高一下学期数学微专题25讲 09.对边对角模型及应用

9.对边对角模型及应用

一．基本原理

对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.

1.结合余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.

2.结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围.

3.注意到其在焦点三角形中的应用.

二．典例分析

例1.（2020年全国2卷）在中，

（1）求；

（2）若，求周长的最大值.

解析：（1）由正弦定理可得：，

，.

（2）方法1：，

即.（当且仅当时取等号），，

解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.

方法2.设，则，根据正弦定理可，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

例2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．

解析：（1）由以及，

可得，即，即，

即，即，

由于，故，又，故，

故或，解得或（舍去），

故.

（2）由正弦定理得，即，．所以的面积，．

因为为锐角三角形，所以，所以，所以，故面积的取值范围是．

点评：当限制角的范围时，函数方法比不等式方法的就更具有操作性和普适性.

例3．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

（1）求角C的大小；

（2）若，，求的取值范围．

解析：（1）在锐角中，所以.

（2）解：由（1）知，所以，因为，由正弦定理

所以，，所以

，因为，所以，所以，解得，又三角形为锐角三角形，所以，所以，

所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.

点评2：在对边对角模型下，若已知，那么形如等结构的范围均可利用函数关系等求出.

三．习题演练

习题1．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若．

（1）求B；

（2）若，求的取值范围．

习题2.设的内角所对的边分别为且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

习题3.（2016年全国I）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求C；

（2）若的面积为，求的周长．

习题4．（2013新课标）在内角的对边为，已知．

（1）求；

（2）若，求△面积的最大值．

习题5．（2012新课标）已知、、分别为三个内角、、的对边，

．

（1）求；

（2）若，的面积为，求、．

参考答案

习题1.解析：（1）根据正弦定理可得：，

即，又，故，又，因此．

（2）由正弦定理：，∴，，

又，故

，

是锐角三角形，则，

因此，，，故，∴．

习题2.解析：（1）

（2）

解得：