2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷（含详细答案）

这是一份2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷（含详细答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．|-2022|的倒数是（      ）
A．2022 B． C．-2022 D．-
2．据国家和省市卫健委官方统计，自2022年5月以来，全球新型冠状病毒肺炎累计确诊病例已经高达5亿人，5亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，有一正方形花圃，其边长为8m，雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　）

A． B． C． D．
4．若函数（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　）
A．且 B． C． D．或
5．下列等式中成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，两块大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若，，则的值为（　　）

A．2 B． C． D．
7．如图，是的弦，直径，垂足为，是的直径，分别连接，交于点，若点为的中点，，，则的长为(　　)

A． B． C． D．
8．已知抛物线与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M，平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点A平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A为函数图象上的一点，点B在y轴上，点C在x轴上，，，当的面积为2时，k的值为（　　）

A． B． C． D．
10．设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1

二、填空题
11．计算：=______．
12．小亮近几次化学的测验成绩（满分50分）分别是：40分，36分，40分，45分，46分，48分，48分；小涵近几次化学的测验成绩分别是：44分，46分，42分，49分，48分，45分，46分；则与的大小关系是______．
13．如图，在中，过点D作于点D，连接交于点E，连接交于点M，若M，N恰为线段的三等分点，点E为线段，的中点，且点E到直线的距离为4，，则的值为______．

14．如图，等边三角形内接于，，则图中阴影部分的面积是___．

15．如图，直角坐标系中，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为4，8，12，16，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为_____．

16．已知抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，且．下列结论：①；②；③；④一元二次方程
有两个相等的实数根．其中结论正确的是_______．（填序号）

三、解答题
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．一个不透明的口袋里有18个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球，8个绿球．
(1)若从中随意摸出一个球，求摸出绿球的概率；
(2)若从中随意摸出一个球是黄球的概率为，求袋子中需再加入几个黄球？
19．如图，已知四边形是平行四边形，．连接对角线交于点O，过点O作的平行线分别交于点E，F，连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的值（用含x的式子表示）．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求m的值．
21．如图是东宝塔，它是荆门市现存的唯一一处具有千年历史的地面文物，建于隋开皇十三年（公元593年），位于东宝山山顶，宝塔七层四面八角，隔面设窗，攒尖式塔顶，巍然独秀，直透苍穹，其集风水宝塔与纪念塔为一身，是东宝山风景区的主体建筑，宝塔建造工艺精湛，与钟祥龙山的文峰塔遥相呼应．某数学兴趣小组开展了测量“东宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图，宝塔EF垂直于地面，在地面上选取A处测得的度数（点A，F在同一直线上）；接着在点A的正上方搭高度为5米的平台，在D处测得的度数．
数据收集：通过实地测量：，．
问题解决：求宝塔的高度和地面A点与塔底F点之间的距离（结果精确到0.1m）．
（参考数据:）．

22．如图，在中，，是⊙O的直径，交的延长线于点F．过点D的切线交于点B，连接交⊙O于点M，使，．

(1)求证：是⊙O的切线．
(2)若，，试求的值．
(3)连接，分别延长，交于点N，当为等腰直角三角形时是否存在∽？若存在，请直接写出它们面积的相似比；若不存在，请你用反证法尝试证明．
23．某公司电商平台，在2021年的“双11”晚会上举行了一场商品打折促销活动，经市场调研发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
80
140
180
周销售量y（件）
360
180
60
周销售利润w（元）
7200
9000
4200

(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若该商品的进价a（元/件），当售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
(3)由于疫情影响，该商品的进价提高了m（元/件）（），物价部门规定该商品的售价不得超过110元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，若周销售的最大利润是9100元，求m的值．
24．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．

(1)求的值及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，，交于点，当时，求直线的解析式；
(3)如图2，动直线交抛物线于点，连接，分别交轴的正半轴和负半轴于点，求证：为常数．

参考答案：
1．B
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【详解】解：，
2022的倒数是
故选：B
【点睛】此题考查了倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：5亿．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
3．A
【分析】利用勾股定理求出的长，再用，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，边长为8m，
∴，，
∴，
∴少走的路长为，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
4．D
【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果．
【详解】解：当时，，
此时一次函数与x轴只有一个公共点，
当时，
当时，，
当时，二次函数与x轴只有一个交点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数及其图象的性质，二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系等知识，解决问题的关键是分类讨论．
5．C
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A．，故选项A计算错误，不符合题意；
B．，故选项B计算错误，不符合题意；
C．，故选项C计算正确，符合题意；
D．，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．C
【分析】构造四边形为矩形，可知，再根据相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：延长交于F，如图，
根据题意可知，，
∴．
由，
∴四边形为矩形．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等，构造矩形是解题的关键．
7．B
【分析】依题意，则，得出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
点为的中点，
，
直径，
，
在中，，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了正切的定义，圆周角定理，掌握正且的定义是解题的关键．
8．C
【分析】由抛物线解析式可求出，．根据点M平移后的对应点落在x轴上，点A平移后的对应点落在y轴上，即说明M点要向上平移9个单位，点A要向左平移1个单位，则向上平移9个单位，向左平移1个单位得到点的坐标为，从而即得出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：∵，
∴．
当时，即，
解得：，
∴．
∵点M平移后的对应点落在x轴上，点A平移后的对应点落在y轴上，
∴M点要向上平移9个单位，点A要向左平移1个单位，
∴向上平移9个单位，向左平移1个单位得到点的坐标为，
∴平移后的抛物线解析式为．
故选C．
【点睛】本题主要考查求二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移，坐标与图形的变化—平移变换．根据题意得出二次函数图象的平移方式是解题关键．
9．B
【分析】过点A作轴于M，根据等腰三角形的判定得出，根据，得出，设，根据，列出关于x的方程，解方程，得出x的值，求出点A坐标，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作轴于M，如图所示：

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，由题意得，
，
即，
解得：，
∴，
∴点，
∵点A在反比例函数图象上，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出点A的坐标．
10．B
【分析】分别作、垂直于轴于点、，设，则，，作于，交轴于点，连接交轴于点，设点，可证明，则．再证明，可得，则，说明直线过定点，点坐标为，点是在以为直径的圆上运动，当点到轴距离为时，点到轴的距离最大．
【详解】解：如图，分别作、垂直于轴于点、，

设，，由抛物线解析式为，
则，，
作于，交轴于点，连接交轴于点，
设点，
，
，
，即，
化简得：．
，
，
又，
，
又，
，
，即，
化简得，
则，说明直线过定点，点坐标为，
，，
点是在以为直径的圆上运动，
当点到轴距离为时，点到轴的距离最大，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，确定点的轨迹是解题的关键．
11．
【分析】先计算绝对值，立方根，三角函数值，以及零次幂，再计算乘法，加减法即可求解．
【详解】解：


．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确化简绝对值，计算立方根，熟记三角函数值，以及零次幂定义是解题的关键．
12．
【分析】先计算测验成绩的平均数，然后计算测验成绩的方差，进行比较即可．
【详解】解：小亮测验成绩的平均数为：，
，
小涵测验成绩的平均数为：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差，解题的关键是熟记方差的计算公式并灵活运用．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
13．1
【分析】如图，连接．由线段的三等分点的性质结合三角形的面积公式可得出．由线段的中点的性质结合三角形的面积公式可得出，从而可求出．
【详解】解：如图，连接．

∵M，N为线段的三等分点，
∴．
∵E为线段的中点，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查线段中点的性质，线段n等分点的性质，三角形的面积公式．利用数形结合的思想是解题关键．
14．
【分析】根据内接于圆的等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：过点作于点，

∵为等边三角形，
∴，，
在中，，，，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15．（2，2022）
【分析】先判断点的位置，再判断横纵坐标的变化特点，根据规律可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴是505个循环后的第二个点，即直角顶点.
∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
∵是第1个等腰直角三角形的顶点，
是第3个等腰直角三角形的顶点，
是第5个等腰直角三角形的顶点，
是第7个等腰直角三角形的顶点，
…，
∵，
∴是第1011个等腰直角三角形的顶点，
∴在第一象限，横坐标为2，纵坐标为2022，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内的坐标，规律问题，等腰直角三角形的性质等，得出纵坐标的变化规律是解题的关键．
16．①②④
【分析】根据抛物线与x轴有交点且抛物线顶点位置，可判断抛物线开口方向及a，b的关系，从而可判断①③，由时，y随x增大而减小，可得时，，从而判断②，由抛物线与直线有一个交点可判断④．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，抛物线顶点在x轴上方，
∴抛物线开口向下，即，
∴，
∴，
∴，①正确；
∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴时，，②正确；
∵，
∴，③错误；
由可得，
∵抛物线顶点为，
∴抛物线与直线有1个交点，
∴方程有两个相等的实数根，④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系、二次函数的性质是解题关键．
17．(1)12；
(2)．

【分析】（1）先求出，再根据完全平方差公式展开式带入求值．
（2）将变形为，再带入求值．
【详解】（1）解：



．
（2）解：




．
【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是完全平方和公式与完全平方差公式的变形应用．
18．(1)；
(2)袋子中需再加入2个黄球．

【分析】（1）直接运用概率公式求出摸到红球的概率即可；
（2）设需再加入x个黄球，根据摸出黄球的概率为列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是18，
随意摸出一个球是绿球的结果个数是8，
∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是；
（2）解：设袋子中需再加入x个黄球．
依题意可列：，
解得，
经检验是原方程的解，
即袋子中需再加入2个黄球．
【点睛】此题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由四边形是平行四边形得，而，所以，则，即可得答案；
（2）由矩形的性质得，根据平行线分线段成比例得，再根据三角函数的概念即可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
．
，
，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数，解题的关键是求出．
20．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可；
（2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可．
【详解】（1）证明：∵


，
∵，
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21．宝塔EF的高度约是，地面A点与塔底F点之间的距离约是．
【分析】由，的正切定义列出关于的方程即可得答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
．
宝塔EF的高度约是，地面A点与塔底F点之间的距离约是．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据正切列出关于的方程．
22．(1)见解析；
(2)；
(3)不存在∽，理由见解析．

【分析】（1）根据证明切线的方法“作垂直，证半径”，所以连接，过点O作于点E，证明即可．
（2）由（1）可证，根据，求出、，在中可求．
（3）用反证法可得出，这与与相交于点N矛盾，从而可以得证．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点E，如图，


为⊙O的切线，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，
即为⊙O的半径，
是⊙O的切线；
（2）解：在中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中

，
，
由（1）得：，
．
（3）解：当为等腰直角三角形时，不存在∽，理由：
用反证法：
假设∽，如图，

为等腰直角三角形，
，
∽，
，
为⊙O的切线，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
这与与相交于点N矛盾，
假设不成立，
当为等腰直角三角形时，不存在∽．
【点睛】本题考查了三角形全等判定方法及性质、相似三角形的性质及判定、勾股定理、三角函数等三角形综合知识，切线的性质及判定等知识，根据题意作出辅助线，并灵活运用相关的性质及判定是解题的关键．
23．(1)；
(2)当售价是130元/件时，周销售利润的最大利润是14700元；
(3)．

【分析】（1）依题意设，解方程组即可得到结论．
（2）根据题意列出利润w关于售价x的关系式即可求出最大利润．
（3）根据题意列出利润w关于售价x的关系式，结合二次函数的性质求出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：依题意设，
则有，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）解：由题意得：，
又由表知，把，，代入可得：
∴，
∴；
∴当售价是130元/件时，周销售利润的最大利润是14700元；
（3）根据题意得：，，
∵，对称轴，
∴抛物线的开口向下，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中数量关系并明确二次函数的性质是解题关键．
24．(1)，
(2)
(3)见解析

【分析】（1）将代入，用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可求出，设，分别求出直线，的解析式，由此可表示出点的坐标并求出，从而计算出点的坐标，根据待定系数法即可求解；
（3）联立抛物线与直线的方程组，分别表示出点的坐标关系，并用点表示出直线的解析式，直线的解析式，由此即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，

∴，
∴，且
∵，即，
∴，
∴，
在抛物线中，令，则，
∴，
∴设直线的解析式为，且点在直线上，则，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴设，则设直线的解析式为，
∴，则，
∴直线的解析式为，且，，
∴，，，
∴，
∴，解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）证明：联立方程组，整理得，，
∴，，
令，则，解得或，
∴，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
∴，，
∴，
∴为常数．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解图形的特点，线段的关系，交点的计算方法，直线的参数表示方法是解题的关键．