2021-2022学年安徽省亳州市第一中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2021-2022学年安徽省亳州市第一中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知等比数列{}中，，则公比q＝（       ）

A．2 B．－2 C．4 D．－4

【答案】B

【分析】利用等比数列的性质可得，从而可得答案.

【详解】在等比数列{}中，，解得

故选：B

2．已知函数，则a的值为（       ）

A． B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】求出导函数，由导数值可得参数值．

【详解】，所以，．

故选：A．

3．在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在等差数列中，根据，得到的关系，然后代入前n项和公式，利用二次函数的性质求解.

【详解】在等差数列中，因为，

所以,

，

所以，

所以当时，取得最大值，最大值为，

故选：B

【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4．函数的单调减区间是（　　）

A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）

【答案】A

【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.

【详解】由题意，函数的定义域为，且，

因为，可得，令，即，解得，

所以函数的递减区间为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.

5．函数图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义判定.

【详解】如图，作出函数图象上在处的切线，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，

由导数的几何意义可知，导数即为切线的斜率，所以，

故选:D.

6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（       ）

A．10 B．15 C．20 D．15

【答案】A

【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．

【详解】设最小的一份为个，公差为，，，

由题意，解得．

故选：A．

7．若存在过点（0，－2）的直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（       ）

A．2 B．1 C．0 D．－2

【答案】A

【分析】在两曲线上设切点，得到切线，又因为（0，－2）在两条切线上,列方程即可.

【详解】的导函数为，的导函数为，

若直线与和的切点分别为（，），，

∴过（0，－2）的直线为、，

则有，可得．

故选：A.

8．若函数的极大值为2，则的单调递减区间为（       ）

A． B．

C． D．和

【答案】B

【分析】由导数分析单调性，根据极值列方程解出后求解

【详解】，

可得在和上单调递增，在上单调递减

有极大值为，解得，

故的单调递减区间为，

故选：B

9．下表的数阵有无限多行和无限多列，其特点是每行每列都成等差数列，若记第i行第j列的数为，有以下说法：①；②数阵中第2行前10个数的和为120；③数阵中第2021行第2022个数是．则其中正确说法的个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】按照等差数列的通项公式和求和公式依次判断即可.

【详解】由图可知，第8行的公差为8，故，①正确；

，第2行的公差为2，故第2行前10个数的和为，②正确；

，第2021行的公差为2021，故，③错误.

故选：C.

10．设，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断与的大小关系，设函数，得出单调性，可得出的关系，从而得出答案.

【详解】由，则，即

，即

设函数，则

当时，，则在上单调递减

所以，所以，即

所以

故选：D

11．已知数列{}满足，，，则数列{}的第2022项为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出，通过条件得到，再利用累加法即可求解.

【详解】由，，可得

由得，

又，可得，

所以，，将上式相加得 .

故选：C.

12．已知函数，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B．（－1，2）

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数的单调性，根据函数的单调性和奇偶性得到关于的不等式，解出即可．

【详解】的定义域是，,

故是偶函数，

又，

令，当且仅当时取等号，

在单调递增，而，

时，，递减，

时，，递增，

故由得，

解得，即不等式的解集为，

故选：．

二、填空题

13．设为数列{}的前n项和，若，则的值为_________．

【答案】

【分析】先由递推关系得出{}是等比数列，得出其通项公式，从而得出答案.

【详解】由，则当时，，则

又当时，，与两式相减可得

，即

所以{}是以 为首项，2为公比的等比数列,则

所以

故答案为：

14．已知是定义在R的函数f（x）的导函数，且，，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】引入新函数，由导数确定单调性，不等式化为，然后由单调性解不等式．

【详解】设，因为，所以，

所以是单调增函数，，

不等式化为，即，

所以，，．

故答案为：．

15．已知数列{}满足，数列{}的前n项和为则＝________．

【答案】

【分析】由倒序相加法求和．

【详解】

，，

，倒过来写：

，

两式相加得，所以．

故答案为：

16．已知不等式的解集中有且仅有一个负整数，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】一元一次不等式变形后，解只能是形式，且，由此可得．

【详解】不等式变形为，

不等式解集中有且仅有一个负整数，则，，

且，解得．

故答案为：

三、解答题

17．求下列函数的导数：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由复合函数的求导法则求导；

（2）由复合函数的求导法则求导．

【详解】(1)；

(2)

18．已知等比数列的公比，且，设数列的前项和为．

(1)证明：；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等比数列求和公式化简直接可证；

（2）写出数列与的通项公式，利用裂项相消法求和.

【详解】(1)证明：由已知得，且，

所以，

所以；

(2)由数列为等比数列，且，

所以，

则，

所以

.

19．设函数，曲线在点处的切线方程为，

（1）求，的值；

（2）求的单调区间.

【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；

（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以.

依题设，即

解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

由及知，与同号.

令，则.

所以，当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增.

故是在区间上的最小值，

从而.

综上可知，，.故的单调递增区间为.

【解析】导数的应用；运算求解能力

【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．

20．设为数列{}的前n项和，且，．数列{}满足，．

(1)求数列{}的通项公式：

(2)设数列，求数列{}的前2n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据递推公式，结合数列前项和与第项之间的关系、等比数列的定义进行求解即可；

（2）根据递推公式，结合（1）中的结论进行求解得出，再根据平方差公式，结合等差数列前项和公式进行即可.

【详解】(1)解：由，

因为，

所以当时，，

得：，所以，当时，也适合，

因此；

(2)解：因为，

所以当时，，

两式相减得：，

由（1）可知：，所以，

当时，，也适合上式，

故；

所以，

因此

.

所以.

21．已知数列中，，.若数列的前项的和为，令.

(1)求；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）先分析数列的规律，利用分组求和法求得，由此求得.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】(1)由得，.

将此式除以得，

又因为

所以是以为首项，公比为的等比数列；

是以为首项，公比为的等比数列.

因此.

.

(2)由（1）知，

①，

②，

①②得：

，

所以，.

22．设函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若在区间单调递增，求整数的最大值．

【答案】(1)的增区间为，减区间为

(2)8

【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）由题意可得，令，则，然后分和两种情况求的最小值，使其最小值大于等于零即可

【详解】(1)当时，（），则，

由，得，

由，得，

所以 的增区间为，减区间为

(2)由，得，

因为在区间单调递增，

所以在上恒成立，

所以，令，则

，

当时，因为，所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以满足条件，

当时，当时，，所以，

所以在上单调递增，

所以，

记，则（），

所以在上递减，

因为，

，

所以时满足条件，

综上满足条件的整数的最大值为8

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题