2022-2023学年福建省三明市普通高中高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省三明市普通高中高二上学期期末质量检测数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省三明市普通高中高二上学期期末质量检测数学试题 一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据抛物线方程即可得焦点坐标.【详解】在抛物线中，开口向右，，故其焦点坐标为，故选：A.2．直线的倾斜角的大小为（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解析】由直线方程得到斜率，根据斜率的定义可求得倾斜角.【详解】设倾斜角，,因为，所以.故选：A3．若是与的等差中项，则实数a的值为（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案.【详解】由题意知是与的等差中项，故，则.故选：D4．若向量，，且，则的值为（    ）A． B．0 C．6 D．8【答案】D【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得.【详解】依题意，向量，，且，通过观察横坐标可知，所以，所以.故选：D5．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ）A．16 B． C．24 D．【答案】C【分析】根据，，利用等比数列的通项公式求解.【详解】解：在各项均为正数的等比数列中，，，所以，解得或（舍去）或（舍去），此时，所以，故选：C6．已知A，B是抛物线上的两个动点，满足，其中F是C的焦点.过A，B向C的准线作垂线，垂足分别为M，N，若y轴被以MN为直径的圆E截得的线段为，则x轴被圆E截得的线段长为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合以及轴被圆截得的弦长求得，进而求得x轴被圆E截得的线段长.【详解】，设，由于，所以三点共线，不妨设在第一象限，在第四象限，则，则.不妨设直线的方程为，由消去并化简得，所以，则.，，圆的圆心为，即，设圆的半径为，则，所以，截得，所以圆心，半径，所以x轴被圆E截得的线段长为.故选：D7．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的增长速度求得正确答案.【详解】当时，的增长速度越来越快；当时，的增长速度越来越慢；所以B选项符合.故选：B8．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高，上口直径为，底部直径为，最小直径为，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为（    ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】建立双曲线标准方程下的直角坐标系，得双曲线方程为，利用实轴长为，（），（）在双曲线上，且，可求得，得．【详解】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为，则，， （），（）在双曲线上，且，由，即，，，由，得，所以，则双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为故选:C． 二、多选题9．已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用代入验证法确定正确答案.【详解】，A选项正确.，B选项错误，，C选项正确.，D选项错误.故选：AC10．在空间直角坐标系中，已知向量，.以下各组值中能使得的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示列式，再逐项验证判断作答.【详解】向量，，于是当且仅当，即，对于A，当，时，，A不是；对于B，当，时，，B是；对于C，当，时，，C是；对于D，当，时，，D不是.故选：BC11．若n，m，成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（    ）A． B． C． D．2【答案】ACD【分析】根据等比数列列方程，对的符号进行分类讨论，结合圆锥曲线的知识求得离心率.【详解】由于成等比数列，所以，当时，，，曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以，A选项正确.当时，，，曲线即，表示焦点在轴上的双曲线，所以，D选项正确.当时，，，所以即，表示焦点在轴上的双曲线，所以，C选项正确.当时，方程不成立.故选：ACD12．已知函数，数列满足，且，.若是等差数列，则可能取的整数是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】将表示为分段函数的形式，利用选项以及是等差数列求得正确答案.【详解】，A选项，，，，所以是首项，公差为的等差数列.所以A选项正确.B选项，，所以，则为常数列，也是等差数列. 所以B选项正确.C选项，，，，所以不是等差数列.所以C选项错误.D选项，，，当时，，所以是首项，公差为的等差数列.所以D选项正确.故选：ABD 三、填空题13．已知函数，则________.【答案】2【分析】求出函数的导数后可求.【详解】，故，故答案为：14．两条平行直线与间的距离为________.【答案】【分析】利用两条直线平行求出a，再利用平行线间距离公式求解作答.【详解】因为直线与平行，可知,则，解得，直线，即，直线，所以直线与间距离为.故答案为：15．已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为________.【答案】【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设方程为，则，所以E的轨迹方程为.故答案为：.16．在数列中，，且当时，都有.使得不等式成立的最小正整数M的值为________.【答案】12【分析】根据数列的递推公式可得：，然后利用不等式的放缩即可求解.【详解】因为，则，所以，则，因为，又，所以所以不等式成立的最小正整数M的值为，故答案为：. 四、解答题17．如图，在四边形ABCD中，，，，，直线AB与CD间的距离为3.建立适当的平面直角坐标系，求四边形ABCD外接圆的方程，并求该圆的圆心坐标和半径.【答案】答案不唯一【分析】建立平面直角坐标系，通过求圆心和半径，或利用待定系数法求得外接圆的方程，进而求得圆心和半径.【详解】解法一：设AB中点为O，CD中点为M，连接OM.则四边形ABCD关于直线OM对称.则，.如图，以O为坐标原点，以AB为x轴，以OM为y轴建立平面直角坐标系.则，，且四边形ABCD的外接圆圆心在y轴上，设为.则，即.化为，解得.则，故所求圆的方程为.其圆心坐标为，半径为.解法二：过D作AB的垂线，垂足为H.则，.如图，以A为坐标原点，以AB为x轴，以过A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系.则，，.设所求圆的方程为.因为A，B，D在该圆上，所以.解得：.即所求圆的方程为.化为.其圆心坐标为，半径为.18．已知函数.(1)求的导数；(2)求曲线在点处的切线方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解【详解】（1）因为，所以（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为.19．如图，在四面体ABCD中，，，，.(1)求的值；(2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）取为空间的一个基底，表示出，再利用空间向量数量积求解作答.（2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答.【详解】（1）在四面体中，设，，，则，，，，，.（2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图，于是得，因此，即有，所以线段EF的长为.20．在等差数列中，，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前n项和为，且.令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得.（2）先求得，利用裂项求和法求得.【详解】（1）设的公差为.因为，所以①因为，所以，整理得，②联立①，②并解得，.所以.（2）因为③，所以当时，④.③④得.所以.所以，而，解得，即.所以是公比为3的等比数列.所以.则.所以.21．如图，在三棱柱中，，，且在平面ABC内的正投影为BC上的点D.过D作平面的垂线，垂足为E，连接并延长交AB于点G.(1)证明：平面；(2)若D为BC中点，求DE与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意，由条件结合线面平行的判定定理即可证明；（2）连结AD，，以D为坐标原点，以DA，DB，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算结合线面角的计算公式，即可得到结果.【详解】（1）因为在平面ABC的正投影为点D，即平面ABC，且平面ABC，所以.因为平面，且平面，所以.又因为平面，平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为，，所以平面ABC.又因为，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）连结AD，.因为，D为BC中点，所以.因为，所以，则.以D为坐标原点，以DA，DB，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，，，，.，.设平面的法向量为.因为，.所以，则，.取，得，即.由（1）知，G为AB中点，则.所以.因为，且，所以E为等边三角形的中心.所以.则.设DE与平面所成的角为，则.即DE与平面所成的角的正弦值为.22．如图，已知P是圆上的动点，过作直线BP的垂线，垂足为B，交AP于Q，设线段PQ中点M的轨迹为曲线E.(1)求E的方程；(2)设E与x轴交于C，D，过点M且斜率为1的直线与E的另一个交点为N，与x轴的交点为G.判断：当M在E上运动时，是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根据椭圆的定义求得的方程.（2）设MN的方程为并与的方程联立，化简写出根与系数关系，计算出，从而求得正确答案.【详解】（1）因为，且M为PQ中点，所以.因为P是圆上的点，且A为圆心，所以.所以.又因为，则.所以M的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆.则在该椭圆中，，，.故所求的椭圆方程为.（2）依题意，C，D是椭圆与x轴的交点.不妨设C在D的左侧，则C，D分别是椭圆的左，右顶点.故，.设MN的方程为.令，得，即.所以，.则.联立，消去x得：.整理得由，得.设，.则，.，同理.所以.即.所以存在，使得.