广东省东莞市东莞中学2022-2023学年高一下学期3月检测数学试题及答案

东莞中学2022~2023学年第二学期第一次月考

高一数学（答案与解析）

满分150分，考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．【解答】解：选：C．

2．【解答】解：一个八棱柱有10个面，正确；

在四面体内部选一点，与四个顶点的连线，可以割成4个棱锥，所以B正确；

棱台侧棱的延长线必相交于一点，满足棱台的定义，所以C正确；

矩形绕一条直角边旋转一周一定形成一个圆柱，所以D不正确．

故选：D．

3．【解答】解：曲线C1：y＝2sin（2x+）上的点向右平移个单位长度，

得到y＝2sin2x再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，

得到曲线C2的方程为y＝2sin4x．故选：A．

4．【解答】解：∵||＝2，||＝，与的夹角为，

∴＝，

∴＝＝＝＝．

故选：B．

5．【解答】解：如图，

∵点D是线段BC上任意一点，∴存在k，使得，

∵点M是线段AD的中点，∴，

∴＝，

又，

∴，．

故选：D．

6．【解答】解：因为△ABC中，A＝60°，BC＝4，所以△ABC的外接圆半径＝＝，

如图，顶点A到BC的距离的最大值为：2sin＝＞，

满足条件的△ABC的个数为：2个．故选：C．

7．【解答】解：易知弧AB的圆心角为，半径为AB，故弧长为AB×，

故莱洛三角形的周长＝3×AB×，所以AB＝，＝＝，

故阴影部分面积为S扇形ABC﹣S△ABC＝××﹣×××sin＝﹣，

故莱洛三角形的面积为×××sin+3×（﹣）＝．故答案为：B．

8．【解答】解：∵，ab≠0，

其中，，

∵函数的图象关于对称，∴，

即，化简得，

则，即，

即，

故选：C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．【解答】解：故选：ABC．

10．【解答】解：A，∵＝，∴﹣＝（﹣），∴＝+，∴A正确，

B，∵＝2﹣3，2+（﹣3）≠1，∴M，B，C不共线，∴B错误，

C，若点M是△ABC的重心，则＝﹣（+），＝﹣（+），＝﹣（+），∴++＝，∴C正确，

D，若且，可得3＝3x+3y，，设＝3，则N，B，C三点共线，如图，

由图可得MN＝AN，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．

故选：ACD．

11．【解答】选：BC．

12．【解答】解：因为3bcosC+3ccosB＝a2，所以由正弦定理，得3sinBcosC+3sinCcosB＝asinA，

即3sin（B+C）＝asinA，因为A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sinA，且sinA≠0，所以a＝3．

选项A正确，

选项B：∵△ABC有两解，则bsinA＜a＜b，则bsin＜3＜b，解得3＜b＜3，∴B错误，

选项C：由正弦定理＝，得＝，即c＝2acosA＝6cosA，

因为△ABC为锐角三角形，所以，所以＜A＜，

所以c＝6cosA∈（3，3），故选项C正确，

选项D：∵a＝3，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得b＝2c，

由sin（π﹣3C）＝2sinC，可得：sinCcos2C+cosCsin2C＝2sinC，

由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝2，解得：cos2C＝，故cosC＝，sinC＝，

可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，

由正弦定理＝，a＝3可得：c＝，b＝2，则a+b+c＝3+3，

S△ABC＝bcsinA＝×2××＝，

设△ABC的内切圆半径为r，则r＝＝＝，

S△ABO＝cr＝××＝，故D正确．故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．【解答】解：易知，点A为MS的中点，点B为NS的中点，

∴，∴，

∴＝4×（4﹣2×2+4）＝16，

∴．故答案为：4．

14．【解答】解：因为α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，

所以cosα＝，sinβ＝，

所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×+×＝，

所以α+β＝或，因为α，β为锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，

所以α，β∈（0，），所以α+β＝．故答案为：；．

15．【解答】解：因为α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，

所以cosα＝，sinβ＝，

所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×+×＝，

所以α+β＝或，

因为α，β为锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，

所以α，β∈（0，），所以α+β＝．

故答案为：；．

16．【解答】解：已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，，

设，0≤λ≤1，

则＝

＝

＝

＝

＝，

又0≤λ≤1，

则的取值范围是，

四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（4，0），

x1＝4+||cos（180°﹣∠OAB）＝4+||cos60°＝5，

y1＝||sin（180°﹣∠OAB）＝，

x2＝x1﹣||cos（∠OAB+∠ABC﹣180°）＝4，

y2＝||sin（∠OAB+∠ABC﹣180°）+y1＝2，

所以B（5，），C（4，2）．

（2）＝（﹣1，），＝（4，0），

所以在向量上的投影为 ＝＝﹣1，

所以所求投影向量为（﹣1，0）．

18．【解答】解：（1）由表格可得最大值为3，最小值为﹣1，

则A＝＝2，B＝＝1，又＝+，∴ω＝1．

再根据五点法作图，可得1×+φ＝，∴φ＝﹣，

故函数f（x）＝2sin（x﹣）+1．

（2）根据（1）的结果，函数y＝f（nx）＝2sin（nx﹣）+1（n＞0）

的最小正周期为 ＝，∴n＝3．

在区间上，nx﹣＝3x﹣∈[﹣，]，

故当3x﹣＝时，函数f（nx）取得最大值为1；

当3x﹣＝﹣时，函数f（nx）取得最小值为﹣+1，

故函数y＝f（nx）在区间上的值域为[﹣+1，2]．

19．【解答】【解答】解：（1）由题意可得，EH＝，FH＝，

EF＝，

∵BE＝20tanθ≤20，AF＝，

∴，即，

∴，，

故L＝20×，．

（2）设sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝，故L＝，

∵，∴sinθ+cosθ＝t＝∈，

∵L＝在 上是单调递减函数，

故当，即或时，L取得最大值米．

20．【解答】

21．【解答】解：（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里，

在△ABP中，sin∠APB＝sin（π﹣α﹣β）＝sin（α+β），

由正弦定理得，

所以BP＝，

在Rt△BPQ中，x＝PQ＝BPsin（π﹣β）＝BPsinβ＝，

当x≤d，即≤＝时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域．

（2）当α+β＝时，＝sinαsin（﹣α）＝sinα（cos）

＝（sinαcosα+sin2α）＝sinα（sin2α+）＝sin（2α﹣）+，

要使不被警告，则＞＝，即sin（2α﹣）+＞，

解得sin（2α﹣），

所以2kπ+＜2α﹣＜2kπ+，k∈Z，

即kπ+＜α＜kπ+，k∈Z，

又因为，

所以＜α＜．

当α∈（，）时可以避免使外轮进入被警告区域．

22．【解答】解：（1）．

（2）．