2022-2023学年福建省宁德市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省宁德市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=i2+i(i为虚数单位)，则z的虚部为
( )
A. −1B. −2iC. 2D. 2i
2.在△ABC中，D为线段AB上一点，且AD=13AB，则CD=( )
A. 13AB+ACB. AB+13ACC. 13AB−ACD. AB−13AC
3.设A,B为两个互斥事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列各式一定正确的是
( )
A. P(AB)=P(A)P(B)B. P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. P(AB)=P(A)+P(B)D. P(A∪B)=P(A)P(B)
4.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( )
A. 两个角都是直角B. 两个角都是锐角
C. 两个角都为0°D. 一个角为0°，一个角为90°
5.某学校高年级有300名男生，200名女生，现采用分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取一个容量为60的样本，男生平均成绩为110分，女生平均成绩为100分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为
( )
A. 100分B. 105分C. 106分D. 110分
6.设a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
( )
A. 若α//β,a⊂α,b⊂β，则a/​/bB. 若α∩β=a,b//a，则b//α
C. 若α⊥β,a⊂α,b⊂β，则a⊥bD. 若a⊥α,b⊂β,α//β，则a⊥b
7.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30∘，且与甲船相距10n mile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin∠ACB=( )
A. 217B. 77C. 37D. 73
8.甲、乙两人组队参加禁毒知识竞赛，每轮比赛由甲、乙各答题一次，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则
( )
A. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为25
B. 在第一轮比赛中，甲、乙都没有答对的概率为115
C. 在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的概率为2675
D. 在两轮比赛中，甲、乙至多答对一题的概率为32225
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若复数z满足2z+z=3+i(i为虚数单位)，则下列结论正确的是
( )
A. z=1+iB. z= 2
C. z的共轭复数z=−1−iD. z是方程x2+2x+2=0的一个根
10.若m,n,a是任意的非零向量，则下列正确的是
( )
A. 0m=0
B. an⋅m=a⋅nm
C. 若m⋅a=n⋅a，则m=n
D. 若m与n共线且方向相同，则m在n上的投影向量为|m||n|n
11.两个班级，每班各自随机选出10名学生测验铅球成绩，以评估达标程度，测验成绩如下(单位：m)：则以下说法正确的是( )
A. 乙班级的平均成绩比甲班级的平均成绩高
B. 乙班级的成绩比甲班级的更加集中
C. 甲班级成绩的第40百分位数是6.9
D. 若达标成绩是7m，估计甲班级的达标率约为0.6
12.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E 为正方形ABCD的中心，M ，N 分别是棱BB1，A1B1的中点，则下列选项正确的有
( )
A. EM⊥MN
B. 直线EN与平面ABCD所成角的正弦值为 55
C. 三棱锥M−NB1C1的外接球的半径为 62
D. 过M、N、E的平面截该正方体所得的截面形状是六边形
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.复数z=i2+i，则z在复平面内对应的点位于第 象限．
14.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为 ．
15.已知O，H在△ABC所在的 平面内，若OA=OB=OC，OA+OB+OC=OH，则AH⋅BC= ．
16.已知平面内两个不同的单位向量m=x1,y1,n=x2,y2与p=1,1所成的角都为π6，则m⋅n= ；y1y2x1x2= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知a,b为平面向量，且a=1,2．
(1)若b=1,1，且ka−b与a垂直，求实数k的值；
(2)若a//b，且b=2 5，求向量b的坐标．
18.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B，CC1的中点．

(1)求证：MN/​/平面ABC；
(2)求证：MN⊥平面A1ABB1．
19.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，将数据按照［3，4)，［4，5)，…，［8，9］分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于7(单位：t)的人数；
(3)若该市政府希望80%的居民每月的用水量不超过标准x(单位：t)，估计x的值．
20.(本小题12分)
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件A：第一次取出的是2号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)判断事件A与事件B是否相互独立，请说明理由；
(3)两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
21.(本小题12分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.请从条件①、条件②中选择一个条件作为已知，求：
(1)A的度数：
(2)若c=1，求△ABC面积的取值范围．
条件①：acsC+ 3asinC=b+c；
条件②：△ABC的面积S= 3b2+c2−a24．
22.(本小题12分)
如图1，平面四边形ACBD满足AB⊥CD，AB∩CD=O，AO=3，BO=1，CO=3 3，DO= 3.将三角形ABC沿着AB翻折到三角形ABE的位置，连接ED得到三棱锥E−ABD(如图2)．
(1)证明：AB⊥DE；
(2)若平面ABE⊥平面ABD，M是线段DE上的一个动点，记∠ABM，∠BAM分别为α,β，当α−β取得最大值时，求二面角M−AB−D的余弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类．
根据复数的运算求出 z ，继而得出答案．
【解答】
解： z=i2+i=−1+2i ，则z的虚部为2．
故选：C.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量线性运算，属于基础题．
由题意 AD=13AB ，根据向量的线性运算求解即可．
【解答】
解：∵D为线段AB上一点，且 AD=13AB ，
∴ AD=13AB ，∴ AC+CD=13AB ，
∴ CD=13AB−AC ，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
根据互斥事件的含义判断各选项即可．
【解答】
解：因为 A,B 为两个互斥事件， P(A)>0 ， P(B)>0 ，
所以 A∩B=⌀ ，即 P(AB)=0 ，且 P(A∪B)=P(A)+P(B) ．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角，异面直线的概念，属于基础题．
A选项，可推出两直线平行，A不可能；BCD可举出反例．
【解答】
解：A选项，当两个角均是直角时，两直线平行，故不满足异面，A不可能，
B选项，如图1， a,b 与平面 β 所成角都时锐角，B可能，
C选项，如图2， a,b 与平面 β 所成角都为 0∘ ，C可能，
D选项，如图3，直线 b 与平面 β 所成角为0°，
直线 a 与平面 β 所成角为 90∘ ，D可能．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样的样本均值．
求出应抽取男生和女生的人数，根据按比例分配分层抽样总样本平均数的公式计算即可．
【解答】
解：由题意，应抽取男生 60×300300+200=36 (人)，女生 60×200300+200=24 (人)，
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为 3660×110+2460×100=106 (分)．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中点、线、面的位置关系，属于基础题．
根据空间线线、线面、面面关系逐一判断．
【解答】
解：对于A，若 α//β,a⊂α,b⊂β ，则 a,b 可能平行或异面，故A错误；
对于B，若 α∩β=a,b//a ，则可能有 b⊂α ，故B错误；
对于C，若 α⊥β,a⊂α,b⊂β ，则可能有a // b，故C错误；
对于D，若 a⊥α,α//β ，则 a⊥β ，又 b⊂β ，则a⊥b，故D正确．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查解三角形的实际应用．
由余弦定理求得CB，进而由正弦定理求得答案．
【解答】
解：由题意 ∠CAB=120∘,AC=10,AB=20 ，
由余弦定理得， CB2=AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠CAB=700 ，∴ CB=10 7 ，
由正弦定理得， CBsin∠CAB=ABsin∠ACB ，即 10 7 32=20sin∠ACB ，解得 sin∠ACB= 217 ．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于难题．
根据相互独立事件的概率乘法公式，结合选项逐一判断．
【解答】
解：在第一轮比赛中，甲对乙不对的概率为 35×1−23=15 ，甲不对乙对的概率为 1−35×23=415 ，甲乙都不对的概率为 1−35×1−23=215 ，所以恰有一人答对的
概率为 15+415=715 ，故AB均错误；
在第一轮比赛中，答对一道题的概率为 715 ，答对两道题的概率为 35×23=615 ，答对0道题的概率为 25×13=215 ，
在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的情况为：第一轮答对1道第二轮答对2道和第一轮答对2道第二轮答对1道，故概率为 715×615×2=2875 ，故C错，
在两轮比赛中，甲、乙答对0道题的概率为 215×215=4225 ，答对1道题的概率为 215×715×2=28225 ，所以甲、乙至多答对一题的
概率为 32225 ，故选D．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查复数相等，共轭复数，复数的模及其几何意义，复数集内解方程。
设z=a+bi,a,b∈R，根据复数相等求出a，b，即可判断A，B，C;
将z代入方程，可判断D。
【解答】
解：设z=a+bi,a,b∈R，则z=a−bi，因为2z+z=3+i，即2a+bi+a−bi=3+i，
所以3a=3b=1，解得a=1b=1,
所以z=1+i，z=1−i，z= 1+1= 2，故 A，B正确，C错误；
将z=1+i代入方程可得1+i2+21+i+2=4+4i≠0，故 D错误；
故选：AB．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查向量的概念以及向量的运算．
由向量数乘运算的概念可判断A；n⋅m,a⋅n均表示一个实数，an⋅m,a⋅nm均表示向量，可判断B；若m⋅a=n⋅a，可得m−n⊥a，可判断C；由投影向量的概念可判断D．
【解答】
解：由向量数乘运算的概念可知，0m=0，故 A正确；
n⋅m,a⋅n均表示一个实数，an⋅m,a⋅nm均表示向量，
而a,m的方向不一定相同，故 B错误；
若m⋅a=n⋅a，则m⋅a−n⋅a=0，即m−n⋅a=0，
则m−n⊥a 也可能成立，不一定有m=n，故 C错误；
若m与n共线且方向相同，则m⋅n=mn，
则m在n上的投影向量为m⋅nn⋅nn=mnn，故 D正确．
故选：AD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
计算出甲班级，乙班级的平均成绩，可判断A；计算出甲班级，乙班级成绩的方差，可判断B；利用百分位数概念求解可判断C；甲班级选出的10名学生有6人达标，可估计甲班级的达标率约为0.6，可判断D．
【解答】
解：甲班级的平均成绩x1=110(9.1+7.9+8.4+6.9+5.2+7.1+8.0+8.1+6.7+4.9)=7.23，
乙班级的平均成绩x2=110(8.8+8.5+7.3+7.1+6.7+8.4+9.0+8.7+7.8+7.9)=8.02，
x2>x1，故 A正确；
甲班级成绩的方差s12=110[9.1−7.232+7.9−7.232+8.4−7.232+6.9−7.232+5.2−7.232
+7.1−7.232+8.0−7.232+8.1−7.232+6.7−7.232+4.9−7.232]=1.6621，
乙班级成绩的方差s22=110[8.8−8.022+8.5−8.022+7.3−8.022+7.1−8.022+6.7−8.022
+8.4−8.022+9.0−8.022+8.7−8.022+7.8−8.022+7.9−8.022]=0.5576，
s12>s22，故 B正确；
甲班级的成绩由小到大排列：4.9，5.2，6.7，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1，
∵10×40%=4，∴甲班级成绩的第40百分位数是6.9+7.12=7，故 C错误；
若达标成绩是7m，甲班级选出的10名学生有6人达标，
所以，估计甲班级的达标率约为0.6，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面所成的角，球的切、接问题，空间几何体的截面问题(截面形状)，属于较难题．
利用勾股定理逆定理判断A，取AB的中点F，连接EF、NF，则∠NEF为直线EN与平面ABCD所成角，即可判断B，三棱锥M−NB1C1的外接球即为以NB1、B1C1、B1M为长、宽、高的长方体的外接球，即可判断C，作出截面图，即可判断D．
【解答】
解：对于A：因为MN= 12+12= 2，
ME= 22+12= 3，NE= 22+12= 5，
所以MN2+ME2=NE2，即EM⊥MN，
故A正确；
对于B：取AB的中点F，连接EF、NF，
因为N是棱A1B1的中点，所以NF//A1A，
又A1A⊥平面ABCD，所以NF⊥平面ABCD，
所以∠NEF为直线EN与平面ABCD所成角，
所以sin∠NEF=NFNE=2 5=2 55，
即直线EN与平面ABCD所成角的正弦值为2 55，故 B错误；
对于C：因为NB1⊥B1C1，NB1⊥B1M，MB1⊥B1C1，
所以三棱锥M−NB1C1的外接球即为以NB1、B1C1、B1M为长、宽、高的长方体的外接球，
长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R2=12+12+22=6，
所以R= 62，故三棱锥M−NB1C1的外接球的半径为 62，故 C正确；
对于D：延长NM交AB的延长线于点K，延长MN交AA1的延长线于点F，连接EK交BC于点G，
延长KE交AD于点H，连接FH交A1D1于点I，连接NI、MG，
则五边形HGMNI即为过M、N、E的平面截该正方体所得的截面，
其中▵KBM≌▵NB1M，▵NA1F≌▵NB1M，所以BK=B1N=1，A1F=B1M=1，
取AB的中点J，连接EJ，则EJ//BG，所以BGEJ=BKKJ=12，所以BG=12，
即G为BC边上 靠近B的四等分点，又AH//BG，
所以BGAH=BKAK=13，所以AH=32，即H为AD 边上靠近D的四等分点，
又A1I//AH，所以A1IAH=A1FAF=13，所以A1I=12，即I为A1D1 边上靠近A1的四等分点，过M 、N 、E 的平面截该正方体所得的截面形状是五边形，故D错误；
故选：AC．
13.【答案】一
【解析】【分析】
本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据复数的除法运算化简复数，得到对应点，判断所在象限．
【解答】
解：由 z=i2+i=i2−i2+i2−i=1+2i5 ，
z在复平面内对应的点为 15,25 ，故点在第一象限，
故答案为：一
14.【答案】5π4
【解析】【分析】
本题考查圆锥的表面积的计算．
根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，
由题意可得： 2πr=π2×2 ，解得 r=12 ，
所以圆锥的表面积为 π122+π×2×12=5π4 ．
故答案为： 5π4 ．
15.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的运算。
取BC中点M，根据外心的性质可得 OM⊥BC ，根据向量的线性运算可得 AH 与 OM 共线，最后由数量积的定义求解．
【解答】
解：根据 OA=OB=OC 可知 O 为△ABC的外心，
取 BC 中点为 M ，连接 OM ，则 OM⊥BC ，
由 OB+OC=OH−OA⇒2OM=AH ，所以 AH 与 OM 共线，
AH⋅BC=2OM⋅BC=0 ，
故答案为：0

16.【答案】12；1
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模和夹角，属于较难题．
根据题意，由平面向量的模长公式以及数量积公式列出方程，代入计算，得到结果．
【解答】
解：因为单位向量 m=x1,y1,n=x2,y2 与 p=1,1 所成的角都为 π6 ，
所以 m= x12+y12=1 ， csπ6=m⋅pm⋅p=x1+y1 2= 32 ，
解得 x1+y1= 62 ， x1y1=x1+y12−x12+y122= 622−12=14 ，
则 x1,y1 是方程 x2− 62x+14=0 的两根，
同理可得，
x2+y2= 62 ， x2y2=(x2+y2)2−(x22+y22)2=( 62)2−12=14 ，
则 x2,y2 是方程 x2− 62x+14=0 的两根，
又因为 m,n 是两个不同的单位向量，所以 x1=y2 ， x2=y1 ，
所以 x1x2=14 ， y1y2=14 ， m⋅n=x1x2+y1y2=12 ， y1y2x1x2=1 ．
故答案为： 12 ；1 ．
17.【答案】解：(1)因为 a=1,2,b=1,1 ，则 ka−b=k−1,2k−1 ，
因为 ka−b 与 a 垂直，于是 ka−b⋅a=0 ，即 k−1+2k−1×2=0 ，解得 k=35 ，
所以 k=35 ．
(2)由 a//b ，设 b=λa=λ,2λ ，而 b=2 5 ，则 λ2+4λ2=2 5 ，解得 λ=±2 ，
所以 b=2,4 或 b=−2,−4 ．

【解析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量平行(共线)关系的坐标表示，
(1)根据向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示列出方程，求解；
(2)利用向量共线设出 b 的坐标，利用坐标求模列式计算．
18.【答案】解：(1)设AB的中点为D，连接MD，CD．

因为M，D分别为A1B，AB的中点，
所以DM//A1A,DM=12A1A，
又因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱且N为CC1的中点，
所以CN//AA1,CN=12AA1，
所以CN//MD,CN=MD，
所以四边形CDMN是平行四边形，MN//CD，
又因为CD⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN/​/平面ABC．
(2)因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，
又因为CD⊂平面ABC，所以CD⊥A1A.
因为D为AB的中点且△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．
因为AB⊂平面A1ABB1，A1A⊂平面A1ABB1，A1A∩AB=A，所以CD⊥平面A1ABB1，
又因为MN//CD，所以MN⊥平面A1ABB1．

【解析】本题考查了线面平行、垂直的判定，属基础题．
(1)设AB的中点为D，连接MD，CD，由线面平行的判定定理可证；
(2)由线面垂直的判定定理先得CD⊥平面A1ABB1，再结合MN//CD可证．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得
0.05×2+0.1+0.2+0.25+a×1=1 ，解得 a=0.35．
(2)由频率分布直方图知，月均用水量不低于7吨的频率为 0.2+0.05×1=0.25，
由此估计全市60万居民中月均用水量不低于7吨的人数为 60×0.25=15 (万)．
(3)因为前四组的频率之和为 0.05+0.1+0.25+0.35×1=0.75<0.8，
又因为前五组的频率之和为 0.05+0.1+0.25+0.35+0.2×1=0.95>0.8，
所以 7≤x<8 ．
由 0.2x−7=0.8−0.75 ，解得 x=7.25．
因此，估计月用水量标准为 7.25t 时， 80% 的居民每月的用水量不超过标准．

【解析】本题考察频率分布直方图，用样本的分布估计总体的分布，属于中档题．
(1)根据频率之和为1即可求解，
(2)用频率乘以总数即可求解，
(3)根据频率之和为0.8即可求解．
20.【答案】解：(1)用数组 x1,x2 表示可能的结果， x1 表示第一次抽到球的标号， x2 表示第二次抽到球的标号，
则试验样本空间为 Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)} ．
(2)A=2,1,2,3,2,4 ， B=1,4,2,3,3,2,4,1 ， AB=2,3 ．
所以 PA=312=14,PB=412=13,PAB=112 ．
因为 PAB=PAPB ，所以事件A与事件B是相互独立．
(3)两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7.分别记作事件：C，D，E，F，G．
则 C=(1,2),(2,1),D=(1,3),(3,1),E=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),
F=(2,4),(4,2),G=(3,4),(4,3) ．
P(C)=212=16，P(D)=212=16，P(E)=412=13，P(F)=212=16，P(G)=212=16 ．
因 P(E)>P(C)=P(D)=P(F)=P(G) ．
所以两次取出号码之和最有可能是 5．

【解析】本题主要考查随机事件与概率，考查两个随机事件的相互独立性，古典概型概率公式，属于简单题．
(1)用数组 x1,x2 表示可能的结果，即可得出试验样本空间；
(2)利用独立事件的定义判断；
(3)两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7，求出对应的概率比较即可得出答案．
21.【答案】解：(1)选择条件①：由正弦定理得 sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC ，
sinAcsC+ 3sinAsinC=sinA+C+sinC ，
所以 3sinAsinC=sinCcsA+sinC ，
因为sinC>0，所以 3sinA=csA+1 ，
所以 sinA−π6=12 ，
又 A−π6∈−π6,π3 ，所以 A−π6=π6,A=π3 ，
选择条件②：由面积公式得 12bcsinA= 3b2+c2−a24 ，
由余弦定理得 b2+c2−a2=2bccsA ，
所以 12bcsinA=2 3bccsA4 ， tanA= 3 ，
又 A∈0,π2 ，所以 A=π3 ．
(2)由正弦定理 bsinB=csinC 得 b=csinBsinC ，
由面积公式可得
S△ABC=12bcsin A= 34sin Bsin C= 34·sin (C+π3)sin C
= 34·(12sin C+ 32cs C)sin C= 38(1+ 3tan C)，
因为 ▵ABC 为锐角三角形，故 0解得 π6故 tanC> 33 ， 38< 381+ 3tanC< 32 ，
所以 S▵ABC 的取值范围为 38, 32 ．

【解析】本题考查利用正余弦定理和面积公式解三角形，还考查了三角恒等变换和三角函数的值域，属于中档题．
(1)选①，运用正弦定理，三角形中 sinB=sinA+C 以及辅助角公式得到 sinA−π6=12 ，再结合A 的范围求出答案；
选②，由面积公式和余弦定理得到 tanA= 3 ，再结合 A 的范围求出答案；
(2)由正弦定理和面积公式可得 S▵ABC= 381+ 3tanC ，根据 ▵ABC 为锐角三角形，得到 π622.【答案】解：(1)由翻折可知，在图2中，AB⊥EO，AB⊥OD，EO∩OD=O，
EO,OD⊂ 平面EOD，所以AB⊥平面EOD，
又因为 DE⊂ 平面EOD，所以AB⊥ED，
(2)连接OM，
因为平面EAB⊥平面ABD，平面EAB∩平面ABD=AB，
EO⊥AB， EO⊂ 平面EAB，所以EO⊥平面ABD，
又 OD⊂ 平面ABD，所以EO⊥OD，
所以在直角三角形EOD中， OE=3 3,OD= 3,DE= 30 ，
所以 cs∠EDO= 1010 ，
DE边上的高为 OE⋅ODDE=3 3× 3 30=3 3010 ，所以 3 3010≤OM≤3 3 ，
由(1)可知AB⊥平面EOD， OM⊂ 平面EOD，所以AB⊥OM，
tanα=OMOB=OM,tanβ=OMOA=OM3 ，
tanα−β=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=2OM31+OM23=23OM+OM≤ 33 ，
当且仅当 OM= 3 取等号，所以当 α−β 取最大值时， OM= 3 ，
因为OM⊥AB，OD⊥AB，所以∠MOD是二面角M−AB−D的平面角，
在等腰三角形MOD中， cs∠MOD=csπ−2∠MDO=1−2cs2∠MDO=1−2× 10102=45 ，
所以二面角M−AB−D的余弦值为 45 ．

【解析】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，二面角．
(1)由翻折可知，AB⊥EO，AB⊥OD，推出AB⊥平面EOD，再根据线面垂直的性质证明结论；
(2)连接OM，先证得EO⊥平面ABD，再根据线面垂直的性质证明EO⊥OD，在直角三角形EOD中，求出 cs∠EDO 的值及 OM 的范围，由 AB⊥OM，结合两角差的正切公式得 tanα−β 的表达式，利用基本不等式求得 α−β 取最大值时 OM 的长，因为OM⊥AB，OD⊥AB，所以∠MOD是二面角M−AB−D的平面角，最后结合二倍角公式求出答案．
甲
9.1
7.9
8.4
6.9
5.2
7.1
8.0
8.1
6.7
4.9
乙
8.8
8.5
7.3
7.1
6.7
8.4
9.0
8.7
7.8
7.9