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2023年河南省郑州一中中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省郑州一中中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州一中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 负数最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作( )
A. 3 B. −3 C. |3| D. 13
2. 郑州是我国重要的交通枢组，也是“国家中心城市”之一.将“国家中心城市”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. “国” B. “心” C. “城” D. “市”
3. 作为中原大省，河南省是我国的人口大省、农业大省、经济大省，2022年，河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的5.0%，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为( )
A. 6.13×108 B. 6.13×1010 C. 6.13×1012 D. 6.13×1014
4. 如图，直线l1//l2，点B，C分别在直线l1和l2上，则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠4=90° D. ∠4+∠5=180°
5. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. b3⋅b4=b7 C. (−2c2)3=−6c6 D. −a8÷a2=−a4
6. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( )
A. AB=BC B. OA=OC C. AC⊥BD D. AC=BD
7. 一元二次方程x2+2mx+m2−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
8. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片.研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小
B. 图中曲线是反比例函数的图象(其中一支)
C. 当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约为300度
D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应
9. 小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A(2,4)，B(2,0)，接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为( )
A. (4,−2) B. (−2,−2 5) C. (2 5,−2) D. (2,4)
10. 在学习过一次函数后，小星准备利用已有知识探索函数y=|x+1|的图象与性质，通过列表、描点、连线，他得到了此图象，图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有( )
①点A的坐标是(1,0)；②函数图象是一个轴对称图形；③y随着x的增大而增大；④该函数有最小值，最小值为0；⑤∠BAO=45°
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x+1有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 不等式组x+1>0,3x−1≤5的解集是______ ．
13. 已知关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根是2，则另一个根是______．
14. 如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1，则该点取自阴影部分的概率为______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC= 3+1，∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−8+20230+3−1；
(2)化简：(1+1x)÷(x−1x)．
17. (本小题9.0分)
【问题背景】书法展现人文修养、道德追求和精神气度，书法特别强调书品与人品的统一，“苟非其人，虽工不贵”(苏轼语)；“高韵深情，坚质浩气，缺一不可为书”(刘熙载).某校特别重视中学生的书法养成教育，为了检测效果，从全校学生中随机抽取20%的学生进行测评．
【评分标准】评委会依据书写、结构、字形、效果等方面制定了标准：90分及以上为优秀；80−89分为良好；60−79分为及格；60分以下为不及格，并将测评成绩制成图表．
【图表信息】
成绩
频数
频率
优秀
16
m
良好
n
0.24
及格
18
0.36
不及格
4
0.08
【数据分析】
(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)参加本次测试学生的平均成绩为______ ；
(3)已知“良好”组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是______ ；
【数据应用】
(4)请估计该校书法测评成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生总人数．
18. (本小题9.0分)
一次函数y=−x+1的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(−1,m)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请在如图所示的坐标网格xOy中画出这两个函数的图象，根据图象回答下列问题．
①点B的坐标为______ ；
②不等式−x+1≤kx的解集为______ ．
19. (本小题9.0分)
一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物CD(建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上)，在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为11.5°，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为18.7°，已知建筑物CD的高度为18m，求古塔AF的高度.(结果精确到1m，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin18.7°≈0.32，cos18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34.)
20. (本小题9.0分)
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？
21. (本小题9.0分)
【材料】自从《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P.求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q.李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
(1)连接OP，分别以O、P为圆心，以大于12OP的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点(A、B分别位于直线OP的上下两侧)；
(2)作直线AB，AB交OP于点C；
(3)以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q(点Q位于直线OP的上侧)；
(4)连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．
【问题】
(1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；
(3)若⊙O半径为2，OP=6.依据作图痕迹求QD的长．
22. (本小题9.0分)
一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米.如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
【问题背景】
如图(1)，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．
(1)【问题解决】
填空：AC′的长为______ ；
(2)如图(2)，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC交于点F，求线段EF的长．
(3)【拓展探究】
如图(3)，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作−3，
故选：B．
正数和负数是一对具有相反意义的量，据此即可得出答案．
本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是“市”．
故选：D．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：6.13万亿=6130000000000=6.13×1012，
故选：C．
首先把6.13万亿化为6130000000000，再用科学记数法表示6130000000000，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、如图：∵直线l1//l2，
∴∠2=∠6，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2．
∴A正确．
B、∵直线l1//l2，
∴∠3=∠4，
∴B正确．
∵∠2+∠4≠90°，且∠1=∠2，
∴∠1+∠4≠90°，
∴C错误．
D、∵直线l1//l2，
∴∠4+∠5=180°．
∴D正确．
故选：C．
由平行线的性质可直接得出结论．
本题考查了平行线的性质、对顶角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、b3⋅b4=b7，故B符合题意；
C、(−2c2)3=−8c6，故C不符合题意；
D、−a8÷a2=−a6，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AB=BC，AC⊥BD，
∴不能得到AC=BD，
故选：D．
由菱形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(2m)2−4(m2−1)=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出根的判别式的值，然后根据非负数的性质得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：∵近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的关系式为y=100x，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
图中曲线是反比例函数的图象的其中一支，故B正确，不符合题意；
将x=0.3.代入，y值约为333，故C不正确，符合题意；
对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数的性质进行判断即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵△OBA每次绕点O逆时针旋转90°，
∴第4次旋转后△OBA回到初始位置，
又∵2023÷4=505……3，
∴当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合，
即此时点A与点A3重合，
∵点A(2,4)，
∴点A3(4,−2)，
∴转动2023次后，点A的坐标为(4,−2)．
故选：A．
依题意不难发现第4次旋转后△OBA回到初始位置，而2023÷4=505……3，据此可得当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合，进而可得出答案．
此题主要考查了图形的旋转及性质，解答此题的关键是找出第4次旋转后△OBA回到初始位置．
10.【答案】C
【解析】解：①当y=0时，x=−1，
∴点A的坐标是(−1,0)；故①错误；
②函数图象是一个轴对称图形，对称轴为直线x=−1；故②正确；
③当x>−1时，y随x的增大而增大；故③错误；
④由图象可知，该函数有最小值，最小值为0；故④正确；
⑤∵函数y=x+1的图象过A(−1,0)，B(0,1)，
∴OA=OB=1，
∴∠BAO=45°，故⑤正确．
故选：C．
根据函数的图象判断即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：根据题意得x+1≥0，
解得x≥−1，
即x的取值范围为x≥−1．
故答案为：x≥−1．
根据二次根式有意义的条件得到x+1≥0，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】−1
解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x≤2，
故不等式组的解集为−1
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2=−6，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
14.【答案】 24
【解析】解：在矩形ABCD中，CD=CE=1，
∴DE= 12+12= 2，
∠ADC=∠BCD=90°，AB=DC=1，
∴AD=BC= 2，∠ADE=45°，
∴S2=14π×12−12×1×1=π4−12，
S扇形AED=45π⋅( 2)2360=π4，
∴阴影部分的面积为：π4−π4+12=12，
矩形ABCD的面积为：BC×CD= 2，
∴改点取自阴影部分的概率为：12 2= 24，
故答案为： 24．
连接DE，根据勾股定理，得DE的长，根据阴影部分的面积为：扇形AED的面积减去S2，根据S2的等于扇形DEC的面积减去S△ECD，即可．
本题考查几何概率，正确的分析出阴影部分的所占的概率是解题关键．
15.【答案】 2或 6+ 22
【解析】解：由翻折可知，∠ARQ=∠C，∠ARP=∠B，
在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC= 3+1，
∴∠B=∠C=30°，AD=12AB= 3+12，BD=CD= 32AB=3+ 32，
∴∠PRQ=∠B+∠C=60°，
①当∠RPQ=90°时，如图1，过点A作AD⊥BC于点D，AR与BC交于点E，
∴RP//AD，
∴∠EAD=∠ERP=∠B=30°，
在Rt△ADE中，AD= 3+12，∠EAD=30°，
∴DE= 33AD=3+ 36，
设BP=a，则PR=a，PE=BD−BP−DE=3+ 32−a−3+ 36=3+ 33−a，
在Rt△PRE中，∠PRE=30°，
∴PR= 3PE，
即a= 3×(3+ 33−a)，
解得a=1，
∴BP=PR=1，PE=3+ 33−1= 33，
∴PD=PE+DE= 33+3+ 36= 3+12=AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴AP= 2AD= 6+ 22；
②当∠RQP=90°时，如图2，由①可得，CQ=QR=1，DQ=AD= 3+12，
设PD=b，则BP=PR=BD−PD=3+ 32−b，
在Rt△PQR中，由勾股定理得，
PR2−PQ2=QR2，
即(3+ 32−b)2−( 3+12+b)2=1，
解得b= 3−12，
即PD= 3−12，
在Rt△APD中，由勾股定理得，
AP2=AD2+PD2=( 3+12)2+( 3−12)2=2，
∴AP= 2，
综上所述，AP= 2或AP= 6+ 22，
故答案为： 2或 6+ 22．
由翻折的性质，等腰三角形的性质可得∠PRQ=60°，要使△PQR为直角三角形，于是有两种情况：即∠RPQ=90°或∠RQP=90°，分别画出相应的图形，根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．
本题考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．
16.【答案】解：(1)原式=−2+1+13
=−1+13
=−23；
(2)原式=x+1x÷x2−1x
=x+1x⋅x(x+1)(x−1)
=1x−1．
【解析】(1)分别根据负整数指数幂的计算法则、零指数幂的计算法则、数的开方法则计算出各数，再根据实数运算的法则进行计算即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，涉及到负整数指数幂的计算法则、零指数幂的计算法则、数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】0.32 12 78.4分 81.5
【解析】解：(1)由题意得，m=1−(0.08+0.36+0.24)=0.32，
n=40.08×0.24=12；
故答案为：0.32，12；
(2)参加本次测试学生的平均成绩(92×16+84×12+70×18+45×4)÷50=78.4(分)．
故答案为：78.4分；
(3)将“80−89”这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，
87，88，
不及格和及格段的学生一共有4+18=22(人)，优秀的学生有16人，
∴所抽取的50名学生测试成绩从低到高位于第25、26位的是81、82，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是(81+82)÷2=81.5．
故答案为：81.5；
(4)(16+12)÷20%=140(人)．
答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
(1)用“1”减去其他等级的频率可得m的值；用不及格的频数除以不及格的频率可得样本容量，用样本容量乘良好的频率可得n的值；
(2)根据平均数公式技术即可；
(3)根据中位数的意义进行判断即可；
(4)用样本中成绩为未达到良好”及“优秀”的学生数除以20%即可．
本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法．
18.【答案】(2,−1) −1≤x<0或x≥2
【解析】解：(1)∵一次函数y=−x+1的图象过A(−1,m)，
∴m=1+1=2，
∴A点坐标为(−1,2)，
又反比例函数图象过A点，
∴k=−1×2=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
(2)①如图，
联立一次函数和反比例函数表达式得：y=−x+1y=−2x，
解得：x=2y=−1或x=−1y=2，
即点B(2,−1)；
故答案为(2,−1)；
②由图象得：不等式−x+1≤kx的解集为−1≤x<0或x≥2．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)①联立一次函数和反比例函数表达式，即可求解；
②根据图象可得结论．
本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：延长CE交AB于点G，
由题意得：CG⊥AB，AF=BF，CD=GF=18m，
设CG=x m，
在Rt△ACG中，∠ACG=11.5°，
∴AG=CG⋅tan11.5°≈0.2x(m)，
∴AF=AG+GF=(0.2x+18)m，
在Rt△CBG中，∠BCG=18.7°，
∴BG=CG⋅tan18.7°≈0.34x(m)，
∴BF=BG−FG=(0.34x−18)m，
∴0.2x+18=0.34x−18，
解得：x≈257.1，
∴AF=0.2x+18≈69(m)，
∴古塔AF的高度约为69m．
【解析】延长CE交AB于点G，根据题意可得：CG⊥AB，AF=BF，CD=GF=18m，然后设CG=x m，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出AF的长，再在Rt△CBG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出BF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300−m)袋，总费用为W元，
依题意，得W=25(300−m)+30m=5m+7500，
∵5>0，
∴W随m的增大而增大，
∵300−m≤2m，
∴m≥100，
∴m=100时，W有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，
W=5×100+7500=8000(元)．
答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．
【解析】(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300−m)袋，总费用为W元，依题意得出W=5m+7500，根据一次函数的性质可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
21.【答案】解：(1)按照步骤完成作图如下．
(2)由题意得：OP为⊙C的直径，
∴∠OQP=90° (直径所对的圆周角为90° )，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ为⊙O的半径，
∴直线PQ为⊙O的切线．
(3)连接OD．
∵OQ=2，OP=6，
在Rt△OPQ中，PQ= OP2−OQ2=4 2，
由图知AB为OP的垂直平分线，
∴OD=PD，
设QD=x，则OD=PD=4 2−x，
在Rt△OQD中，OD2=OQ2+QD2，
∴(4 2−x)2=22+x2，
解得x=7 24，
故QD的长为7 24．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)连接OA，先根据圆周角定理的推论得到∠OQP=90°，OQ⊥QP，然后根据切线的判定定理得到直线PQ为切线；
(3)由勾股定理求出PQ=4 2，设QD=x，则OD=PD=4 2−x，由勾股定理可得出答案．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质．
22.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2，
∴桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A(−10,−4)，
∴−4=100a，
解得：a=−125，
∴该抛物线的解析式y=−125x2；
(2)在y=−125x2中，设x=52得y=−14，
∵−14−3=−134，
∴水面所在直线为y=−134，
在y=−125x2中，令y=−134得：−134=−125x2，
解得x=5 132或x=−5 132，
∵5 132−(−5 132)=5 13(m)，
∴此时水面的宽度为5 13m.
【解析】(1)求出A的坐标，用待定系数法可得抛物线函数表达式；
(2)根据题意得出x=2.552时y的值，即可得出水面所在直线为y=−134，从而可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
23.【答案】3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AB=CD=5，BC=AD=4，
由折叠的性质得：C′D=CD=5，
∴AC′= C′D2−AD2= 52−42=3，
故答案为：3．
(2)由(1)得：AC′=3，
∴BC′=BC−AC′=2，
由折叠的性质得：C′E=CE，
设BE=x，则C′E=CE=4−x，
在Rt△BEC′中，BE2+BC′2=C′E2，
x2+22=(4−x)2，
解得x=32，
即BE=32，CE=4−32=52，
连接EE′，如图所示：
由平移的性质得：E′E=BC′=2，EE′//AB//CD，D′E′//DE，
∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD，
∴EFEE′=CECD=525=12，
∴EF=12EE′=1，
(3)当C″在AB内(B的左侧)时，连接EE′，
如图所示：
由平移的性质得：E′E=C′C″，EE′//AB，C″E′//C′E，
∴△QEE′∽△C″BQ∽△C′BQ，
∴E′EE′Q=C′BC′E=252=45，
∵∠CPD′=∠EPE′=∠CED=∠D′E′Q，
∴PQ=QE′=1，
∴E′E=45E′Q=45，
当C″在射线AB上(B的右侧)时，连接EE′，如图
由平移的性质得：E′E=DD′，DE//D′E，DC′//D′C″，
∴△CD′P∽△CDE，△CD′Q∽△C′AD，
∴CPCD′=CECD=525=12，CD′CQ=AC′AD=34，
即CD′=2CP，CD′=34CQ，
∵PQ=1，34(CP+PQ)=2CP，
即34(CP+1)=2CP，
求解得CP=35，
∴CD′=65，DD′=5−65=195，
故答案为：45或195．
(1)由矩形的性质得∠A=90°，AB=CD=5，BC=AD=4，再由折叠的性质得C′D=CD=5，然后由勾股定理求解即可；
(2)由折叠的性质得C′E=CE，设BE=x，则C′E=CE=4−x，在Rt△BEC′中，由
BE2+BC′2=C′E2求出BE=32，CE=52，连接EE′，根据相似三角形的判定可得△FEE′∽△FCD′∽△ECD，即可求解；
(3)分类讨论：当C″在AB内(B的左侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得E′EE′Q=45，根据平移的性质和等角对等边的性质可得PQ=QE′=1，即可求得；当C″在射线AB上(B的右侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得CD′=2CP，CD′=34CQ，求解可得CP=35，即可求得．
本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
2023年河南省郑州一中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 负数最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作( )
A. 3 B. −3 C. |3| D. 13
2. 郑州是我国重要的交通枢组，也是“国家中心城市”之一.将“国家中心城市”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. “国” B. “心” C. “城” D. “市”
3. 作为中原大省，河南省是我国的人口大省、农业大省、经济大省，2022年，河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的5.0%，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为( )
A. 6.13×108 B. 6.13×1010 C. 6.13×1012 D. 6.13×1014
4. 如图，直线l1//l2，点B，C分别在直线l1和l2上，则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠4=90° D. ∠4+∠5=180°
5. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. b3⋅b4=b7 C. (−2c2)3=−6c6 D. −a8÷a2=−a4
6. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( )
A. AB=BC B. OA=OC C. AC⊥BD D. AC=BD
7. 一元二次方程x2+2mx+m2−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
8. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片.研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小
B. 图中曲线是反比例函数的图象(其中一支)
C. 当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约为300度
D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应
9. 小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A(2,4)，B(2,0)，接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为( )
A. (4,−2) B. (−2,−2 5) C. (2 5,−2) D. (2,4)
10. 在学习过一次函数后，小星准备利用已有知识探索函数y=|x+1|的图象与性质，通过列表、描点、连线，他得到了此图象，图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有( )
①点A的坐标是(1,0)；②函数图象是一个轴对称图形；③y随着x的增大而增大；④该函数有最小值，最小值为0；⑤∠BAO=45°
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x+1有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 不等式组x+1>0,3x−1≤5的解集是______ ．
13. 已知关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根是2，则另一个根是______．
14. 如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1，则该点取自阴影部分的概率为______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC= 3+1，∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−8+20230+3−1；
(2)化简：(1+1x)÷(x−1x)．
17. (本小题9.0分)
【问题背景】书法展现人文修养、道德追求和精神气度，书法特别强调书品与人品的统一，“苟非其人，虽工不贵”(苏轼语)；“高韵深情，坚质浩气，缺一不可为书”(刘熙载).某校特别重视中学生的书法养成教育，为了检测效果，从全校学生中随机抽取20%的学生进行测评．
【评分标准】评委会依据书写、结构、字形、效果等方面制定了标准：90分及以上为优秀；80−89分为良好；60−79分为及格；60分以下为不及格，并将测评成绩制成图表．
【图表信息】
成绩
频数
频率
优秀
16
m
良好
n
0.24
及格
18
0.36
不及格
4
0.08
【数据分析】
(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)参加本次测试学生的平均成绩为______ ；
(3)已知“良好”组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是______ ；
【数据应用】
(4)请估计该校书法测评成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生总人数．
18. (本小题9.0分)
一次函数y=−x+1的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(−1,m)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请在如图所示的坐标网格xOy中画出这两个函数的图象，根据图象回答下列问题．
①点B的坐标为______ ；
②不等式−x+1≤kx的解集为______ ．
19. (本小题9.0分)
一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物CD(建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上)，在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为11.5°，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为18.7°，已知建筑物CD的高度为18m，求古塔AF的高度.(结果精确到1m，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin18.7°≈0.32，cos18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34.)
20. (本小题9.0分)
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？
21. (本小题9.0分)
【材料】自从《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P.求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q.李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
(1)连接OP，分别以O、P为圆心，以大于12OP的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点(A、B分别位于直线OP的上下两侧)；
(2)作直线AB，AB交OP于点C；
(3)以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q(点Q位于直线OP的上侧)；
(4)连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．
【问题】
(1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；
(3)若⊙O半径为2，OP=6.依据作图痕迹求QD的长．
22. (本小题9.0分)
一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米.如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
【问题背景】
如图(1)，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．
(1)【问题解决】
填空：AC′的长为______ ；
(2)如图(2)，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC交于点F，求线段EF的长．
(3)【拓展探究】
如图(3)，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作−3，
故选：B．
正数和负数是一对具有相反意义的量，据此即可得出答案．
本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是“市”．
故选：D．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：6.13万亿=6130000000000=6.13×1012，
故选：C．
首先把6.13万亿化为6130000000000，再用科学记数法表示6130000000000，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、如图：∵直线l1//l2，
∴∠2=∠6，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2．
∴A正确．
B、∵直线l1//l2，
∴∠3=∠4，
∴B正确．
∵∠2+∠4≠90°，且∠1=∠2，
∴∠1+∠4≠90°，
∴C错误．
D、∵直线l1//l2，
∴∠4+∠5=180°．
∴D正确．
故选：C．
由平行线的性质可直接得出结论．
本题考查了平行线的性质、对顶角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、b3⋅b4=b7，故B符合题意；
C、(−2c2)3=−8c6，故C不符合题意；
D、−a8÷a2=−a6，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AB=BC，AC⊥BD，
∴不能得到AC=BD，
故选：D．
由菱形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(2m)2−4(m2−1)=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出根的判别式的值，然后根据非负数的性质得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：∵近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的关系式为y=100x，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
图中曲线是反比例函数的图象的其中一支，故B正确，不符合题意；
将x=0.3.代入，y值约为333，故C不正确，符合题意；
对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数的性质进行判断即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵△OBA每次绕点O逆时针旋转90°，
∴第4次旋转后△OBA回到初始位置，
又∵2023÷4=505……3，
∴当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合，
即此时点A与点A3重合，
∵点A(2,4)，
∴点A3(4,−2)，
∴转动2023次后，点A的坐标为(4,−2)．
故选：A．
依题意不难发现第4次旋转后△OBA回到初始位置，而2023÷4=505……3，据此可得当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合，进而可得出答案．
此题主要考查了图形的旋转及性质，解答此题的关键是找出第4次旋转后△OBA回到初始位置．
10.【答案】C
【解析】解：①当y=0时，x=−1，
∴点A的坐标是(−1,0)；故①错误；
②函数图象是一个轴对称图形，对称轴为直线x=−1；故②正确；
③当x>−1时，y随x的增大而增大；故③错误；
④由图象可知，该函数有最小值，最小值为0；故④正确；
⑤∵函数y=x+1的图象过A(−1,0)，B(0,1)，
∴OA=OB=1，
∴∠BAO=45°，故⑤正确．
故选：C．
根据函数的图象判断即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：根据题意得x+1≥0，
解得x≥−1，
即x的取值范围为x≥−1．
故答案为：x≥−1．
根据二次根式有意义的条件得到x+1≥0，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】−1
解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x≤2，
故不等式组的解集为−1
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2=−6，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
14.【答案】 24
【解析】解：在矩形ABCD中，CD=CE=1，
∴DE= 12+12= 2，
∠ADC=∠BCD=90°，AB=DC=1，
∴AD=BC= 2，∠ADE=45°，
∴S2=14π×12−12×1×1=π4−12，
S扇形AED=45π⋅( 2)2360=π4，
∴阴影部分的面积为：π4−π4+12=12，
矩形ABCD的面积为：BC×CD= 2，
∴改点取自阴影部分的概率为：12 2= 24，
故答案为： 24．
连接DE，根据勾股定理，得DE的长，根据阴影部分的面积为：扇形AED的面积减去S2，根据S2的等于扇形DEC的面积减去S△ECD，即可．
本题考查几何概率，正确的分析出阴影部分的所占的概率是解题关键．
15.【答案】 2或 6+ 22
【解析】解：由翻折可知，∠ARQ=∠C，∠ARP=∠B，
在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC= 3+1，
∴∠B=∠C=30°，AD=12AB= 3+12，BD=CD= 32AB=3+ 32，
∴∠PRQ=∠B+∠C=60°，
①当∠RPQ=90°时，如图1，过点A作AD⊥BC于点D，AR与BC交于点E，
∴RP//AD，
∴∠EAD=∠ERP=∠B=30°，
在Rt△ADE中，AD= 3+12，∠EAD=30°，
∴DE= 33AD=3+ 36，
设BP=a，则PR=a，PE=BD−BP−DE=3+ 32−a−3+ 36=3+ 33−a，
在Rt△PRE中，∠PRE=30°，
∴PR= 3PE，
即a= 3×(3+ 33−a)，
解得a=1，
∴BP=PR=1，PE=3+ 33−1= 33，
∴PD=PE+DE= 33+3+ 36= 3+12=AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴AP= 2AD= 6+ 22；
②当∠RQP=90°时，如图2，由①可得，CQ=QR=1，DQ=AD= 3+12，
设PD=b，则BP=PR=BD−PD=3+ 32−b，
在Rt△PQR中，由勾股定理得，
PR2−PQ2=QR2，
即(3+ 32−b)2−( 3+12+b)2=1，
解得b= 3−12，
即PD= 3−12，
在Rt△APD中，由勾股定理得，
AP2=AD2+PD2=( 3+12)2+( 3−12)2=2，
∴AP= 2，
综上所述，AP= 2或AP= 6+ 22，
故答案为： 2或 6+ 22．
由翻折的性质，等腰三角形的性质可得∠PRQ=60°，要使△PQR为直角三角形，于是有两种情况：即∠RPQ=90°或∠RQP=90°，分别画出相应的图形，根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．
本题考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．
16.【答案】解：(1)原式=−2+1+13
=−1+13
=−23；
(2)原式=x+1x÷x2−1x
=x+1x⋅x(x+1)(x−1)
=1x−1．
【解析】(1)分别根据负整数指数幂的计算法则、零指数幂的计算法则、数的开方法则计算出各数，再根据实数运算的法则进行计算即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，涉及到负整数指数幂的计算法则、零指数幂的计算法则、数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】0.32 12 78.4分 81.5
【解析】解：(1)由题意得，m=1−(0.08+0.36+0.24)=0.32，
n=40.08×0.24=12；
故答案为：0.32，12；
(2)参加本次测试学生的平均成绩(92×16+84×12+70×18+45×4)÷50=78.4(分)．
故答案为：78.4分；
(3)将“80−89”这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，
87，88，
不及格和及格段的学生一共有4+18=22(人)，优秀的学生有16人，
∴所抽取的50名学生测试成绩从低到高位于第25、26位的是81、82，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是(81+82)÷2=81.5．
故答案为：81.5；
(4)(16+12)÷20%=140(人)．
答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
(1)用“1”减去其他等级的频率可得m的值；用不及格的频数除以不及格的频率可得样本容量，用样本容量乘良好的频率可得n的值；
(2)根据平均数公式技术即可；
(3)根据中位数的意义进行判断即可；
(4)用样本中成绩为未达到良好”及“优秀”的学生数除以20%即可．
本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法．
18.【答案】(2,−1) −1≤x<0或x≥2
【解析】解：(1)∵一次函数y=−x+1的图象过A(−1,m)，
∴m=1+1=2，
∴A点坐标为(−1,2)，
又反比例函数图象过A点，
∴k=−1×2=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
(2)①如图，
联立一次函数和反比例函数表达式得：y=−x+1y=−2x，
解得：x=2y=−1或x=−1y=2，
即点B(2,−1)；
故答案为(2,−1)；
②由图象得：不等式−x+1≤kx的解集为−1≤x<0或x≥2．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)①联立一次函数和反比例函数表达式，即可求解；
②根据图象可得结论．
本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：延长CE交AB于点G，
由题意得：CG⊥AB，AF=BF，CD=GF=18m，
设CG=x m，
在Rt△ACG中，∠ACG=11.5°，
∴AG=CG⋅tan11.5°≈0.2x(m)，
∴AF=AG+GF=(0.2x+18)m，
在Rt△CBG中，∠BCG=18.7°，
∴BG=CG⋅tan18.7°≈0.34x(m)，
∴BF=BG−FG=(0.34x−18)m，
∴0.2x+18=0.34x−18，
解得：x≈257.1，
∴AF=0.2x+18≈69(m)，
∴古塔AF的高度约为69m．
【解析】延长CE交AB于点G，根据题意可得：CG⊥AB，AF=BF，CD=GF=18m，然后设CG=x m，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出AF的长，再在Rt△CBG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出BF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300−m)袋，总费用为W元，
依题意，得W=25(300−m)+30m=5m+7500，
∵5>0，
∴W随m的增大而增大，
∵300−m≤2m，
∴m≥100，
∴m=100时，W有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，
W=5×100+7500=8000(元)．
答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．
【解析】(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300−m)袋，总费用为W元，依题意得出W=5m+7500，根据一次函数的性质可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
21.【答案】解：(1)按照步骤完成作图如下．
(2)由题意得：OP为⊙C的直径，
∴∠OQP=90° (直径所对的圆周角为90° )，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ为⊙O的半径，
∴直线PQ为⊙O的切线．
(3)连接OD．
∵OQ=2，OP=6，
在Rt△OPQ中，PQ= OP2−OQ2=4 2，
由图知AB为OP的垂直平分线，
∴OD=PD，
设QD=x，则OD=PD=4 2−x，
在Rt△OQD中，OD2=OQ2+QD2，
∴(4 2−x)2=22+x2，
解得x=7 24，
故QD的长为7 24．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)连接OA，先根据圆周角定理的推论得到∠OQP=90°，OQ⊥QP，然后根据切线的判定定理得到直线PQ为切线；
(3)由勾股定理求出PQ=4 2，设QD=x，则OD=PD=4 2−x，由勾股定理可得出答案．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质．
22.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2，
∴桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A(−10,−4)，
∴−4=100a，
解得：a=−125，
∴该抛物线的解析式y=−125x2；
(2)在y=−125x2中，设x=52得y=−14，
∵−14−3=−134，
∴水面所在直线为y=−134，
在y=−125x2中，令y=−134得：−134=−125x2，
解得x=5 132或x=−5 132，
∵5 132−(−5 132)=5 13(m)，
∴此时水面的宽度为5 13m.
【解析】(1)求出A的坐标，用待定系数法可得抛物线函数表达式；
(2)根据题意得出x=2.552时y的值，即可得出水面所在直线为y=−134，从而可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
23.【答案】3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AB=CD=5，BC=AD=4，
由折叠的性质得：C′D=CD=5，
∴AC′= C′D2−AD2= 52−42=3，
故答案为：3．
(2)由(1)得：AC′=3，
∴BC′=BC−AC′=2，
由折叠的性质得：C′E=CE，
设BE=x，则C′E=CE=4−x，
在Rt△BEC′中，BE2+BC′2=C′E2，
x2+22=(4−x)2，
解得x=32，
即BE=32，CE=4−32=52，
连接EE′，如图所示：
由平移的性质得：E′E=BC′=2，EE′//AB//CD，D′E′//DE，
∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD，
∴EFEE′=CECD=525=12，
∴EF=12EE′=1，
(3)当C″在AB内(B的左侧)时，连接EE′，
如图所示：
由平移的性质得：E′E=C′C″，EE′//AB，C″E′//C′E，
∴△QEE′∽△C″BQ∽△C′BQ，
∴E′EE′Q=C′BC′E=252=45，
∵∠CPD′=∠EPE′=∠CED=∠D′E′Q，
∴PQ=QE′=1，
∴E′E=45E′Q=45，
当C″在射线AB上(B的右侧)时，连接EE′，如图
由平移的性质得：E′E=DD′，DE//D′E，DC′//D′C″，
∴△CD′P∽△CDE，△CD′Q∽△C′AD，
∴CPCD′=CECD=525=12，CD′CQ=AC′AD=34，
即CD′=2CP，CD′=34CQ，
∵PQ=1，34(CP+PQ)=2CP，
即34(CP+1)=2CP，
求解得CP=35，
∴CD′=65，DD′=5−65=195，
故答案为：45或195．
(1)由矩形的性质得∠A=90°，AB=CD=5，BC=AD=4，再由折叠的性质得C′D=CD=5，然后由勾股定理求解即可；
(2)由折叠的性质得C′E=CE，设BE=x，则C′E=CE=4−x，在Rt△BEC′中，由
BE2+BC′2=C′E2求出BE=32，CE=52，连接EE′，根据相似三角形的判定可得△FEE′∽△FCD′∽△ECD，即可求解；
(3)分类讨论：当C″在AB内(B的左侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得E′EE′Q=45，根据平移的性质和等角对等边的性质可得PQ=QE′=1，即可求得；当C″在射线AB上(B的右侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得CD′=2CP，CD′=34CQ，求解可得CP=35，即可求得．
本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
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