湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期第二次模块检测数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期第二次模块检测数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量可以是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
2. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间中两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据面面平行性质可说明 SKIPIF 1 < 0 可能异面可能平行，判断A;利用平面的法向量的关系可判断B; 根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可判断 SKIPIF 1 < 0 可能平行，不一定垂直，判断C;根据面面平行的判定可判断D.
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能异面可能平行，A错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可在直线m上取向量 SKIPIF 1 < 0 作为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
可在直线n上取向量 SKIPIF 1 < 0 作为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能平行，不一定垂直，C错误；
对于D, 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 可能平行直线，
此时 SKIPIF 1 < 0 可能相交，D错误，
故选：B.
3. 设数列｛ SKIPIF 1 < 0 ｝的前n项和 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A. 15B. 16C. 49D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】因为数列｛｝的前n项和 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前 SKIPIF 1 < 0 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前 SKIPIF 1 < 0 项和，求数列通项公式，常用公式 SKIPIF 1 < 0 .
4. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数讨论单调性即可判断C和D.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0
因此在区间 SKIPIF 1 < 0 上必然存在唯一 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故A，B均错误；
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴选项C正确，D不正确.
故选:C.
5. 如图，在正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断错误的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面B. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于同一点D. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据棱台的结构特征，即各侧棱延长后交于一点可判断A; 连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，说明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，判断B;利用平面基本定理可证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于同一点，判断C; 连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，可判断D.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 选项，由棱台的性质，延长正四棱台 SKIPIF 1 < 0 的侧棱，相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，A选项正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面， SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不平行，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于同一点，C选项正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，而 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，D选项错误，
故选：D.
6. 已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数， SKIPIF 1 < 0 则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的导数，得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，问题 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决．
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
7. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 都成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 两边取倒数，可得 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为1的等差数列，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而将不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 都成立转化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，利用基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 的最值，可得答案.
【详解】由数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
8. 如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】作出轴截面图形，根据几何关系即可求解．
【详解】如图所示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. (多选题)等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 =0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最大的项
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.
【详解】解：对于A.，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最大的项；故B选项正确；
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的符号不定，故必有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无法确定；故C正确，D错误．
故选：ABC．
【点睛】本题考查数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．
10. 如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行
C. 平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面面积为 SKIPIF 1 < 0
D. 点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等
【答案】BC
【解析】
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的位置关系；(2)根据面面平行来证明线面平行；(3)先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；(4)利用等体积法思想证明求解.
【详解】对于选项A，以 SKIPIF 1 < 0 点为坐标原点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直，选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则易知 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于选项C，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
∵正方体中 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共面，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形 SKIPIF 1 < 0 为梯形，
又由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴梯形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确；
对于选项D，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，选项 SKIPIF 1 < 0 错误.
故选:BC.
11. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是( )
A. 若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. 若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
D. 若点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先求出抛物线的解析式，设出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，联立进行求解，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，结合抛物线定义判断选项C；过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于准线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断选项D即可.
【详解】由题意得点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A项错误；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，B项正确；
如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是梯形 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的切点，所以点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，C项正确；
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于准线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时取等号，D项正确.
故选：BCD.
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )．
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 有极小值
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直
C. 若 SKIPIF 1 < 0 有三个实根，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3
【答案】AD
【解析】
【分析】对函数求导，利用极小值的定义、导数的几何意义逐一判断即可.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 极小值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两直线不垂直，B错误；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有三个实根，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 只有两个根，C错误；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为3，D正确．
故选：AD．
第Ⅱ卷
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 .数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】采用倒序相加法即可求得结果.
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.
14. 若空间两个单位向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角都等于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角都等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 设F1，F2是双曲线C， SKIPIF 1 < 0 (a>0,b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；
【解析】
【详解】设点P在双曲线右支上,
由题意,在Rt△F1PF2中,
|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,
得|PF2|=c,|PF1|= SKIPIF 1 < 0 c,
根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a,
即( SKIPIF 1 < 0 -1)c=2a,
e= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +1.
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 导函数，若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则整数k的最大值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】先求得函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，转化问题为 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时的最小值，令 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则再将问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时的最大值，借助导函数判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性，进而求解.
【详解】由题， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
则整数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，A SKIPIF 1 < 0 ，由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用相关点法计算可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)由题意可得原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，分直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在与存在两种情况讨论，利用点到线的距离公式求出参数的值，即可得解.
【小问1详解】
解：设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：因为直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，此时符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据 SKIPIF 1 < 0 计算即可；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和可用错位相减法求得．
【小问1详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
解：由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ②，
由① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 代入，得到切点坐标，求导得到切线斜率，然后根据直线的点斜式方程，即可得到切线方程.
(2)根据导数求得函数 SKIPIF 1 < 0 的极值，求出端点值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，列出不等式求解即可得到 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点需满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
故实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(１)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(２)若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【详解】试题分析：(１)由面面垂直的判定定理很容易得结论；(２)所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，利用直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的 SKIPIF 1 < 0 长．
试题解析：(1)如图，因为三棱柱 SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是正三角形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0
又三棱柱 SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0
因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
由题设， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0
考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．
21. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为2．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程．
(2)过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点F作相互垂直的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (均不垂直于x轴)， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)由焦点得 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 后可得椭圆方程；
(2)设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，同理得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，在直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在的情况下，求出直线 SKIPIF 1 < 0 斜率，得直线方程，由直线方程得定点坐标，然后说明斜率不存在时直线也过此定点．
【详解】(1)解：因为离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)证明：由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以CD的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
将M坐标中的k换为 SKIPIF 1 < 0 ，可得N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，设直线MN的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则直线MN过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，也过点 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，直线MN过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得中点 SKIPIF 1 < 0 坐标(用 SKIPIF 1 < 0 表示)， SKIPIF 1 < 0 点坐标，然后求出直线方程后，通过方程得出定点．
22. 设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;
(2)利用函数零点可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，换元令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，需证明 SKIPIF 1 < 0 ，由此构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数即可证明结论.
【小问1详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 ，则定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
【小问2详解】
证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，也就是要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将两式相加减，进而消去a，可得 SKIPIF 1 < 0 ，换元令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 ，需证 SKIPIF 1 < 0 ，从而构造函数，解决问题.