2022-2023学年广东省东莞市第七高级中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市第七高级中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算和共轭复数的定义即可.

【详解】，

.

.

故选：B.

2．在平行四边形ABCD中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量加减法规则求解.

【详解】

如图，根据平面向量的加法规则有：  ；

故选：D.

3．在中，已知，，，则角的度数为（　　）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数.

【详解】由，得，于是，

由正弦定理得，

∴，

故选：B.

4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　　）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.

【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.

对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误.

对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确.

对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误.

故选：C

5．在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点，连，，，（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，解三角形可得解.

【详解】取的中点，连，，，

则，，所以四边形是平行四边形，

所以，所以（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，

设正方体的棱长为，则，，

则.

所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为.

故选：C

6．已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（    ）．

A．150，15 B．150，20 C．200，15 D．200，20

【答案】A

【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.

【详解】由图得样本容量为，

抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．

故选：A.

7．在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知求得，根据勾股定理证明得到，进而推得平面，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，进而根据体积公式，即可得出答案.

【详解】如图1，

因为，，，

所以.

又，，

所以在中，有，

所以，，即.

又，平面，平面，，

所以平面.

则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2

其中，，，，

则，

所以此三棱锥外接球的半径为，

所以，此三棱锥外接球的体积为.

故选：B.

8．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为(　　)

A．  B．－ C．  D．－

【答案】A

【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．

【详解】法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，

·＝(＋)·(－)

＝(＋)·[(－)－]

＝(＋)·[(λ－1)·－]

＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2

＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4

＝－6λ＝－3，

∴λ＝，故选A.

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．

令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.

∵＝λ，∴λ＝.故选A.

【点睛】1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.

2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.

二、多选题

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．复数的虚部为

C．若，则复平面内对应的点位于第二象限

D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，，故A选项正确.

B选项，的虚部为，故B选项错误.

C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.

D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.

故选：AD

10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．

【详解】连接，与交于点，如图所示，

对于A：，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向，

易知，均为含角的直角三角形，

故，，即，

所以，

又因为，故，

故，故B正确；

对于C：设正六边形的边长为，

则，，

所以，故C正确；

对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确，

故选：BCD．

11．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差

B．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则

C．若甲，乙两组数据的方差分别为，则

D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数

【答案】BD

【分析】根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及其意义、中位数的概念，即可判断各项的正误.

【详解】由折线图得：

对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；

对于B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知，故B正确；

对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；

对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．

故选：BD．

12．阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面."解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（    ）

A．直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等

B．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为

C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面

D．若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面所成角的正弦值为

【答案】BCD

【分析】根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误.

【详解】

对于A，直四棱柱在点A处的离散曲率为，

在A点处的离散曲率为，两者不一定相等，A项错误；

对于B，，则四边形为正方形，直四棱柱在点A处的离散曲率为，B项正确；

对于C，因为直四棱柱中，四边形为菱形，，所以直四棱柱侧面均为正方形，

四面体在点处的离散曲率为，

则，则为正三角形，，所以，四边形为正方形，直四棱柱为正方体，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

又因为，平面，平面，，

所以平面，又因为平面，所以，

同理可得，，平面，平面，，

所以平面，C项正确；

对于D，直四棱柱在点A处的离散曲率为，

则，设，交于点O，

则，，

由选项C知，，因为四边形为菱形，所以，

又平面，平面，，

所以平面，即与平面所成的角，

，所以与平面所成的角的正弦值为，D项正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．若复数，则实数的值为        .

【答案】3

【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解.

【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，

可得解得

所以实数的值为，

故答案为：

14．2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为            .

【答案】

【分析】由百分位数定义可得答案.

【详解】因，则从小到大第8个成绩为学习成绩的75%分位数，即.

故答案为：

15．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是      ．（写出所有满足要求的说法序号）

①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD；

③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD．

【答案】①②③

【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可．

【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以，

又，且，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，故①正确；

②由矩形ABCD所在的平面，所以，

又，且，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，故②正确；

③由矩形ABCD所在的平面，所以，

又，且，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，故③正确；

④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以,

因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误．

故答案为：①②③．

四、双空题

16．如图所示，有一块三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，则∠ACB＝        ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B，D，E，其中D，E为AC边上的点，若使，则BD＋BE最小值为        平方千米．

【答案】     /    

【分析】在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；设分别在，中，利用正弦定理分别求得BD，BE，再由；令转化为求解.

【详解】在中，由余弦定理得，

则

根据正弦定理有

所 以，

；

设

则

在中，由正弦定理得

在中，由正弦定理得

则；

令则

则

易知分母且是一个单调递增的函数，

则是一个单调递减的函数，

当时，有最小值，．

故答案为：；.

五、解答题

17．已知复数，其中i为虚数单位．

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若m＝2，设，试求a＋b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由实部等于0得到实数的值；

（2）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出．

【详解】（1）由题意可得：，且，；

（2）若m＝2，则，

所以，

，，.

18．已知向量，.

(1)求以及的值

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)5；5

(2)

【分析】（1）求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值；

（2）求出向量的坐标，由已知条件可得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值.

【详解】（1），，，

；

，，，

（2）由已知，

，，

解得.

19．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中的值；

(2)根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；

(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）

【答案】(1)

(2)

(3)（元）

【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，即可求得答案;

（2）确定m的范围，结合频率分布直方图列式计算，可得答案；

（3）计算出区间内的居民年用水量分别超出的吨数，结合频率分布直方图列式计算，即得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图得，

解得.

（2）在200户居民年用水量频率分布直方图中，

前5组频率之和为，

前4组频率之和为，

所以，

由，解得.

（3）由题可知区间内的居民年用水量分别取为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，

则元，

所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元.

20．已知直三棱柱的所有棱长都相等，D，E分别是棱AB，的中点，如图所示．

(1)求证：平面；

(2)求DE与平面ABC所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）取BC的中点F，连接，DF，证明四边形是平行四边形，则可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）由，可得DE与平面ABC所成的角就是与平面ABC所成的角，再根据平面，可得即为所求角的平面角，再解即可.

【详解】（1）取BC的中点F，连接，DF，

∵D，E分别是棱AB，的中点，

∴，且．

∵，且，

∴，，

∴四边形是平行四边形，故，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵，

∴DE与平面ABC所成的角就是与平面ABC所成的角，

因为平面，所以即为所求角的平面角，

在中，，

∴，

∴DE与平面ABC所成角的正切值是2．

21．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.

(1)求的长度.

(2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可求解；

（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.

【详解】（1）因为，，所以，

在中，由余弦定理，得

.

（2）在中，由余弦定理，得，

所以，

所以.

在中，由余弦定理，得

，解得.

假设小夏先去地，走路线，路长，

假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，

假设小夏先去地，走路线，路长，

由于，

所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.

22．已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点．

（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；

（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示）

（3）若，，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）利用向量的线性运算，将代入，再由求解.

（2）易得对任意正整数，，且，有，，从而求解.

（3）当时，设线段上存在一点，使得，，且存在点，，然后转化为，利用线段和最小求解.

【详解】（1）因为,

而点为线段上靠近点的三等分点，

所以，

所以，

所以.

（2）由题意得，

，

所以，

事实上，对任意正整数，，且，

有，

，

所以

所以，

（3）当时，线段上存在一点，

使得，，

且存在点，，

则，

，

所以，

即线段上存在一点，到点和点的距离之和，

如图所示：

作点关于线段的对称点，

则最小值为.

【点睛】方法点睛：在直线l上存在点P,使得最小和最大问题：

当点A，B在直线l的异侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最小；

作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最大；

当点A，B在直线l的同侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最大；

作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最小；