2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第01讲 空间向量及其运算 Word版含解析

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第1讲 空间向量及其运算
考点分析
考点一：空间向量的共线问题
①定义：空间中有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些有向线段构成的向量共线或者平行．
②空间直线的方向向量：在空间直线l上取一个非零向量a，则与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行共线，即对任意向量a，都有0∥a.
③共线向量基本定理：对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b的充要条件是存在非零实数λ使a＝λb.
考点二：空间向量的共面问题
①定义：空间中平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
②空间中共面向量基本定理：若两个非零向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得.
③空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使得，
考点三：空间中向量数量积的运算
①定义：已知两个非零向量a，b，则a，b的数量积为．
规定：零向量与任何向量的数量积均为0.
②由数量积得出的几个常用结论：
1.若非零向量垂直，则，即a⊥b⇔a·b＝0.
2.，同理
3.
题型目录
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积
题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型五：利用空间向量的数量积求线段的长度
典型例题
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
【例1】（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则与所在直线平行
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若，则存在唯一的实数λ，使
【答案】C
【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确；
对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；
对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；
对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确．
故选：C．
【例2】（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.
【详解】
正六棱柱中，


故选：B
【例3】（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断.
【详解】如图，

，所以A错误；
，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D错误；
故选：B．
【例4】（2022·全国·高一单元测试）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，

由G是的重心，可得，
则
则
故选：D
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（       ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
【答案】D
【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则､的长度相等但方向不确定，B错误；
向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.
故选：D.
2.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.
【详解】连接
.
故选：A

3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】由题意得，.
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．
【答案】
【详解】正方体中
，则
故答案为：
5.（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______．
【答案】
【详解】平行六面体中
，则
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：

(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
【答案】(1)，，；，，，
(2)，，，（答案不唯一）
(3)，（答案不唯一）
【解析】
(1)解：的相等向量有：，，；
的负向量即相反向量有：，，，.
(2)由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）
(3)由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）


题型二：共线、共面向量定理的应用
【例1】（2022·全国·高一单元测试）给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ）
A．若存在实数，，使，则与，共面；
B．若与，共面，则存在实数，，使；
C．若存在实数，，使则点，，A，共面；
D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．
【答案】AC
【分析】由向量共面定理可判断AC；取，为零向量可判断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可判断D.
【详解】由向量共面定理可知A正确；
当，为零向量可知B错误；
由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；
当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.
故选：AC
【例2】（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（       ）
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
【答案】A
【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以，即，
即，所以与共线．又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
故选：A.
【例3】（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
【答案】B
【详解】由
，
所以A，B，C，P四点共面，故选：B

【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.
【答案】0
【详解】因A，B，C三点共线，则存在唯一实数k使，显然且，否则点A，B重合或点B，C重合，
则，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，显然实数λ，m，n不为0，
因此，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，此时λ+m+n= k-1+1+(-k)=0，
所以λ+m+n的值为0.
故答案为：0
【题型专练】
1．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（       ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解.
【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确；
对于B，由反向共线，可得，故B不正确；
对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则
，即，
所以四点共面，故C正确；
对于D,若为空间四点，且有（不共线），
当，即时，可得，即，
所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，
故D正确.
故选：ACD.
2.（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）下列命题不正确的是（       ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．“”是“、共线”的充要条件
C．若、共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可.
【详解】A项中四点恰好围成一封闭图形，正确；
B项中、同向时，应有，所以“”是“、共线”的充分不必要条件；
C项中、所在直线可能重合；
D项中需满足，才有P、A、B、C四点共面．
故选：BCD
3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面
【答案】B
【详解】因为，则
即
即
由空间向量共面定理可知，共面，则P，A，B，C四点一定共面
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
5.（2022·全国·高二课时练习）已知A，，三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与A，，一定共面的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理的推论判断的系数之和是否等于1，即可得出答案.
【详解】解：对于A，因为，所以此条件不能保证点与A，，共面；
对于B，因为，所以此条件能保证点与A，，共面；
对于C，因为，所以此条件不能保证点与A，，共面；
对于D，因为，所以此条件不能保证点与A，，共面.
故选：B．
6．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
【答案】
【详解】P，A，B，C四点共面，且，
，解得.故答案为:
题型三：空间向量的数量积
【例1】已知单位正方体，求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【答案】(1)0；(2)0；(3)1；(4)1；(5)1；(6).
【解析】
【分析】利用正方体的性质、空间向量的线性运算及数量积的定义即求.
(1)；

(2)
；
(3)；
(4)；
(5)
；
(6)
.
【例2】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得，故.
故选：D.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.

【答案】                    0
【详解】
在棱长为1的正四面体ABCD中，每个面都是正三角形.所以.
因为E､F分别是AB､AD的中点，所以,
所以的夹角为60°，所以；
所以的夹角为0°，所以；
所以的夹角为120°，所以；
取CD的中点G，连结AG、BG，则.
又,所以面ABG,所以AB，所以的夹角为90°.
所以的夹角为90°，所以.
故答案为：.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．
【答案】     平面    
【详解】
解：由四点共面定理及三点共线定理可知： 平面，直线，
当最小且最小时，则是等边的中心，是边中点.
所以，,
又因为是边中点，所以
故.
故答案为：平面，

【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．

【答案】-2
【详解】
由题意得，故，

,
故答案为：-2
2.已知正方体的棱长为1，求：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】(1)0
(2)1
(3)1
(4)
【解析】
【分析】
(1) 正方体中可得，从而可得答案.
(2) 正方体中可得，从而可得答案.
(3) 在正方体中可得，且向量的夹角为，根据向量数量积的定义可得答案.
(4) 在正方体中可得,根据向量数量积的运算性质结合数量积的定义可得答案.
(1)
在正方体中，
所以，即
所以
(2)
在正方体中，
所以，即，即的夹角为
所以
(3)
在正方体中，
又向量的夹角为,且
所以
(4)
在正方体中，

3.（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．
【答案】24
【详解】
由题设，可得如下四面体示意图，

则，
又，，
所以.
故答案为：24
4.已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.
【详解】
选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误.
故选：D.

题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，根据空间向量夹角公式即可求解．
【详解】
设，底面是边长为的正方形，，
，，


异面直线与所成角的余弦值为，
故选：D
【例2】（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（            ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设，，，设异面直线与所成角为，设，
则
，，
由空间向量数量积的定义可得，
则，
，
，
故，
故选：C.

【题型专练】
1．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ）


A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】
∵，∴
，∴，，
故选：C.
2.已知空间四边形中，，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据向量的加法的几何意义，将化为，结合数量积的运算法则和向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】
在空间四边形中, ,
则

,
故答案为：0
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，得A-BCD为正四面体，根据其几何性质，结合数量积公式，即可得答案.
【详解】
连接AC、BD，由题意得A-BCD为正四面体，底面为等边三角形，
因为点E、F分别是AB、AD的中点，
所以，且，
所以.
故答案为：
4．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
根据向量与的夹角为钝角，则·