专题27 有关理想气体实验定律的玻璃管类和气缸类模型-高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

专题27 有关理想气体实验定律的玻璃管类和气缸类模型

【特训典例】

一、高考真题

1．足够长的玻璃管水平放置，用长的水银封闭一段长为的空气柱，大气压强为，环境温度为，将玻璃管缓慢顺时针旋转到竖直，则：

①空气柱是吸热还是放热

②空气柱长度变为多少

③当气体温度变为时，空气柱长度又是多少？

【答案】①放热；②；③

【详解】①②以封闭气体为研究对象，气体做等温变化，设玻璃管横截面积为，玻璃管水平时

；玻璃管竖起来后；根据解得

气体体积减小，外界对气体做功，但其温度不变，内能不变，根据热力学第一定律可知气体向外放热；

③空气柱长度为；由等压变化得其中；；解得

2．水平放置的气体阻尼器模型截面如图所示，汽缸中间有一固定隔板，将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分，“H”型连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过，连杆与隔板之间密封良好。设汽缸内、外压强均为大气压强。活塞面积为S，隔板两侧气体体积均为，各接触面光滑。连杆的截面积忽略不计。现将整个装置缓慢旋转至竖直方向，稳定后，上部气体的体积为原来的，设整个过程温度保持不变，求：

（i）此时上、下部分气体的压强；

（ii）“H”型连杆活塞的质量（重力加速度大小为g）。

【答案】（1），；（2）

【详解】（1）旋转前后，上部分气体发生等温变化，根据玻意尔定律可知解得旋转后上部分气体压强为旋转前后，下部分气体发生等温变化，下部分气体体积增大为，则

解得旋转后下部分气体压强为

（2）对“H”型连杆活塞整体受力分析，活塞的重力竖直向下，上部分气体对活塞的作用力竖直向上，下部分气体对活塞的作用力竖直向下，大气压力上下部分抵消，根据平衡条件可知解得活塞的质量为

3．定高气球是种气象气球，充气完成后，其容积变化可以忽略。现有容积为的某气罐装有温度为、压强为的氦气，将该气罐与未充气的某定高气球连通充气。当充气完成后达到平衡状态后，气罐和球内的温度均为，压强均为，为常数。然后将气球密封并释放升空至某预定高度，气球内气体视为理想气体，假设全过程无漏气。

（1）求密封时定高气球内气体的体积；

（2）若在该预定高度球内气体重新达到平衡状态时的温度为，求此时气体的压强。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）设密封时定高气球内气体体积为V，由玻意耳定律解得

（2）由查理定律解得

4．如图（a）所示，“系留气球”是一种用缆绳固定于地面、高度可控的氦气球，作为一种长期留空平台，具有广泛用途。图（b）为某一“系留气球”的简化模型图；主、副气囊通过无漏气、无摩擦的活塞分隔，主气囊内封闭有一定质量的氦气（可视为理想气体），副气囊与大气连通。轻弹簧右端固定、左端与活塞连接。当气球在地面达到平衡时，活塞与左挡板刚好接触，弹簧处于原长状态。在气球升空过程中，大气压强逐渐减小，弹簧被缓慢压缩。当气球上升至目标高度时，活塞与右挡板刚好接触，氦气体积变为地面时的1.5倍，此时活塞两侧气体压强差为地面大气压强的。已知地面大气压强p0=1.0×105Pa、温度T0=300K，弹簧始终处于弹性限度内，活塞厚度忽略不计。

（1）设气球升空过程中氦气温度不变，求目标高度处的大气压强p；

（2）气球在目标高度处驻留期间，设该处大气压强不变。气球内外温度达到平衡时，弹簧压缩量为左、右挡板间距离的。求气球驻留处的大气温度T。

【答案】(1) 5.0×104Pa；(2) 266K

【详解】（1）汽囊中的温度不变，则发生的是等温变化，设气囊内的气体在目标位置的压强为，由玻意耳定律解得由目标处的内外压强差可得解得

（2）有胡克定律可知弹簧的压缩量变为原来的，则活塞受到弹簧的压力也变为原来的，即

设此时气囊内气体的压强为，对活塞压强平衡可得由理想气体状态方程可得其中解得

二、直玻璃管类模型

5．如图，一粗细均匀的长细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为h的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，静止时下方气体体积为V0，之后长细管在外力作用下以大小为g的加速度竖直向上做匀加速直线运动，管内气体温度不变。已知大气压强为p0，液体密度为，重力加速度为g，求

（1）静止时下方气体压强；

（2）竖直向上匀加速直线运动时气体体积。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）设细管横截面积为S，液柱质量静止时根据力的平衡可得

解得

（2）液柱竖直向上匀加速直线运动，由牛顿第二定律得；解得

由玻意耳定律得解得

6．如图，上端开口、下端封闭的长度为的细玻璃管竖直放置，一段长为的水银柱下方封闭有长度也为的空气柱，此时环境温度为。已知大气压强为，求

（1）如果使玻璃管绕封闭端在竖直平面内缓慢地转动半周，在开口向下时管内封闭空气柱的长度；

（2）将该气体温度升高为多少时，水银即将溢出。

【答案】（1）22.5cm；（2）900K或627℃

【详解】（1）设玻璃管的横截面积为S，水银的密度为，当玻璃管开口竖直向上时，气体的压强

假设旋转到开口竖直向下时水银不会流下，此时气体的压强旋转过程温度不变，由玻意耳定律解得由于所以旋转半周过程中，没有水银从玻璃管流下，管内封闭空气柱的长度为22.5cm。

（2）当水银刚要溢出时，设温度为T3，被封气体的体积为根据等压变化规律有

得T3=900K即t3=（900-273）℃=627℃

7．热学中将标准大气压定为。如图所示是一个竖直放置的下端封闭、上端开口且足够长的粗细均匀的玻璃管。长为的水银柱封闭了一段空气柱，空气柱的长度。已知外界的压强为标准大气压，环境的温度保持不变，取重力加速度，管内气体视为理想气体。试求：

（i）此时玻璃管内气体的压强（用作单位）；

（ii）若对玻璃管施加一外力，使其向上做加速度为的匀加速直线运动，求稳定后管内空气柱的长度。

【答案】（i）；（ii）

【详解】（i）对水银柱分析受力，设空气的压强为，水银柱的横截面为，根据平衡条件有

又解得

（ii）对水银柱，由牛顿第二定律有又可得解得

对管内的气体，由玻意耳定律有解得

8．如图所示，一支粗细均匀、长L=80cm的玻璃管开口向上竖直放置，管中有一段长h=15cm的水银柱封闭着长L1=50cm的空气柱，外界大气压强为P0=75cmHg，保持气体温度不变。

（1）若让玻璃管自由下落，稳定后空气柱的长度为多少；

（2）若将玻璃缓慢转至管口竖直向下，通过计算判断此过程是否有水银溢出？稳定后空气柱长度为多少？（取27）

【答案】（1）60cm；（2）70cm

【详解】（1）初态压强P1=P0+Ph体积V1=L1S自由下落，水银完全失重，气体压强P1′=P0，体积V1′=L1′S

由波意耳定律P1V1=P1′V1′得L1′=60cm

（2）假设旋转后无水银溢出，压强P2=P0-Ph气体长度变为L2，由 P1V1=P2L2S得L2=75cm；L2+h＞L

故假设不成立，有水银溢出，设水银溢出后，空气的长度变为x，压强P3=P0-（80-x）=x-5由波意耳定律

P1V1=P3xS得 x=70cm

三、U型玻璃管类模型

9．如图所示，三个粗细均匀装有一定量水银的导热试管底部连通，静止在水平面上，初始时三管中的水银面处于同一水平面，每个试管上端封闭有20cm的理想气体。试管下端部分和部分长度之比为1：2.现让试管一起以某一加速度向左运动，稳定时发现A管水银面下降了10cm，B管中水银面保持不变。已知环境温度始终不变，求原来三个试管中的气体压强。

【答案】30 cmHg

【详解】如图所示，设开始时试管中封闭气体的初始压强为，气柱长为，试管的横截面积为S，加速稳定后A、B、C管内气体压强分别为，因试管导热且环境温度不变，根据玻意耳定律，对A管中封闭气体有代入数据可得对B管中封闭气体分析可知其压强不变，

对C管中封闭气体有可得设试管下端部分水银的质量为m，则部分水银的质量为，根据牛顿第二定律，对部分水银有

对部分水银有即联立解得

10．如图所示，左侧玻璃管中用长的水银柱将一定量气体封装在一球形容器中，玻璃管足够长，玻璃管横截面积为，球形容器的容积为。气体初始时温度为，在距玻璃管下端处开有小孔（忽略孔的粗细），小孔通过一段软管连接右侧封闭有一段气柱的玻璃管，右侧玻璃管横截面积和左侧玻璃管横截面积相等，气柱长为，气柱温度保持不变。刚开始时，右侧玻璃管封闭气体的水银面刚好与小孔位置相平。当球形容器中温度上升后，球形容器中气体使封装水银面升高至小孔处。已知大气压强为。求此时右侧玻璃管中水银面上升的高度以及此时球形容器中气体的温度。

【答案】1cm，404K

【详解】设右侧玻璃管中水银面上升的高度为y，球形容器内气体最终的温度为，以球形容器内气体为研究对象，初态压强初态体积和温度为，末态时压强末态体积为由理想气体状态方程得以右侧玻璃管中气柱为研究对象，初态压强和体积；末态时压强和末态体积为；

由玻意耳定律得得，

11．如图所示的U形玻璃管，左管开口，右管管口封闭，管中一段水银在右管中封闭了一段气柱，气柱高度为20 cm，左右两管中水银面的高度差为10 cm，左管水银柱的横截面积为1 cm2，右管中水银柱的横截面积为2 cm2。已知环境温度为27，大气压强为75 cmHg，左管足够长，右管中水银柱高度大于5 cm。

（i）若在左管中缓慢倒入水银，使右管中气柱体积减少，求需要倒入水银的体积；

（ii）若给右管中气柱缓慢加热，使左管中水银液面与右管顶端相平，求气柱需要升高的温度。

【答案】（i），（ii）。

【详解】（i）开始时，封闭气体的压强为：假设倒入水银后，右管中气体压强为，则理想气体发生等温变化，根据玻意尔定律：解得：左右管中液面的高度差为：倒入水银的体积：；

（ii）若给右管中气柱缓慢加热，使左管中水银液面与右管管口相平，假设气柱升高温度为，此时左管液面上升，右管中液面下降，则右管中气体压强：根据理想气体状态方程：解得：。

12．2020年新冠肺炎的爆发对人们的生产、生活和生命安全带来了巨大的影响。医生给病人输液时，若需要输送两瓶相同的药液，可采用如图所示的装置。细管a是通气管（可通气但不会有药液流出），细管b是连通管（可通气也可通药液），c是输液管（下端的针头与人体相连，图中未画出），开关K可控制输液的快慢和停止输液。A、B是两个相同的药瓶，放置的高度相同。开始时，两药瓶内液面与管口的高度差均为，液面与瓶底的高度差均为d。已知药液的密度为，大气压强为，重力加速度为g，不考虑温度的变化。

（1）打开K，药液缓慢输入病人体内。当A瓶内液面与管口的高度差时，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A瓶内气体质量的比值k为多少？

（2）若打开K开始输液时就将通气管堵住，则当A瓶内液面与管口的高度差时，药瓶内液面上方的压强为多少？

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）通气管与大气相通，管口处的压强为。药液逐渐流出时，只要A瓶管口上方还有药液，B瓶内药液的体积就不变，其上方气体的体积就不变。开始时A瓶内气体的压强为通入气体后，A瓶内气体的压强为设药瓶的内横截面积为S，则开始时A内气体的体积

通入气体后，A内气体的体积由于气体等温变化，设通入压强为的气体的体积为，则有设通入A内的气体在等温条件下压强为时的体积为，则

由公式可知，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A瓶内气体质量的比值为联立解得

（2）若开始输液时把通气管堵住，则药液逐渐流出时，两药瓶内液面同步降低。则有

解得

四、单气缸类模型

13．如图所示，水平地面上有一上端开口的汽缸，汽缸总长为L，通过一厚度不计的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞质量为，其中为大气压强、S为活塞的横截面积、为重力加速度，开始时，汽缸内气体温度为27℃，活塞到汽缸底端距离为L，现对汽缸缓慢加热，活塞上移.求：

（1）汽缸内气体温度升到127℃时，活塞到汽缸顶端的距离；

（2）汽缸内气体温度升到327℃时，缸内封闭气体的压强。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由题意可知，在活塞移动到汽缸顶端前的过程中，气体发生的是等压变化。

状态1：，，；状态2：，，

由盖•吕萨克定律，得解得则活塞到汽缸顶端的距离为

（2）当活塞恰好移动到汽缸口时，封闭气体的温度为T3，状态3：，由盖•吕萨克定律，得解得因为所以气体接着发生等容变化

状态4：，，由查理定律，得解得

14．如图所示，一定质量理想气体被活塞封闭在内壁光滑的气缸中，气缸和活塞绝热性能良好，活塞的横截面积为S，质量为m，静止在与气缸底部距离为L的小挡板上；密闭气体的压强、温度与外界大气相同，分别为和。现接通电热丝加热气体，电热丝两端电压为U，电流为I，通电时间为t，活塞缓慢向上移动距离2L后静止，重力加速度为g，求该过程：

（1）气体内能的增量；

（2）最终温度T。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）活塞移动时受力平衡气体对外界做功气体吸收的热量

根据热力学第一定律解得

（2）活塞发生移动前，等容过程活塞向移动了2L，等压过程又有

解得

15．如图，一圆柱形气缸固定在水平地面上，用质量m=1kg、横截面积S=1000cm2的活塞密封着一定质量的理想气体，跨过光滑定滑轮的轻绳两端分别连接着活塞和一质量M=12kg的重物，左、右侧的绳均竖直，活塞与气缸之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且为10N，开始时缸内气体的温度为t=27℃，压强为p=0.9×105Pa，活塞与气缸底部的距离为H=50cm，重物与水平地面的距离为h=10cm，外界大气压为p0=1.0×105Pa，重力加速度g=10m/s2，现对缸内气体缓慢加热，求：

（1）重物恰好开始下降时缸内气体的温度；

（2）重物刚与地面接触时缸内气体的温度。

【答案】（1）330K；（2）396K

【详解】（1）以气缸中的气体为研究对象，初态：温度，压强；

末态（重物恰好开始下降时）：温度，设气缸中气体压强为；活塞处于平衡状态，由力的平衡条件有

解得气缸中的气体做等容变化，由查理定律有解得

（2）活塞从开始运动至重物刚好与地面接触过程中，设末态温度为T2，气体做等压变化，初末状态的体积为，由盖-吕萨克定律有解得

16．为了监控高温锅炉外壁的温度变化，在锅炉的外壁上镶嵌一个导热性能良好的汽缸，汽缸内气体温度可视为与锅炉外壁温度相等。汽缸开口向上，用质量为的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞横截面积为。当汽缸内温度为300K时，活塞与汽缸底间距为L，活塞上部距活塞处有一用轻质绳悬挂的重物M。当绳上拉力为30N时，警报器报警。已知室外空气压强，活塞与器壁之间摩擦可忽略。重力加速度大小取。求：

（1）当活塞刚刚接触到重物时，锅炉外壁温度为多少？

（2）若锅炉外壁的最高安全温度为1200K，那么重物的质量至少应为多少？

【答案】（1）400K；（2）47kg

【详解】（1）活塞上升过程为等压变化V1=LS；V2=(L+）S根据盖吕萨克定律得T2=400K

（2）活塞碰到重物后到绳的拉力为30N是等容过程，设重物质量为M。；根据查理定律解得M=47kg

五、关联气缸类模型

17．一水平放置的气缸左端开口与大气相通，活塞可在气缸内壁左右移动。活塞右边用一隔板将气缸分成体积均为V0的两部分，隔板左侧是理想气体，右侧是真空，隔板右侧还有一电阻丝可加热。活塞厚度可忽略，活塞和气缸壁均绝热，不计一切摩擦。开始时活塞处于静止状态，大气压强为p0。外界和理想气体温度均为T0。现拔掉隔板，用电热丝缓慢加热气缸中的气体，直至活塞刚好回到初始位置再次静止。

（1）求活塞刚好回到初始位置再次静止时的温度T；

（2）整个过程中，若电阻丝提供的热量为Q，求理想气体内能的增加量。

【答案】（1）2T0；（2）Q-p0V0

【详解】（1）全过程为等压过程，由盖—吕萨克定律可有解得T=2T0

（2）全过程可分解为两个步骤：过程1，拔掉隔板，大气压推动活塞往右滑动，由于隔板右侧原来是真空，此过程大气压不做功，活塞刚刚到达原隔板位置；过程2，电阻丝缓慢加热气体，系统内能增加，气体对外做功，把活塞推回到原来位置。由热力学第一定律有理想气体推动活塞对外做功为

W = -p0（2V0 - V0）故在加热过程中，理想气体内能的增加量为

18．如图所示，两水平放置的导热汽缸底部由管道连通，轻质活塞a、b用刚性轻杆相连，可在汽缸内无摩擦地移动，两活塞横截面积分别为和，且。缸内密封有一定质量的气体，系统处于平衡状态时，左右汽缸内气体的体积均为。已知大气压强为，环境温度为，忽略管道中的气体体积，两活塞始终未脱离汽缸。

（1）若活塞在外力作用下，使右侧汽缸内的体积减小，求稳定后缸内气体的压强。

（2）若大气压强不变，缓慢升高环境温度，当a活塞刚要与汽缸底部接触时，求此时的环境温度。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）设缸中气体的压强为，以活塞、和刚性轻杆为研究对象，根据力的平衡有

解得以左右汽缸内全部气体为研究对象，初状态气体体积，压强；末状态气体体积为压强设为；根据等温变化规律有

解得

（2）以左右汽缸内全部气体为研究对象，初状态气体体积，压强，温度为；末状态气体体积为压强，温度设为，根据等压变化规律有解得

19．如图所示，两个导热良好的汽缸A和B通过一体积不计的细管相连，细管中间有一小隔板将两汽缸内的气体分开。两汽缸内的气体分别被光滑的活塞封闭，左右两边活塞上分别放有质量均为m的物块，初始时刻，两活塞距汽缸底的距离均为，右边活塞到两个卡子M、N的距离为。已知环境温度不变，不考虑活塞的厚度和重力，汽缸B中活塞的横截面积为2S，汽缸A中活塞的横截面积为S，外界大气压强为，，重力加速度为g。

（1）求初始时汽缸A及汽缸B中气体的压强；

（2）由于小隔板缓慢漏气，经过足够长的时间后，汽缸A中的活塞到达汽缸A的最底端，求此时汽缸B中气体的压强。（计算结果均用表示）

【答案】（1），；（2）

【详解】（1）初始时，对汽缸A中活塞，根据平衡条件可得可得

对汽缸B中活塞，根据平衡条件可得可得汽缸B中气体的压强

（2）由于小隔板缓慢漏气，经过足够长的时间后，汽缸A中的活塞到达汽缸A的最底端，假设活塞B恰好到达MN处，根据理想气体状态方程，可得；；；

联立求得因为，所以活塞B能够到达MN处，且活塞B与MN挡板有力的作用，则此时汽缸B中气体的压强为。

20．足够长的A、B两薄壁汽缸的质量分别为，，分别用质量与厚度均不计的活塞C、D将理想气体M、N封闭在汽缸内，C、D两薄活塞用一跨过两定滑轮且不可伸长的柔软轻绳连接，汽缸B放置在水平地面上，系统在图示位置静止时，汽缸A的底部距离地面的高度h＝22cm，C、D两活塞距离地面的高度分别为2h与3h。外界大气压恒为，气体M的热力学温度，C、D两活塞的横截面积均为，取重力加速度大小，不计一切摩擦。对气体M缓慢加热，气体N的热力学温度始终保持在300K，求：

（1）汽缸A的底部刚接触地面时气体M的热力学温度；

（2）气体M的温度上升到时活塞D距离地面的高度。

【答案】（1）600K；（2）

【详解】（1）对气体M缓慢加热过程中，气体体积变大，活塞C相对地面的位置不变，汽缸A的底部下降，最后接触地面，整个过程气体进行等压变化，则初态：V1=Sh ，；末态：V2=2Sh 根据盖吕萨克定律解得T2=600K

（2）开始时，对气缸A进行受力分析可得，绳子拉力开始时活塞静止，则气体M、N的压强分别为，气体M的温度上升T2=600K时，汽缸A的底部接触地面，之后气体温度继续增加，活塞C上升，活塞D下降，当气体N压强增大，当气体N压强等于大气压强时，设活塞D下降高度为h1，由玻意耳定律可得解得此时绳子拉力为0，则气体N的压强也等于大气压强，设M的气体温度为，由理想气体状态方程

解得则气体M的温度上升到时，绳子一直保持拉紧状态，绳子拉紧状态时，气体M、N的压强相等，设气体M的温度上升到时活塞C上升∆h，则活塞D下降∆h；气体M、N的压强为p1，则对气体M、N，由理想气体状态方程和玻意耳定律可得，联立解得则气体M的温度上升到时活塞D距离地面的高度