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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题01竖直上抛模型和类竖直上抛模型(原卷版+解析)
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这是一份高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题01竖直上抛模型和类竖直上抛模型(原卷版+解析)，共27页。
【特训典例】
高考真题
1．（2021河北卷）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（ ）
A．100∶1B．1∶100C．1∶200D．200∶1
2．（2019全国卷）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足（ ）
A．B．C．D．
3．（2021天津卷）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
竖直上抛运动的基本规律
4．为了备战2020年东京奥运会，我国羽毛球运动员进行了如图所示的原地纵跳摸高训练。已知运动员原地静止站立（不起跳）摸高为，比赛过程中，该运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，发力跳起摸到了的高度。若运动员起跳过程视为匀加速运动，忽略空气阻力影响，g取。则（ ）
A．起跳过程的速度变化和离地上升到最高点过程速度变化相同
B．起跳过程的平均速度比离地上升到最高点过程的平均速度小
C．起跳过程中运动员的加速度为
D．从开始起跳到双脚落地需要
5．一枚苹果竖直上抛再落回原处，苹果运动过程中受到的空气阻力忽略不计，从苹果被抛出瞬间开始研究，其动能满足二次函数的形式，其中为常数且均不等于，关于其中的物理意义，下列说法正确的是（ ）
A．表示苹果的瞬时速度B．表示苹果运动的位移
C．表示苹果运动的时间D．表示苹果重力的功率
6．14岁的奥运冠军全红婵，在2021年底14届全运会上再次上演“水花消失术”夺冠。在女子10m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5m/s，竖直入水后速度减为零的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的作用力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35kg，重力加速度大小为g=10m/s2，则（ ）
A．跳离跳台后上升阶段全红婵处于失重状态
B．入水后全红婵处于失重状态
C．全红婵在空中运动的时间为2s
D．入水后全红婵受到水的阻力为612.5N
竖直上抛运动的对称性
7．甲、乙两个杂技演员进行抛球表演，甲每隔0.3s抛出一小球，接到球便马上抛出，球在手中停留的时间不计，每个小球上升的最大高度均为1.8m；乙抛出的每个小球上升的最大高度均为1.25m，将要接到后一个小球瞬间将前一个小球抛出，每一个小球在他手中停留的时间均为0.25s。不计空气阻力，每个小球均可视为沿竖直方向抛出，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙拥有的小球均为4个
B．甲拥有4个小球，乙拥有5个小球
C．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第2个小球恰好在最高点
D．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第3个小球恰好在最高点
8．在杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个小球，从抛出第1个球开始计时，取。所有小球运动的位移随时间的变化关系如图所示，由此可知（ ）
A．每颗小球在空中运动的时间是B．抛出的速度大小为
C．在抛出点上方最多有9个球D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
9．杂技表演中有一节目叫抛球，小明在家练习抛球，他以初速度竖直上抛一小球A后，又以初速度在同一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度g取）
A．B．C．D．
竖直上抛运动的相遇问题
10．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正上方离地H高处以水平速度v1=0.9km/s发射一颗炮弹1，经20s击中地面目标P。若地面拦截系统在炮弹1发射的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点，以速度v2竖直发射拦截炮弹2恰好成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机发射炮弹时离地高度2000mB．M点到P点的距离为1800m
C．炮弹从发射到拦截的时间为D．炮弹2的初速度大小v2=1.2km/s
11．从地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B,下列说法正确的是( )
A．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
B．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
C．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
D．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
12．自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动．下面说法正确的是 （ ）
A．若v0＞，则两物体相遇时B物体正在上升途中
B．若v0=，则两物体在地面相遇
C．若＜v0＜，则两物体相遇时B物体正在空中下落
D．若v0＝，则两物体不可能在空中相遇
五、有关竖直上抛运动的图像
13．在时刻，将一物体（可视为质点）竖直向上抛出。以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，忽略空气阻力，图中能正确反映该物体的动量p随时间t、动能Ek随位移x变化的图像是（ ）
A．B．
C．D．
14．2021年5月15日，中国首个火星探测器“祝融”号登陆红色星球火星，正式开始系外行星之旅，成为第二个登陆火星的国家，由此引发广大太空迷的关注。假设未来人类宇航员登陆火星后，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出点位置O位移为0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，通过计算机得出小球运动的的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。设火星是半径为R的匀质球体，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为aB．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为D．火星的第一宇宙速度为
15．从地面上把一小球竖直向上抛出，小球受到的空气阻力大小与速率成正比，取地面处的重力势能为零，小球上升的最大高度为，小球落回地面时仍处于加速状态，则下列小球动能、重力势能、机械能、速率平方与小球离地高度的关系图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
六、类竖直上抛运动
16．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面足够大，斜面上P点到斜面底端的距离l=3.5m。现将一可视为质点的小球从P点以1m/s的速度在斜面所在的平面内抛出，已知重力加速度g=10m/s2，则小球运动至斜面底端的时间可能为（ ）
A．0.6sB．1.2sC．0.8sD．2.1s
17．如图甲所示，一质量为0.5kg的小物块从匀速转动的水平传送带的右侧滑上传送带，固定在传送带右端的位移传感器（图中未画出）记录了小物块的位移与时间的变化关系，如图乙所示。已知图线在前3.0s内为二次函数，在3.0～4.5s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向，传送带的速度保持不变，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带的速度大小为0.6m/s
C．小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2
D．全过程小物块与传送带系统因摩擦产生的热量为8J
18．两位小朋友玩弹珠子游戏，固定直杆与水平面的夹角为，两颗有孔的珠子穿在直杆上，初始时珠子之间的距离为，一位小朋友将珠子沿杆方向以速度弹出，另一个小朋友同时将珠子无初速度释放，经时间，在珠子返回过程中两珠子相遇，珠子与杆之间的摩擦很小，可忽略，，则（ ）
A．B．C．D．
七、在电磁场中竖直上抛运动的应用
19．在地面附近存在着一有界电场,边界MN将空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ,在区域Ⅱ中有竖直向上的匀强电场,在区域Ⅰ中离边界某一高度由静止释放一质量为的带电小球A,如图甲所示,小球运动的图像如图乙所示,不计空气阻力,则（ ）
A．小球受到的重力与电场力之比为3:5
B．在t=5s时,小球经过边界MN
C．在小球向下运动的整个过程中,克服电场力做的功等于重力势能的变化量
D．在1~4s过程中,小球的机械能先减小后增大
20．带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3，若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则（ ）
A．一定有h1＝h3B．一定有h1C．h2与h4无法比较D．h1与h2无法比较
21．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带正电小球，以初速度v从P点竖直向上抛出，到达最高点Q时的速度大小为0.5v，后来小球又经过与P点等高的N点，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到N点时，动能为mv2
B．小球运动到N点时，电势能增加2mv2
C．小球从P运动到Q的过程，机械能增加2mv2
D．小球从P运动到Q的过程，动能减少0.25mv2
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—3T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律（4T—6T）
目标3
竖直上抛运动的对称性（7T—9T）
目标4
竖直上抛运动的相遇问题（10T—12T）
目标5
有关竖直上抛运动的图像（13T—15T）
目标6
类竖直上抛运动（16T—18T）
目标7
在电磁场中竖直上抛运动的应用（19T—21T）
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题01 竖直上抛模型和类竖直上抛模型
【特训典例】
高考真题
1．（2021河北卷）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（ ）
A．100∶1B．1∶100C．1∶200D．200∶1
【答案】C
【详解】铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即解得铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即解得则
故选C。
2．（2019全国卷）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】运动员起跳到达最高点的瞬间速度为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落体运动，根据初速度为零匀加速运动，连续相等的相邻位移内时间之比等于
可知即故选C。
3．（2021天津卷）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设玩具上升的最大高度为h，玩具上升到高度时的速度大小为v，重力加速度大小为g，以初速度方向为正，整个运动过程有玩具上升到最大高度有
两式联立解得
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为、，水平速度大小分别为、。依题意，动能关系为
玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，有分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为，设两部分落地时的速度大小分别为、，由速度合成公式，有，
结合，解得
竖直上抛运动的基本规律
4．为了备战2020年东京奥运会，我国羽毛球运动员进行了如图所示的原地纵跳摸高训练。已知运动员原地静止站立（不起跳）摸高为，比赛过程中，该运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，发力跳起摸到了的高度。若运动员起跳过程视为匀加速运动，忽略空气阻力影响，g取。则（ ）
A．起跳过程的速度变化和离地上升到最高点过程速度变化相同
B．起跳过程的平均速度比离地上升到最高点过程的平均速度小
C．起跳过程中运动员的加速度为
D．从开始起跳到双脚落地需要
【答案】C
【详解】A．起跳过程运动员向上匀加速运动，速度变化方向向上，离地上升到最高点过程向上做匀减速运动，速度变化方向向下，故A错误；
B．设离地瞬间运动员的速度为，则起跳过程的平均速度为离地上升到最高点过程的平均速度为可知起跳过程的平均速度等于离地上升到最高点过程的平均速度，故B错误；
C．离开地面到上升到最高点的过程中，重心上升距离为运动员离开地面后做竖直上抛运动，设离地瞬间运动员的速度为，则有解得
在起跳过程中，根据速度位移公式可知解得故C正确；
D．起跳过程所用时间为离开地面到上升到最高点的过程所用时间为
自由下落所用时间为则从开始起跳到双脚落地需要的时间为故D错误。故选C。
5．一枚苹果竖直上抛再落回原处，苹果运动过程中受到的空气阻力忽略不计，从苹果被抛出瞬间开始研究，其动能满足二次函数的形式，其中为常数且均不等于，关于其中的物理意义，下列说法正确的是（ ）
A．表示苹果的瞬时速度B．表示苹果运动的位移
C．表示苹果运动的时间D．表示苹果重力的功率
【答案】C
【详解】竖直上抛运动，以竖直向上为正方向， ，
AC．则苹果动能 解得 所以A错误，C正确；
B．苹果动能，B错误；
D．苹果动能，D错误。故选C。
6．14岁的奥运冠军全红婵，在2021年底14届全运会上再次上演“水花消失术”夺冠。在女子10m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5m/s，竖直入水后速度减为零的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的作用力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35kg，重力加速度大小为g=10m/s2，则（ ）
A．跳离跳台后上升阶段全红婵处于失重状态
B．入水后全红婵处于失重状态
C．全红婵在空中运动的时间为2s
D．入水后全红婵受到水的阻力为612.5N
【答案】ACD
【详解】A．跳离跳台后上升阶段，全红婵的加速度向下，则全红婵处于失重状态，故A正确。
B．入水后全红婵的加速度向上，处于超重状态，故B错误；
C．以向上为正方向，则根据可得解得即全红婵在空中运动的时间为2s，故C正确；
D．全红婵入水时的速度则她在水中的加速度大小
方向竖直向上；根据牛顿第二定律有可知故D正确。故选ACD。
竖直上抛运动的对称性
7．甲、乙两个杂技演员进行抛球表演，甲每隔0.3s抛出一小球，接到球便马上抛出，球在手中停留的时间不计，每个小球上升的最大高度均为1.8m；乙抛出的每个小球上升的最大高度均为1.25m，将要接到后一个小球瞬间将前一个小球抛出，每一个小球在他手中停留的时间均为0.25s。不计空气阻力，每个小球均可视为沿竖直方向抛出，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙拥有的小球均为4个
B．甲拥有4个小球，乙拥有5个小球
C．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第2个小球恰好在最高点
D．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第3个小球恰好在最高点
【答案】BD
【详解】AB．甲抛出的球在空中的时间为则甲拥有的小球数为个
乙抛出的球在空中的时间为则乙拥有的小球数为个因每一个小球可以在乙球中停留0.25s，故此时乙手中还有一个小球，所以乙一共有5个小球，B正确；A错误；
CD．如图所示，甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第3个小球恰好在最高点，C错误，D正确。
故选BD。
8．在杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个小球，从抛出第1个球开始计时，取。所有小球运动的位移随时间的变化关系如图所示，由此可知（ ）
A．每颗小球在空中运动的时间是B．抛出的速度大小为
C．在抛出点上方最多有9个球D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
【答案】BD
【详解】AB．由题图可知小球在空中运动的时间为则上抛的速度故B正确，A错误；
C．由题图可知，总共有9个小球，当第一个小球回到抛出点时，第9个小球被抛出，在抛出点上方最多有8个小球，故C错误；
D．题图中图线的交点表示位移相等，两球相遇，由图可知，抛出点上方最多有4对球同时（）相遇，故D正确。故选BD。
9．杂技表演中有一节目叫抛球，小明在家练习抛球，他以初速度竖直上抛一小球A后，又以初速度在同一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度g取）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】球A从抛出回到手中所用时间为球B从抛出回到手中所用时间为若两球刚好在球B回到手中相遇，则有故为了两球在空中相遇，两球抛出的时间间隔必须满足即故选D。
竖直上抛运动的相遇问题
10．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正上方离地H高处以水平速度v1=0.9km/s发射一颗炮弹1，经20s击中地面目标P。若地面拦截系统在炮弹1发射的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点，以速度v2竖直发射拦截炮弹2恰好成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机发射炮弹时离地高度2000mB．M点到P点的距离为1800m
C．炮弹从发射到拦截的时间为D．炮弹2的初速度大小v2=1.2km/s
【答案】ACD
【详解】A．炮弹1做平抛运动，竖直方向有故A正确；
B．水平方向有解得M点与P点的水平距离为故B错误；
C．炮弹1做平抛运动，炮弹2做竖直上抛运动，若要拦截成功，则两炮弹必定在空中相遇，以竖直方向做自由落体运动的物体为参考系，炮弹2匀速上升，所以相遇时间水平方向上，炮弹1做匀速直线运动，与炮弹2相遇的时间故C正确；
D．拦截成功时，有则故D正确。故选ACD。
11．从地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B,下列说法正确的是( )
A．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
B．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
C．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
D．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
【答案】BC
【详解】在空中的时间为 ；B在空中的时间为； 要使A、B能在空中相遇，t1-t2＜△t＜t1；即得： ；选项B正确，A错误；
若恰好在B上升至最高点时相遇，则A运动时间为：t′1＝+T，其中
B球的上升时间为t2′＝相遇时，有t′2+△t=t′1联立解得，△t= 故要使B在上升中相遇，△t应满足的条件为：，选项C正确，D错误；故选BC.
12．自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动．下面说法正确的是 （ ）
A．若v0＞，则两物体相遇时B物体正在上升途中
B．若v0=，则两物体在地面相遇
C．若＜v0＜，则两物体相遇时B物体正在空中下落
D．若v0＝，则两物体不可能在空中相遇
【答案】ACD
【详解】试题分析：若b球正好运动到最高点时相遇，则有：B速度减为零所用的时间,，
由sa+sb=h，联立解得当ab两球恰好在落地时相遇，则有：此时A的位移解得：所以若v0＞，则两物体在b上升途中相遇，故A正确；若v0=，则b球正好运动到最高点时相遇，故B错误；若＜v0＜，则两物体在b下降途中相遇，故C正确；若v0＜，则两物体不可能在空中相遇，故D正确．故选ACD．
五、有关竖直上抛运动的图像
13．在时刻，将一物体（可视为质点）竖直向上抛出。以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，忽略空气阻力，图中能正确反映该物体的动量p随时间t、动能Ek随位移x变化的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】AB．一物体（可视为质点）竖直向上抛出，以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，则速度为
则动量公式为故A正确，B错误；
CD．竖直上抛运动加速度恒定向下，则速度位移公式为动能公式为故CD错误。故选A。
14．2021年5月15日，中国首个火星探测器“祝融”号登陆红色星球火星，正式开始系外行星之旅，成为第二个登陆火星的国家，由此引发广大太空迷的关注。假设未来人类宇航员登陆火星后，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出点位置O位移为0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，通过计算机得出小球运动的的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。设火星是半径为R的匀质球体，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为aB．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为D．火星的第一宇宙速度为
【答案】D
【详解】A．设火星表面重力加速度为g，小球做竖直上抛运动的初速度为，竖直上抛运动位移随时间的表达式为整理得由的图像，可得，解得小球竖直上抛的初速度为，加速度为，故A错误；
B．小球竖直上抛的最大高度由解得故B错误；
C．火星质量为M，由得故C错误；
D．火星表面发设卫星的第一宇宙速度，由万有引力提供向心力，有得
故D正确。故选D。
15．从地面上把一小球竖直向上抛出，小球受到的空气阻力大小与速率成正比，取地面处的重力势能为零，小球上升的最大高度为，小球落回地面时仍处于加速状态，则下列小球动能、重力势能、机械能、速率平方与小球离地高度的关系图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】A．小球向上运动时，空气阻力向下，合力为速率减小，合力减小，向下运动时，所受合力为速率增大，合力减小，图象的斜率大小等于合力大小，A错误；
B．由知与成正比，B正确；
C．图象的斜率大小等于空气阻力大小，小球向上运动阻力减小，图象斜率减小，小球向下运动，阻力增大，斜率增大，阻力做负功，小球机械能一直减小，C错误；
D．由得故图象形状与图象形状相似，D错误。故选B。
六、类竖直上抛运动
16．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面足够大，斜面上P点到斜面底端的距离l=3.5m。现将一可视为质点的小球从P点以1m/s的速度在斜面所在的平面内抛出，已知重力加速度g=10m/s2，则小球运动至斜面底端的时间可能为（ ）
A．0.6sB．1.2sC．0.8sD．2.1s
【答案】B
【详解】ABCD．由题可知，光滑斜面足够大，小球以的初速度沿斜面抛出，但抛出速度的方向未知，则当小球速度方向与斜面平行向上做匀变速直线运动时，小球在斜面上运动的时间最长，由匀变速直线运动规律可得：又因为代入数据为：求解得：当小球初速度方向平行斜面向下做匀加速直线运动时，小球在在斜面上运动的时间为最短时间，则同理代入数据可得：求解得：设小球在斜面上运动的时间可能为t，则有：
故选项B符合，所以选项ACD错误，B正确。故选B。
17．如图甲所示，一质量为0.5kg的小物块从匀速转动的水平传送带的右侧滑上传送带，固定在传送带右端的位移传感器（图中未画出）记录了小物块的位移与时间的变化关系，如图乙所示。已知图线在前3.0s内为二次函数，在3.0～4.5s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向，传送带的速度保持不变，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带的速度大小为0.6m/s
C．小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2
D．全过程小物块与传送带系统因摩擦产生的热量为8J
【答案】C
【详解】AB．由乙图可知，滑块先向左减速，再向右加速，最后匀速，即与传送带达到共同速度，故传送带沿顺时针方向转动，由3.0～4.5s内的v-t图线斜率可得，传送带的速度大小为
AB错误；
C．滑块向左减速过程反向看成初速度为零的匀加速运动，据牛顿第二定律及位移公式可得；其中，联立解得，C正确；
D．由A选项可知，传送带的速度大小等于物块向右匀速运动的速度为前内物块与传送带间的相对位移大小为第内物块与传送带间的相对位移大小为
，3.0～4.5s内物块相对传送带静止，故内物块与传送带间因摩擦而产生的热量为解得故D错误。故选C。
18．两位小朋友玩弹珠子游戏，固定直杆与水平面的夹角为，两颗有孔的珠子穿在直杆上，初始时珠子之间的距离为，一位小朋友将珠子沿杆方向以速度弹出，另一个小朋友同时将珠子无初速度释放，经时间，在珠子返回过程中两珠子相遇，珠子与杆之间的摩擦很小，可忽略，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】AB．由于在运动过程中珠子有共同的加速度，珠子a相对珠子b向上以速度匀速运动，初始时珠子之间的距离为，故解得故A正确，B错误；
CD．若在珠子a刚要返回时相遇，则珠子a运动位移则珠子b运动距离为则
解得若在珠子a返回到出发点时相遇，则则
若在珠子a返回过程中两珠子相遇，则故D正确，C错误。故选AD。
七、在电磁场中竖直上抛运动的应用
19．在地面附近存在着一有界电场,边界MN将空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ,在区域Ⅱ中有竖直向上的匀强电场,在区域Ⅰ中离边界某一高度由静止释放一质量为的带电小球A,如图甲所示,小球运动的图像如图乙所示,不计空气阻力,则（ ）
A．小球受到的重力与电场力之比为3:5
B．在t=5s时,小球经过边界MN
C．在小球向下运动的整个过程中,克服电场力做的功等于重力势能的变化量
D．在1~4s过程中,小球的机械能先减小后增大
【答案】ACD
【详解】A.由图像知小球在t1 =1s进入电场，在t3 =4s离开电场，，其中t1 =1s， =10m/s(g取10m/s2)，设在时间内加速度为，其中t2 =2.5s，则,解得，由牛顿第二定律知，设=1kg，解得，故，故A正确；
B.小球在t1 =1s进入电场，在t3 =4s离开电场，小球在t=5s时到达最高点，故B错误；
C.小球在向下运动的整个过程中， ，根据动能定理，重力做的功等于克服电场力做的功，C正确；
D.小球在0~1s内只有重力做功，机械能不变，在1~2.5s内克服电场力做功，机械能减小，t=2.5s时机械能最小，在2.5~4s内电场力做正功，小球机械能增加，4~5s内机械能保持不变，故D正确．故选ACD
20．带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3，若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则（ ）
A．一定有h1＝h3B．一定有h1C．h2与h4无法比较D．h1与h2无法比较
【答案】AC
【详解】A．小球做竖直上抛运动的最大高度若加上水平方向的匀强电场时，竖直方向仍然只受重力，在竖直方向上有由此可知故A正确；
BCD．当加上竖直向上的匀强电场，小球在竖直方向上受重力和电场力
若小球带正电，则电场力向上，小球运动的加速度小球上升的最大高度
若小球带负电，则电场力向下，小球运动的加速度小球上升的最大高度
若加上水平方向的匀强磁场，由于洛伦兹力改变速度的方向，所以当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平方向的速度，设此时的球的动能为Ek，由动能定理得；则h1大于h2，但h1可能大于h4，也可能小于h4，故h2和h4无法比较。故BD错误，C正确。故选AC。
21．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带正电小球，以初速度v从P点竖直向上抛出，到达最高点Q时的速度大小为0.5v，后来小球又经过与P点等高的N点，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到N点时，动能为mv2
B．小球运动到N点时，电势能增加2mv2
C．小球从P运动到Q的过程，机械能增加2mv2
D．小球从P运动到Q的过程，动能减少0.25mv2
【答案】A
【详解】A．小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性可知，向上和向下运动的时间相等，小球运动到N点时，速度大小为v，方向竖直向下，小球在在平方向上做匀加速直线运动，从P到Q：
从P到N：，小球运动到N点时的动能为mv2，A正确；
B．小球运动过程中，电场力一直在做正功，电势能减小，B错误；
C．小球在竖直方向上做竖直上抛运动重力势能增加了所以小球从P运动到Q的过程，机械能增加了，C错误；
D．小球从P运动到Q的过程，动能减少可知D错误；故选A。
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—3T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律（4T—6T）
目标3
竖直上抛运动的对称性（7T—9T）
目标4
竖直上抛运动的相遇问题（10T—12T）
目标5
有关竖直上抛运动的图像（13T—15T）
目标6
类竖直上抛运动（16T—18T）
目标7
在电磁场中竖直上抛运动的应用（19T—21T）
【特训典例】
高考真题
1．（2021河北卷）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（ ）
A．100∶1B．1∶100C．1∶200D．200∶1
2．（2019全国卷）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足（ ）
A．B．C．D．
3．（2021天津卷）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
竖直上抛运动的基本规律
4．为了备战2020年东京奥运会，我国羽毛球运动员进行了如图所示的原地纵跳摸高训练。已知运动员原地静止站立（不起跳）摸高为，比赛过程中，该运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，发力跳起摸到了的高度。若运动员起跳过程视为匀加速运动，忽略空气阻力影响，g取。则（ ）
A．起跳过程的速度变化和离地上升到最高点过程速度变化相同
B．起跳过程的平均速度比离地上升到最高点过程的平均速度小
C．起跳过程中运动员的加速度为
D．从开始起跳到双脚落地需要
5．一枚苹果竖直上抛再落回原处，苹果运动过程中受到的空气阻力忽略不计，从苹果被抛出瞬间开始研究，其动能满足二次函数的形式，其中为常数且均不等于，关于其中的物理意义，下列说法正确的是（ ）
A．表示苹果的瞬时速度B．表示苹果运动的位移
C．表示苹果运动的时间D．表示苹果重力的功率
6．14岁的奥运冠军全红婵，在2021年底14届全运会上再次上演“水花消失术”夺冠。在女子10m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5m/s，竖直入水后速度减为零的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的作用力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35kg，重力加速度大小为g=10m/s2，则（ ）
A．跳离跳台后上升阶段全红婵处于失重状态
B．入水后全红婵处于失重状态
C．全红婵在空中运动的时间为2s
D．入水后全红婵受到水的阻力为612.5N
竖直上抛运动的对称性
7．甲、乙两个杂技演员进行抛球表演，甲每隔0.3s抛出一小球，接到球便马上抛出，球在手中停留的时间不计，每个小球上升的最大高度均为1.8m；乙抛出的每个小球上升的最大高度均为1.25m，将要接到后一个小球瞬间将前一个小球抛出，每一个小球在他手中停留的时间均为0.25s。不计空气阻力，每个小球均可视为沿竖直方向抛出，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙拥有的小球均为4个
B．甲拥有4个小球，乙拥有5个小球
C．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第2个小球恰好在最高点
D．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第3个小球恰好在最高点
8．在杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个小球，从抛出第1个球开始计时，取。所有小球运动的位移随时间的变化关系如图所示，由此可知（ ）
A．每颗小球在空中运动的时间是B．抛出的速度大小为
C．在抛出点上方最多有9个球D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
9．杂技表演中有一节目叫抛球，小明在家练习抛球，他以初速度竖直上抛一小球A后，又以初速度在同一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度g取）
A．B．C．D．
竖直上抛运动的相遇问题
10．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正上方离地H高处以水平速度v1=0.9km/s发射一颗炮弹1，经20s击中地面目标P。若地面拦截系统在炮弹1发射的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点，以速度v2竖直发射拦截炮弹2恰好成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机发射炮弹时离地高度2000mB．M点到P点的距离为1800m
C．炮弹从发射到拦截的时间为D．炮弹2的初速度大小v2=1.2km/s
11．从地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B,下列说法正确的是( )
A．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
B．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
C．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
D．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
12．自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动．下面说法正确的是 （ ）
A．若v0＞，则两物体相遇时B物体正在上升途中
B．若v0=，则两物体在地面相遇
C．若＜v0＜，则两物体相遇时B物体正在空中下落
D．若v0＝，则两物体不可能在空中相遇
五、有关竖直上抛运动的图像
13．在时刻，将一物体（可视为质点）竖直向上抛出。以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，忽略空气阻力，图中能正确反映该物体的动量p随时间t、动能Ek随位移x变化的图像是（ ）
A．B．
C．D．
14．2021年5月15日，中国首个火星探测器“祝融”号登陆红色星球火星，正式开始系外行星之旅，成为第二个登陆火星的国家，由此引发广大太空迷的关注。假设未来人类宇航员登陆火星后，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出点位置O位移为0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，通过计算机得出小球运动的的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。设火星是半径为R的匀质球体，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为aB．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为D．火星的第一宇宙速度为
15．从地面上把一小球竖直向上抛出，小球受到的空气阻力大小与速率成正比，取地面处的重力势能为零，小球上升的最大高度为，小球落回地面时仍处于加速状态，则下列小球动能、重力势能、机械能、速率平方与小球离地高度的关系图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
六、类竖直上抛运动
16．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面足够大，斜面上P点到斜面底端的距离l=3.5m。现将一可视为质点的小球从P点以1m/s的速度在斜面所在的平面内抛出，已知重力加速度g=10m/s2，则小球运动至斜面底端的时间可能为（ ）
A．0.6sB．1.2sC．0.8sD．2.1s
17．如图甲所示，一质量为0.5kg的小物块从匀速转动的水平传送带的右侧滑上传送带，固定在传送带右端的位移传感器（图中未画出）记录了小物块的位移与时间的变化关系，如图乙所示。已知图线在前3.0s内为二次函数，在3.0～4.5s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向，传送带的速度保持不变，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带的速度大小为0.6m/s
C．小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2
D．全过程小物块与传送带系统因摩擦产生的热量为8J
18．两位小朋友玩弹珠子游戏，固定直杆与水平面的夹角为，两颗有孔的珠子穿在直杆上，初始时珠子之间的距离为，一位小朋友将珠子沿杆方向以速度弹出，另一个小朋友同时将珠子无初速度释放，经时间，在珠子返回过程中两珠子相遇，珠子与杆之间的摩擦很小，可忽略，，则（ ）
A．B．C．D．
七、在电磁场中竖直上抛运动的应用
19．在地面附近存在着一有界电场,边界MN将空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ,在区域Ⅱ中有竖直向上的匀强电场,在区域Ⅰ中离边界某一高度由静止释放一质量为的带电小球A,如图甲所示,小球运动的图像如图乙所示,不计空气阻力,则（ ）
A．小球受到的重力与电场力之比为3:5
B．在t=5s时,小球经过边界MN
C．在小球向下运动的整个过程中,克服电场力做的功等于重力势能的变化量
D．在1~4s过程中,小球的机械能先减小后增大
20．带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3，若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则（ ）
A．一定有h1＝h3B．一定有h1
21．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带正电小球，以初速度v从P点竖直向上抛出，到达最高点Q时的速度大小为0.5v，后来小球又经过与P点等高的N点，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到N点时，动能为mv2
B．小球运动到N点时，电势能增加2mv2
C．小球从P运动到Q的过程，机械能增加2mv2
D．小球从P运动到Q的过程，动能减少0.25mv2
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—3T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律（4T—6T）
目标3
竖直上抛运动的对称性（7T—9T）
目标4
竖直上抛运动的相遇问题（10T—12T）
目标5
有关竖直上抛运动的图像（13T—15T）
目标6
类竖直上抛运动（16T—18T）
目标7
在电磁场中竖直上抛运动的应用（19T—21T）
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题01 竖直上抛模型和类竖直上抛模型
【特训典例】
高考真题
1．（2021河北卷）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（ ）
A．100∶1B．1∶100C．1∶200D．200∶1
【答案】C
【详解】铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即解得铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即解得则
故选C。
2．（2019全国卷）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】运动员起跳到达最高点的瞬间速度为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落体运动，根据初速度为零匀加速运动，连续相等的相邻位移内时间之比等于
可知即故选C。
3．（2021天津卷）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设玩具上升的最大高度为h，玩具上升到高度时的速度大小为v，重力加速度大小为g，以初速度方向为正，整个运动过程有玩具上升到最大高度有
两式联立解得
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为、，水平速度大小分别为、。依题意，动能关系为
玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，有分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为，设两部分落地时的速度大小分别为、，由速度合成公式，有，
结合，解得
竖直上抛运动的基本规律
4．为了备战2020年东京奥运会，我国羽毛球运动员进行了如图所示的原地纵跳摸高训练。已知运动员原地静止站立（不起跳）摸高为，比赛过程中，该运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，发力跳起摸到了的高度。若运动员起跳过程视为匀加速运动，忽略空气阻力影响，g取。则（ ）
A．起跳过程的速度变化和离地上升到最高点过程速度变化相同
B．起跳过程的平均速度比离地上升到最高点过程的平均速度小
C．起跳过程中运动员的加速度为
D．从开始起跳到双脚落地需要
【答案】C
【详解】A．起跳过程运动员向上匀加速运动，速度变化方向向上，离地上升到最高点过程向上做匀减速运动，速度变化方向向下，故A错误；
B．设离地瞬间运动员的速度为，则起跳过程的平均速度为离地上升到最高点过程的平均速度为可知起跳过程的平均速度等于离地上升到最高点过程的平均速度，故B错误；
C．离开地面到上升到最高点的过程中，重心上升距离为运动员离开地面后做竖直上抛运动，设离地瞬间运动员的速度为，则有解得
在起跳过程中，根据速度位移公式可知解得故C正确；
D．起跳过程所用时间为离开地面到上升到最高点的过程所用时间为
自由下落所用时间为则从开始起跳到双脚落地需要的时间为故D错误。故选C。
5．一枚苹果竖直上抛再落回原处，苹果运动过程中受到的空气阻力忽略不计，从苹果被抛出瞬间开始研究，其动能满足二次函数的形式，其中为常数且均不等于，关于其中的物理意义，下列说法正确的是（ ）
A．表示苹果的瞬时速度B．表示苹果运动的位移
C．表示苹果运动的时间D．表示苹果重力的功率
【答案】C
【详解】竖直上抛运动，以竖直向上为正方向， ，
AC．则苹果动能 解得 所以A错误，C正确；
B．苹果动能，B错误；
D．苹果动能，D错误。故选C。
6．14岁的奥运冠军全红婵，在2021年底14届全运会上再次上演“水花消失术”夺冠。在女子10m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5m/s，竖直入水后速度减为零的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的作用力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35kg，重力加速度大小为g=10m/s2，则（ ）
A．跳离跳台后上升阶段全红婵处于失重状态
B．入水后全红婵处于失重状态
C．全红婵在空中运动的时间为2s
D．入水后全红婵受到水的阻力为612.5N
【答案】ACD
【详解】A．跳离跳台后上升阶段，全红婵的加速度向下，则全红婵处于失重状态，故A正确。
B．入水后全红婵的加速度向上，处于超重状态，故B错误；
C．以向上为正方向，则根据可得解得即全红婵在空中运动的时间为2s，故C正确；
D．全红婵入水时的速度则她在水中的加速度大小
方向竖直向上；根据牛顿第二定律有可知故D正确。故选ACD。
竖直上抛运动的对称性
7．甲、乙两个杂技演员进行抛球表演，甲每隔0.3s抛出一小球，接到球便马上抛出，球在手中停留的时间不计，每个小球上升的最大高度均为1.8m；乙抛出的每个小球上升的最大高度均为1.25m，将要接到后一个小球瞬间将前一个小球抛出，每一个小球在他手中停留的时间均为0.25s。不计空气阻力，每个小球均可视为沿竖直方向抛出，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙拥有的小球均为4个
B．甲拥有4个小球，乙拥有5个小球
C．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第2个小球恰好在最高点
D．甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第3个小球恰好在最高点
【答案】BD
【详解】AB．甲抛出的球在空中的时间为则甲拥有的小球数为个
乙抛出的球在空中的时间为则乙拥有的小球数为个因每一个小球可以在乙球中停留0.25s，故此时乙手中还有一个小球，所以乙一共有5个小球，B正确；A错误；
CD．如图所示，甲和乙接到抛出的第1个小球时，抛出的第3个小球恰好在最高点，C错误，D正确。
故选BD。
8．在杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个小球，从抛出第1个球开始计时，取。所有小球运动的位移随时间的变化关系如图所示，由此可知（ ）
A．每颗小球在空中运动的时间是B．抛出的速度大小为
C．在抛出点上方最多有9个球D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
【答案】BD
【详解】AB．由题图可知小球在空中运动的时间为则上抛的速度故B正确，A错误；
C．由题图可知，总共有9个小球，当第一个小球回到抛出点时，第9个小球被抛出，在抛出点上方最多有8个小球，故C错误；
D．题图中图线的交点表示位移相等，两球相遇，由图可知，抛出点上方最多有4对球同时（）相遇，故D正确。故选BD。
9．杂技表演中有一节目叫抛球，小明在家练习抛球，他以初速度竖直上抛一小球A后，又以初速度在同一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度g取）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】球A从抛出回到手中所用时间为球B从抛出回到手中所用时间为若两球刚好在球B回到手中相遇，则有故为了两球在空中相遇，两球抛出的时间间隔必须满足即故选D。
竖直上抛运动的相遇问题
10．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正上方离地H高处以水平速度v1=0.9km/s发射一颗炮弹1，经20s击中地面目标P。若地面拦截系统在炮弹1发射的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点，以速度v2竖直发射拦截炮弹2恰好成功拦截。若不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机发射炮弹时离地高度2000mB．M点到P点的距离为1800m
C．炮弹从发射到拦截的时间为D．炮弹2的初速度大小v2=1.2km/s
【答案】ACD
【详解】A．炮弹1做平抛运动，竖直方向有故A正确；
B．水平方向有解得M点与P点的水平距离为故B错误；
C．炮弹1做平抛运动，炮弹2做竖直上抛运动，若要拦截成功，则两炮弹必定在空中相遇，以竖直方向做自由落体运动的物体为参考系，炮弹2匀速上升，所以相遇时间水平方向上，炮弹1做匀速直线运动，与炮弹2相遇的时间故C正确；
D．拦截成功时，有则故D正确。故选ACD。
11．从地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B,下列说法正确的是( )
A．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
B．要使A、B能在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔
C．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
D．要使B在上升时与A相遇，则两物体抛出的时间间隔
【答案】BC
【详解】在空中的时间为 ；B在空中的时间为； 要使A、B能在空中相遇，t1-t2＜△t＜t1；即得： ；选项B正确，A错误；
若恰好在B上升至最高点时相遇，则A运动时间为：t′1＝+T，其中
B球的上升时间为t2′＝相遇时，有t′2+△t=t′1联立解得，△t= 故要使B在上升中相遇，△t应满足的条件为：，选项C正确，D错误；故选BC.
12．自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动．下面说法正确的是 （ ）
A．若v0＞，则两物体相遇时B物体正在上升途中
B．若v0=，则两物体在地面相遇
C．若＜v0＜，则两物体相遇时B物体正在空中下落
D．若v0＝，则两物体不可能在空中相遇
【答案】ACD
【详解】试题分析：若b球正好运动到最高点时相遇，则有：B速度减为零所用的时间,，
由sa+sb=h，联立解得当ab两球恰好在落地时相遇，则有：此时A的位移解得：所以若v0＞，则两物体在b上升途中相遇，故A正确；若v0=，则b球正好运动到最高点时相遇，故B错误；若＜v0＜，则两物体在b下降途中相遇，故C正确；若v0＜，则两物体不可能在空中相遇，故D正确．故选ACD．
五、有关竖直上抛运动的图像
13．在时刻，将一物体（可视为质点）竖直向上抛出。以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，忽略空气阻力，图中能正确反映该物体的动量p随时间t、动能Ek随位移x变化的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】AB．一物体（可视为质点）竖直向上抛出，以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，则速度为
则动量公式为故A正确，B错误；
CD．竖直上抛运动加速度恒定向下，则速度位移公式为动能公式为故CD错误。故选A。
14．2021年5月15日，中国首个火星探测器“祝融”号登陆红色星球火星，正式开始系外行星之旅，成为第二个登陆火星的国家，由此引发广大太空迷的关注。假设未来人类宇航员登陆火星后，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出点位置O位移为0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，通过计算机得出小球运动的的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。设火星是半径为R的匀质球体，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为aB．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为D．火星的第一宇宙速度为
【答案】D
【详解】A．设火星表面重力加速度为g，小球做竖直上抛运动的初速度为，竖直上抛运动位移随时间的表达式为整理得由的图像，可得，解得小球竖直上抛的初速度为，加速度为，故A错误；
B．小球竖直上抛的最大高度由解得故B错误；
C．火星质量为M，由得故C错误；
D．火星表面发设卫星的第一宇宙速度，由万有引力提供向心力，有得
故D正确。故选D。
15．从地面上把一小球竖直向上抛出，小球受到的空气阻力大小与速率成正比，取地面处的重力势能为零，小球上升的最大高度为，小球落回地面时仍处于加速状态，则下列小球动能、重力势能、机械能、速率平方与小球离地高度的关系图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】A．小球向上运动时，空气阻力向下，合力为速率减小，合力减小，向下运动时，所受合力为速率增大，合力减小，图象的斜率大小等于合力大小，A错误；
B．由知与成正比，B正确；
C．图象的斜率大小等于空气阻力大小，小球向上运动阻力减小，图象斜率减小，小球向下运动，阻力增大，斜率增大，阻力做负功，小球机械能一直减小，C错误；
D．由得故图象形状与图象形状相似，D错误。故选B。
六、类竖直上抛运动
16．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面足够大，斜面上P点到斜面底端的距离l=3.5m。现将一可视为质点的小球从P点以1m/s的速度在斜面所在的平面内抛出，已知重力加速度g=10m/s2，则小球运动至斜面底端的时间可能为（ ）
A．0.6sB．1.2sC．0.8sD．2.1s
【答案】B
【详解】ABCD．由题可知，光滑斜面足够大，小球以的初速度沿斜面抛出，但抛出速度的方向未知，则当小球速度方向与斜面平行向上做匀变速直线运动时，小球在斜面上运动的时间最长，由匀变速直线运动规律可得：又因为代入数据为：求解得：当小球初速度方向平行斜面向下做匀加速直线运动时，小球在在斜面上运动的时间为最短时间，则同理代入数据可得：求解得：设小球在斜面上运动的时间可能为t，则有：
故选项B符合，所以选项ACD错误，B正确。故选B。
17．如图甲所示，一质量为0.5kg的小物块从匀速转动的水平传送带的右侧滑上传送带，固定在传送带右端的位移传感器（图中未画出）记录了小物块的位移与时间的变化关系，如图乙所示。已知图线在前3.0s内为二次函数，在3.0～4.5s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向，传送带的速度保持不变，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带的速度大小为0.6m/s
C．小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2
D．全过程小物块与传送带系统因摩擦产生的热量为8J
【答案】C
【详解】AB．由乙图可知，滑块先向左减速，再向右加速，最后匀速，即与传送带达到共同速度，故传送带沿顺时针方向转动，由3.0～4.5s内的v-t图线斜率可得，传送带的速度大小为
AB错误；
C．滑块向左减速过程反向看成初速度为零的匀加速运动，据牛顿第二定律及位移公式可得；其中，联立解得，C正确；
D．由A选项可知，传送带的速度大小等于物块向右匀速运动的速度为前内物块与传送带间的相对位移大小为第内物块与传送带间的相对位移大小为
，3.0～4.5s内物块相对传送带静止，故内物块与传送带间因摩擦而产生的热量为解得故D错误。故选C。
18．两位小朋友玩弹珠子游戏，固定直杆与水平面的夹角为，两颗有孔的珠子穿在直杆上，初始时珠子之间的距离为，一位小朋友将珠子沿杆方向以速度弹出，另一个小朋友同时将珠子无初速度释放，经时间，在珠子返回过程中两珠子相遇，珠子与杆之间的摩擦很小，可忽略，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】AB．由于在运动过程中珠子有共同的加速度，珠子a相对珠子b向上以速度匀速运动，初始时珠子之间的距离为，故解得故A正确，B错误；
CD．若在珠子a刚要返回时相遇，则珠子a运动位移则珠子b运动距离为则
解得若在珠子a返回到出发点时相遇，则则
若在珠子a返回过程中两珠子相遇，则故D正确，C错误。故选AD。
七、在电磁场中竖直上抛运动的应用
19．在地面附近存在着一有界电场,边界MN将空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ,在区域Ⅱ中有竖直向上的匀强电场,在区域Ⅰ中离边界某一高度由静止释放一质量为的带电小球A,如图甲所示,小球运动的图像如图乙所示,不计空气阻力,则（ ）
A．小球受到的重力与电场力之比为3:5
B．在t=5s时,小球经过边界MN
C．在小球向下运动的整个过程中,克服电场力做的功等于重力势能的变化量
D．在1~4s过程中,小球的机械能先减小后增大
【答案】ACD
【详解】A.由图像知小球在t1 =1s进入电场，在t3 =4s离开电场，，其中t1 =1s， =10m/s(g取10m/s2)，设在时间内加速度为，其中t2 =2.5s，则,解得，由牛顿第二定律知，设=1kg，解得，故，故A正确；
B.小球在t1 =1s进入电场，在t3 =4s离开电场，小球在t=5s时到达最高点，故B错误；
C.小球在向下运动的整个过程中， ，根据动能定理，重力做的功等于克服电场力做的功，C正确；
D.小球在0~1s内只有重力做功，机械能不变，在1~2.5s内克服电场力做功，机械能减小，t=2.5s时机械能最小，在2.5~4s内电场力做正功，小球机械能增加，4~5s内机械能保持不变，故D正确．故选ACD
20．带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3，若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则（ ）
A．一定有h1＝h3B．一定有h1
【答案】AC
【详解】A．小球做竖直上抛运动的最大高度若加上水平方向的匀强电场时，竖直方向仍然只受重力，在竖直方向上有由此可知故A正确；
BCD．当加上竖直向上的匀强电场，小球在竖直方向上受重力和电场力
若小球带正电，则电场力向上，小球运动的加速度小球上升的最大高度
若小球带负电，则电场力向下，小球运动的加速度小球上升的最大高度
若加上水平方向的匀强磁场，由于洛伦兹力改变速度的方向，所以当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平方向的速度，设此时的球的动能为Ek，由动能定理得；则h1大于h2，但h1可能大于h4，也可能小于h4，故h2和h4无法比较。故BD错误，C正确。故选AC。
21．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带正电小球，以初速度v从P点竖直向上抛出，到达最高点Q时的速度大小为0.5v，后来小球又经过与P点等高的N点，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到N点时，动能为mv2
B．小球运动到N点时，电势能增加2mv2
C．小球从P运动到Q的过程，机械能增加2mv2
D．小球从P运动到Q的过程，动能减少0.25mv2
【答案】A
【详解】A．小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性可知，向上和向下运动的时间相等，小球运动到N点时，速度大小为v，方向竖直向下，小球在在平方向上做匀加速直线运动，从P到Q：
从P到N：，小球运动到N点时的动能为mv2，A正确；
B．小球运动过程中，电场力一直在做正功，电势能减小，B错误；
C．小球在竖直方向上做竖直上抛运动重力势能增加了所以小球从P运动到Q的过程，机械能增加了，C错误；
D．小球从P运动到Q的过程，动能减少可知D错误；故选A。
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—3T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律（4T—6T）
目标3
竖直上抛运动的对称性（7T—9T）
目标4
竖直上抛运动的相遇问题（10T—12T）
目标5
有关竖直上抛运动的图像（13T—15T）
目标6
类竖直上抛运动（16T—18T）
目标7
在电磁场中竖直上抛运动的应用（19T—21T）
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