时，当直线在的下方时；过点作，交的延长线于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系和勾股定理可求得，，，的长，利用相似三角形的性质可求得线段的长，通过说明为等腰直角三角形可求的长，则利用和即可表示出的长．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，图形的旋转，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，通过添加适当的辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．