2022年上海市附属外国语学校中考数学模拟试卷（含详细答案）

2022年上海市附属外国语学校中考数学模拟试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各式中：中，是分式的共有（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．下列各数是无理数的是（　　）

A． B． C． D．

3．直线经过的象限是（     ）．

A．三、二、一 B．三、四、一 C．二、三、四 D．二、一、四

4．（2011贵州安顺）我市某一周的最高气温统计如下表：

则这组数据的中位数与众数分别是（ ）A．27，28 B．27.5，28 C．28，27              D．26.5，27

5．已知四边形中，对角线相交于点 ，下列对于四边形的说法中正确的是（  ）

A．若，则它是矩形

B．若且，则它是平行四边形

C．若， 则它是菱形

D．若则它是正方形

6．在平面直角坐标系中，的半径是2，点在y轴上移动，当与x轴相交时，m的取值范围是（　　）

A．  B． C．或 D．

二、填空题

7．已知是多项式的因式，则 ______ ．

8．方程的解是_____．

9．当x ___________时，式子有意义．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交直线于点，…依次进行下去，记点的横坐标为，若，则______．

11．一只不透明袋子中装有四只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字：、、、，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标，则点A落在第四象限的概率为______ ．

12．若x1，x2，…，x9这9个数的平均数＝10，方差s2=2，则x1，x2，…，x9，这10个数的平均数为___，方差为___.

13．拉萨市出租车的收费标准是：3千米内（含3千米）起步价为8元，3千米外每千米收费为1.8元，当小王回家付出车费20.6元，求所乘的里程数．设小王坐出租车x千米，只列方程_____．

14．△ABC中，AD是中线，G是重心，，那么=_______（用表示）.

15．如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，点G、H在边上，点M、N在边上，且．若，则图中阴影部分面积和为______．

16．已知△ABC与△ABD不全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则CD＝_____．

17．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝_____________．

18．在中，，是边上的高，且，则的度数是____________．

三、解答题

19．计算

(1)

(2)

20．解不等式组：

21．已知抛物线的顶点为A点，

(1)当时，求b与c的值．

(2)若直线经过A点，

①当直线与抛物线都与y轴交于同一点，求b与m的关系式；

②当直线与抛物线的另一个交点B的横坐标是方程的一个根．求m的最小值．

22．某居民楼紧挨一座山坡，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知，斜坡的坡角，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡与地面成45°角，米．求斜坡的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：，）

23．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.

24．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）．

(1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式．

(2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）．

(3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F．

①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标．

②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值．

25．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=15，BC=20，CD=7，AD=24．

（1）求对角线AC的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

参考答案：

1．C

【分析】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进而解答即可．

【详解】是分式，共有3个，

故选：C．

【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母．

2．D

【分析】根据无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）逐项判定出答案．

【详解】A．是有理数，则此项不符合题意；

B．是有理数，则此项不符合题意；

C．是有理数，则此项不符合题意；

D．是无理数，则此项符合题意．

故选：D

【点睛】本题考查了无理数，熟记无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）是解题关键．

3．D

【分析】根据一次函数的性质解答即可．

【详解】解：因为，

所以直线过二，四象限，

又，所以直线交于y轴的正半轴，

所以此直线过一，二，四象限，

故选D．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，属于基础题目，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

4．A

【详解】根据表格可知：数据25出现1次，26出现1次，27出现2次，28出现3次，

∴众数是28，

这组数据从小到大排列为：25，26，27，27，28，28，28

∴中位数是27

∴这周最高气温的中位数与众数分别是27，28

故选A.

5．B

【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定定理进行判断即可．

【详解】A、若AC＝BD，那么四边形ABCD不一定是矩形；故错误；

B、若AB∥CD且AB＝CD，则它是平行四边形；故正确；

C、若AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形；故错误；

D、若AO＝BO＝CO＝DO，那么四边形ABCD是矩形；故错误；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了平行四边形，正方形，矩形和菱形的判定，关键是熟练掌握判定定理．

6．D

【分析】当与x轴相交时，则圆心P到x轴的距离小于2，即得，进而可得答案．

【详解】解：当与x轴相交时，则圆心P到x轴的距离小于2，

∴，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基本题目，熟知直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径是解题的关键．

7．##0.25

【分析】根据题意，，根据整式的乘法求得，，进而得出的值，根据负整数指数幂进行计算即可求解．

【详解】解：∵是多项式的因式，

∴设

∵

∴

∴①，，②，③

由①②得④，

由③④得，

代入解得：，

∴，，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，负整数指数幂的运算，掌握多项式乘以多项式是解题的关键．

8．

【详解】试题分析：方程两边平方，得，解得．代入验根可得方程的根为．

考点：解无理方程．

9．＞0##大于0

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．

【详解】由题意得，且，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数大于等于0．

10．

【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商的情况确定出a2021即可．

【详解】解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1=2，

A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为，

B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═，

A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为，

B3的横坐标和A3的横坐标相同为，

A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为，

B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4=2=a1，

…

由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，

∵2021÷3=673…2，

∴a2021=a2=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．

11．

【分析】根据列表法求得所有情况，找出点A落在第四象限的有，，，，根据概率公式即可求解．

【详解】解：列表如下，

共有12种等可能结果，点A落在第四象限的有，，，，共4种，

∴点A落在第四象限的概率为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法是解题的关键．

12．     10     1.8

【详解】试题分析：∵若x1，x2，…，x9这9个数的平均数＝10，

∴x1，x2，…，x9，这10个数的平均数为[(10×9)+10]÷10=10，

而原来的数据的方差为S2=2，

∴[(x1−10)2+…+(x9−10)2] =2，

∴(x1−10)2+…+(x9−10)2=18，

∴x1，x2，…，x9，这10个数的方差是

[(x1−10)2+…+(x9−10)2+(10-10)2]

=×18

=1.8．

故答案为10，1.8．

13．8+1.8（x﹣3）=20.6

【分析】由于20.6＞8，所以小王乘坐的出租车的行驶路程大于3千米，因此她的车费分为两部分：①行驶3千米付的起步价；②超过3千米后加收的钱，因此题中的等量关系为：起步价+超过3千米的费用=车费，根据这个等量关系即可列出方程．

【详解】设小王坐出租车x千米．由题意，有

8+1.8（x-3）=20.6．

故答案为8+1.8（x-3）=20.6．

【点睛】本题考查了一元一次方程在行程问题中的应用．解决本题的关键是理解各段的收费标准．

14．.

【详解】试题分析： ∵在△ABC中，点G是重心，，∴，又∵，，

∴；故答案为．

考点：1．平面向量；2．三角形的重心．

15．50

【分析】连接，推出，，证，推出与的高之比是，根据三角形的面积公式即可求出答案．

【详解】解：连接，

∵E、F分别是矩形的边的中点，

∴，，

∴，

∵，

∴与的高之比是，

，

同理：，

∴．

故答案为：50．

【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质和判定，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

16．1或．

【分析】根据题意分两种情形分别求解即可．

【详解】解：如图，

当CD在AB同侧时，∵AC＝AD＝1，∠C＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD＝AC＝1，

当C、D在AB两侧时，∵△ABC与△ABD不全等，

∴△ABD′是由△ABD沿AB翻折得到，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠AD′B＝ADB＝120°，

∵∠C+∠AD′B＝180°，

∴∠CAD′+∠CBD′＝180°，

∵∠CBD′＝90°，

∴∠CAD′＝90°，

∴CD′＝．

当D″在BD′的延长线上时，AD″＝AC，也满足条件，此时CD″＝BC＝ ，此时△ABD≌△ABC，不符合题意，

故答案为1或．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．.

17．

【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得出答案．

【详解】解：连接DE，如图所示：

在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，

∴∠α=30°，

同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．

又∵∠AEC=60°，

∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．

设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，

∴AD=a，

∴sin（α+β）= =．

故答案为：．

【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．

18．30°或60°

【分析】分2种情况，①当D在线段AC上时，②当D点在CA延长线上时，根据三角函数可得∠A的度数，再根据等边对等角以及三角形内角和求出∠ACB的度数即可．

【详解】解：①如图1，∵是边上的高, ,

∴sin∠A=

∴∠A=60°

∵

∴∠C=∠ABC= (180°-∠A) ÷2=60°

②如图2，∵是边上的高, ,

∴sin∠BAD=

∴∠BAD=60°

∵

∴∠ABC=∠ACB

∴∠ACB=∠ABC=∠BAD÷2=30°

故答案为：60°或30°

【点睛】本题考查了三角函数和等腰三角形的性质、以及三角形的内角和定理、外角性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．

19．(1)；

(2)1．

【分析】（1）先计算乘方、零指数幂及负指数幂，再进行计算即可；

（2）先将变行为，进而计算即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算、负指数幂以及分式的加减，熟练掌握各运算法则是解题的关键．

20．

【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解．

【详解】解：，

由①得：，

由②得：，

∴原不等组的解集为．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．

21．(1)

(2)①；②1

【分析】（1）由抛物线的顶点为得到，即可得到答案；

（2）①把代入得，由直线与抛物线都与y轴交于同一点，则，代入得到，整理即可得到答案；

②设点A的横坐标为，点B的横坐标为，①，由韦达定理得②，将①代入②，得③，把③代入，得，进一步得到，即可得到答案．

【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，

∴，

解得；

（2）①把代入得，

，

当时，，

∴与y轴交于点，

当时，，

∴抛物线都与y轴交于点，

∵直线与抛物线都与y轴交于同一点，

∴，

∴，

整理得；

②设点A的横坐标为，点B的横坐标为，

则①，

令，

整理得，

由韦达定理得，

②，

将①代入②，得

③，

把③代入，得，

，

又∵，，

∴，

解得，

∴m的最小值为1．

【点睛】此题考查了二次函数，用到了待定系数法、一元二次方程根与系数关系、解不等式组等知识，熟练掌握二次函数的性质和准确计算是解题的关键．

22．66.6米

【分析】作于点M，作于点N，由题意易得，，，然后解直角三角形即可．

【详解】解：作于点M，作于点N，如右图所示，

∵，，

∴，，，

∵，，米，

∴，

∴，

∴，

即斜坡的长是66.6米．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．

23．（l） ， ；（2）、 ， ，

【分析】（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.

（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.

【详解】（l）过点作轴于点

∵

∴

∴

∵∴

在中，

∴∴

∵经过点     ∴   ∴

∴反比例函数表达式为

∵经过点，点

∴解得

∴一次函数表达式为

（2）本题分三种情况

①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、

②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点

③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求

由（1）得，

在中，

∵

∴∴∴∴

∴

【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.

24．(1)

(2)

(3)①；②

【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据抛物线经过点，得到，进而把抛物线解析式化为顶点式得到抛物线对称轴是直线，再根据抛物线的对称性即可求出点D的坐标为；

（3）①根据题意得到，则，再由是的垂直平分线，得到，即可得到，求出；②根据平行四边形的性质得到，则点E的坐标为或，再由点E在抛物线上进行求解即可．

【详解】（1）解：由题意，得A的坐标为．

∵抛物线经过点，

∴，

解得，

∴该抛物线的对应的函数关系式为：．

（2）解：∵抛物线经过点，

∴，

∴．

∴抛物线解析式为，

∴抛物线对称轴是直线，

∵轴，，即

∴点D的坐标为；

（3）解：①当，是等腰直角三角形时，．

∴，

∵是的垂直平分线，

∴，

∴

∴．

∴．

∴点M的坐标为；

②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

∴，

∴点E的坐标为或，

∵点E在抛物线上，

∴或

∴（负值舍去）．

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

25．（1）25（2）234

【分析】（1）根据勾股定理，在直角△ACD中计算即可；

（2）首先利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，再利用三角形的面积公式进行计算即可．

【详解】（1）在Rt△ADC中，∠D=90°，

根据勾股定理得：AC==25；

（2）在△ACB中，

∵BC2+AB2=202+152=252=CA2，

∴△ACB是直角三角形，∠ABC=90°，

∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AD•CD=150+84=234．

【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．