2023年河南省郑州十九中中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省郑州十九中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，北京冬奥会主火炬熄灭，被竞技点燃的消费热情却并未退去，当天奥林匹克官方旗舰店由于冰墩墩效应，销售额近亿．亿这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面的平面展开图与图下方的立体图形名称不相符的是(    )

A. 三棱锥 B. 长方体
C. 正方体 D. 圆柱体

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，射线分别交直线、于点和点，过点作于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  定义运算：例如：则方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

8.  如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，若，，则点的坐标为(    )

 

A.   B.   C.   D.  

10.  如图，在中，是直角，是中位线，点从点出发，沿的方向以的速度运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个图象经过点的函数的关系式        ．

12.  不等式组的整数解有        个

13.  现有四张分别标有数字，，，的卡片，它们除数字外完全相同把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的概率是        ．

14.  如图，中，，且，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧交弧于点，则图中阴影部分的面积为        ．

15.  如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算题：
；
．

17.  本小题分
校园安全始终是社会各界关注的焦点问题，甘肃省中小学校安全条例于年月日起正式施行，为今后开展学校安全工作以及保障师生和学校合法权益提供了法律依据．某校为进一步加强校园安全工作，开展了校园安全知识竞赛，现从七、八两个年级各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
整理数据：

分析数据：

应用数据：
由上表填空：______，______，______．
若该校七、八年级学生各有人，估计本次竞赛中七八年级学生成绩在分及以上的共有多少人？
你认为哪个年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

18.  本小题分
如图，是的内接三角形，，连接并延长，交于点，连接过点作的切线，与的延长线相交于点．
求证：；
若，则        线段的长为        ．

19.  本小题分
如图，斜坡上有一竖直的电线杆，已知，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的，两处分别向地面引两条钢丝引线，引线与电线杆位于同一平面内，其中与斜坡垂直，，现测得米，试求，两点间的距离．结果精确到，，，

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
 

求反比例函数的表达式；

设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．

21.  本小题分
为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克元，这两家果园的采摘方案不同．
甲果园：每人需购买元的门票一张，采摘的草莓按折优惠；
乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．
设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为、元，其函数图象如图所示．
请分别求出、与之间的函数关系式；
请求出图中点的坐标并说明点表示的实际意义；
请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算．

22.  本小题分
已知抛物线是常数经过点，顶点为．
当时，求抛物线顶点的坐标；
当抛物线与轴的另一个交点为时，求抛物线的解析式；
若点和点在对称轴的同一侧，且当自变量满足时，其对应的自变量的最大值为，最小值为，若，求的值．

23.  本小题分
如图，在矩形中，点、分别为、上的点，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处不与点，重合，连接，过点作于点．
如图，若，求证：≌；
如图，当时，
求证：∽；
若点为的三等分点，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
由负有理数绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
利用科学记数法把大数表示成的形式为整数．
本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的书写形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A中的图形，折叠后形成的几何体是三棱柱，不是三棱锥，因此选项A符合题意；
选项B的图形折叠后成为长方体，因此选项B不符合题意；
选项C的图形折叠后成为正方体，因此选项C不符合题意；
选项D的图形折叠后成为圆柱体，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据折叠所形成的几何体进行判断即可．
本题考查展开与折叠，掌握各种几何体展开图的形状是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据三角形外角的性质得，根据平行线的性质即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．  

6.【答案】 

【解析】解：由统计图可知，前三次的中位数是，
第四次又买的苹果单价是元千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
，
故选：．
根据统计图中的数据和题意，可以得到的值，本题得以解决．
本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：由新定义得，
即，
，
方程没有实数根．
故选：．
利用新定义得到，然后可根据判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得．
故选：．
先利用作法得到平分，再证明得到，然后证明∽，则利用相似比可计算出的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．首先根据菱形的性质，即可求得的度数，又由将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，可求得的度数，然后在中，利用勾股定理即可求得与的长，则可得点的坐标．
【解答】
解：过点作于，

，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
菱形绕原点顺时针旋转至的位置，
，，
，
为等腰直角三角形，且，
在中，由勾股定理得：，
，
，
点的坐标为：
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：由图象知，当点在上运动时，的面积的面积不变，
，
是中位线，
，
当点在线段上时，
，
由图象知，当点和点重合时，即时，的面积，
，
解得．
故选：．
先根据图求出的长度，再根据中位线定理求出的长度，然后根据三角形面积公式结合和重合时面积最大，求出的值．
本题考查了动点的函数图象问题，涉及三角形中位线定理，关键是结合图得出的长度．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：函数经过点．
故答案为：答案不唯一．
让时，函数值写出一个正比例函数即可．
本题考查了函数关系式，正确掌握函数的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解有、这两个，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：列表得：

共有种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的结果有种，
两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．
故答案为：．
列表将所有等可能的结果列举出来，然后求得两次抽出的卡片所标数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可．
本题考查了列表与树状图的知识，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，．

，
是等边三角形，
，


．
故答案为：．
连接，根据，求解可得结论．
本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点

点的对应点落在的角平分线上，
，
设，则，
，
又折叠图形可得，
，解得或，
即或．
在中，设，
当时，，，，
，
解得，即，
当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出．
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先根据负整数指数幂、二次根式的性质和绝对值的意义计算，然后合并即可；
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了实数的运算．
 

17.【答案】     

【解析】解：七年级的人数，
将七年级成绩重新排列为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
七年级成绩的中位数，
八年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
由上可知，出现了四次，次数最多，所以八年级众数，
故答案为：，，；

估计本次竞赛中七八年级学生成绩在分及以上的共有人；

八年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好，理由如下：
七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，
八年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好．
根据总人数为人可求出的值，根据中位数和众数的概念可得、的值；
用总人数乘以两个年级成绩在分及以上人数占被调查人数的比例即可；
在平均成绩相等的情况下，可从众数或中位数等角度分析求解．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．也考查了利用样本估计总体．
 

18.【答案】   

【解析】证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
．
如图，过点作交于，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，．
故答案为：，．
连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，可得结论；
过点作交于，由锐角三角函数可求，可证四边形是正方形，可得，由锐角三角函数可求，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于，
为竖直的电线杆，
，，
，，，
，
，
米，
米，
在中，，
米，
由勾股定理得，米，
在中，，
，
米，
在中，，米，
米，
米，
，两点之间的距离约为米． 

【解析】过点作于，根据直角三角形的性质求出的长度，进而解答即可．
本题是解直角三角形的实际应用，是各地中考的热点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
 

20.【答案】解：由得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式是；
解得或，
，
由直线的解析式为得到直线与轴的交点为，
． 

【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．
联立方程求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
联立方程求得交点的坐标，进而求得直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
 

21.【答案】解：根据题意得，
设，
点在上
根据题意得，，
解得，
；
联立，解得，
点的坐标为，点的实际意义是当采摘量为千克时，到两家果园所需总费用相同均为元；
由知点的坐标为，观察图象知：
当采摘量大于千克时，到甲果园更划算；
当采摘量等于千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以；
当采摘量小于千克时，到家乙果园更划算． 

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意．
根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；
根据的结论，联立方程组解答即可；
根据的结论结合函数图象可得结论．
 

22.【答案】解：抛物线是常数经过点，
，
，
当时，，
抛物线的解析式为，此时抛物线的顶点的坐标为；
抛物线是常数经过点，
将，代入抛物线中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为直线，
当点和点在对称轴的左侧时，即，解得，自变量满足时，随的增大而增大，，，
，
，解得；
当点和点在对称轴的右侧时，即，解得，自变量满足时，随的增大而减小，即，，
，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】把代入抛物线解答即可；
将，代入抛物线中，解答即可；
根据抛物线的对称轴为直线，分情况讨论解答即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，与的交点记作点，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌；

证明：同的方法得，，，
∽；

解：设，
点为的三等分点，
Ⅰ、当时，
，，
，
，
同的方法得，四边形是矩形，
，
由知，∽，
，
，
，
设，
同的方法得，四边形是矩形，
，
，
，
由折叠知，，
在中，根据勾股定理得，，
，
或舍，
，，
，
Ⅱ、当时，同Ⅰ的方法得．，
即或． 

【解析】根据同角的余角相等得出，再判断出四边形是矩形，得出，进而判断出≌；
同的方法得，，，即可得出结论；
设，Ⅰ、当时，则，，，进而得出，再根据∽，得出，设，表示出，，，再根据勾股定理得，，建立方程得出或舍，Ⅱ、当时，同Ⅰ的方法，即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理得出是解本题的关键．