数列综合及劣构问题专题讲义-2023二轮复习

这是一份数列综合及劣构问题专题讲义-2023二轮复习，共30页。
\l "_Tc129959525" 4 劣构问题之数列 PAGEREF _Tc129959525 \h 22
3 数列的综合应用
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为
A.B.C.D.
2.某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则的值至少为
A．B．
C．D．
3. 已知数列是各项均为正数的等比数列,
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和,并求的最大值
【知识点一：求通项常用方法】
1.定义
（1）数列的定义——表示①解析法——数列是特殊的函数
②图象法
③列表法
（2）通项公式
（3）递推公式
（4）与的关系：
2.常见递推公式及方法
（1）（这里可求和）——累加法
（2）（这里可求积）——累乘法
（3）——构造等比数列
（4）——，构造等差数列
（5）——当时，，构造等差数列
当时，，转化为（3）
【典型例题】
例1.数列的前项和，,且,则的值为
A．B．C．D．
练1.已知数列的前项和，则数列的通项公式
例2.若等差数列和等比数列满足,,试写出一组满足条件的数列和的通项公式:,.
练2.已知数列,其中,,则满足的不同数列一共有
A．个B．个C．个D．个
例3.已知函数,数列满足,,.则与中,较大的是;,,的大小关系是.
练1.数列满足:,给出下述命题:
= 1 \* GB3 ①若数列满足:,则成立0;
= 2 \* GB3 ②存在常数,使得成立;
= 3 \* GB3 ③若,则;
= 4 \* GB3 ④存在常数,使得都成立.
上述命题正确的是____.(写出所有正确结论的序号)
例4.已知等差数列的公差d>0，且满足
求数列的通项公式；
练1.已知递增数列满足：，，且、、成等比数列。
（I）求数列的通项公式；
例5.（2014北京15）已知是等差数列，满足，，数列满足， ，且是等比数列
求数列和的通项公式；
练1.设数列的前项和为.已知,,.
（Ⅰ）写出的值,并求数列的通项公式;
（Ⅱ）记为数列的前项和,求;
（Ⅲ）若数列满足,,求数列的通项公式.
【知识点二：求和常用方法】
（1）公式法——已知数列是等差数列或等比数列
（2）分组求和法——数列通项由等差及等比或其他可求和通项构成
（3）倒序相加法
（4）裂项相消法
（5）错位相减法
（6）分类讨论
【典型例题】
例1.数列{an}中，a1＝1,an＋1＝－2an，数列{bn}满足bn＝| an |，则数列{bn}的前n项和Sn＝
A．B．C．D．
练1.若数列满足，且与的等差中项是5，则等于
A．B．C．D．
例2.设，则等于
A．B．
C．D．
练2.已知等差数列()中，，，则数列的通项公式____________；______
例3.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
(A)(B)(C)(D)
例4 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
练1.已知数列{an}是公比为13的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项之积为Tn，求Tn的最大值．
例5. 已知函数，数列满足：，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求数列的前项和。
【知识点三：单调性与最值】
1.前项的和或积最大（最小）问题
2.数列的单调性
3.数列与不等式的综合
【典型例题】
例1. 已知是各项为正数的等比数列，,数列的前n项和为，
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求证:对任意的，数列为递减数列
例2. 已知等差数列的公差，，
（Ⅰ）求数列的通项公式
(Ⅱ)设，记数列的前n项的乘积为，求的最大值
练1.已知等差数列的首项和公差均为整数，其前项和为
(Ⅰ)若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
(Ⅱ)若对任意，且时，都有，求的最小值
例3. 已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列。
（1）求的通项公式；
（2）若，分别是等比数列的第一项和第二项，求使数列的前项和的最大正整数。
【小试牛刀】
1.已知是各项为正数的等比数列，,数列的前n项和为，
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求证:对任意的，数列为递减数列
2.已知数列的前项和.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求证:;
（Ⅲ）判断数列是否为等差数列,并说明理由.
3.等差数列的首项,其前项和为,且.
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）求满足不等式的的值.
【巩固练习——基础篇】
1.已知数列是等差数列,数列是公比大于零的等比数列,且,.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）记,求数列的前项和.
2.已知数列满足,且其前项和.
（Ⅰ）求的值和数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列为等比数列,公比为,且其前项和满足,求的取值范围.
3.已知等比数列的各项均为正数,且,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足,,且是等差数列,求数列的前项和.
4. 在等差数列中,,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设,其中,求数列的前项和.
【巩固练习——提高篇】
1.已知数列,其中,,则满足的不同数列一共有
A．个B．个C．个D．个
2.已知数列满足
，则
A． B．
C． D．
3.已知数列的通项公式,则数列的前项和的最小值是
A．B．C．D．
4.数列的前项和,若,且,则的值为
A．B．C．D．
5.数列满,
则（1）;（2）此数列最多有项.
6.数列满足:,给出下述命题:
= 1 \* GB3 ①若数列满足:,则成立0;
= 2 \* GB3 ②存在常数,使得成立;
= 3 \* GB3 ③若,则;
= 4 \* GB3 ④存在常数,使得都成立.
上述命题正确的是____.(写出所有正确结论的序号)
7. 已知数列为等比数列，且，数列满足．若，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列前项和为，若当且仅当时，取得最大值，求实数的取值范围．
4 劣构问题之数列
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.设等差数列的前项和为．若，，则
________，的最小值为________．
2.在公差不为零的等差数列{an}中，a1=2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{an}的前n项和等于 .
3.已知等差数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，．问：与数列的第几项相等？
【常考题型】
通项公式
等差数列
等比数列
数列求和
常用求和方法
（1）公式法——已知数列是等差数列或等比数列
（2）分组求和法——数列通项由等差及等比或其他可求和通项构成
（3）倒序相加法
（4）裂项相消法
（5）错位相减法
（6）分类讨论
三．数列应用
（1）前项的和或积最大（最小）问题
（2）数列的单调性
（3）数列与不等式的综合
【典型例题】
例1.已知有限数列共有30项 QUOTE {an}(n∈N*,n≤30) ，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件 = 1 \* GB3 ①、条件 = 2 \* GB3 ②、条件 = 3 \* GB3 ③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ） QUOTE S6 的值；
（Ⅱ）数列 QUOTE {an} 中的最大项．
条件 = 1 \* GB3 ①：；
条件 = 2 \* GB3 ②：； QUOTE b=π4
条件 = 3 \* GB3 ③： QUOTE 2b=3a ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
练1．己知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，满足b2＝12,b5＝30.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求解下列问题：
（I）求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn；
（II）若对任意n∈N*不等式kSn ≥ bn恒成立，求k的取值范围.
条件①
条件②a1＝9，当n≥2，a2＝2，an+1＝an＋2
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。
练2.已知是公比为的无穷等比数列,其前项和为,满足,.是否存在正整数,使得？若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
从①, ②, ③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
例2. 已知为等比数列，其前项和为，且满足，. 为等差数列，其前项和为，如图____，的图象经过,两个点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在正整数，使得，求的最小值.
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
图① 图② 图③
练1. 已知数列的前项和为，， ．是否存在正整数（），使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
从 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
练2. 已知等差数列的前项和为，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为，从 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例3.已知等比数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和．
条件①：设；
条件②：设．
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．
练1.已知数列中，，且满足 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
练2. 已知是公差为的无穷等差数列,其前项和为.又_______,且,是否存在大于1的正整数,使得？若存在,求的值;若不存在,说明理由.
从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
【小试牛刀】
1.已知数列是等差数列，是的前n项和，， .
（Ⅰ）判断2024是否是数列中的项，并说明理由； （Ⅱ）求的最值.
从 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②， = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
2.从①前项和 ,② ,③ 且
这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.
在数列 中, , _______,其中 .
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)若 成等比数列,其中 m,n∈N*,且 m>n>1,求 m 的最小值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分
3. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且， ．若存在正整数，使得有最小值．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的最小值．
从 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4. 已知是公差为的无穷等差数列,其前项和为.又_______,且,是否存在大于1的正整数,使得？若存在,求的值;若不存在,说明理由.
从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
【巩固练习——基础篇】
1.已知是公比为的无穷等比数列,其前项和为,满足,.是否存在正整数,使得.若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
从①, ②, ③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
2.已知数列是等差数列，是的前n项和，， .
（Ⅰ）判断2024是否是数列中的项，并说明理由； （Ⅱ）求的最值.
从 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②， = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
3. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且， ．若存在正整数，使得有最小值．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的最小值．
从 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【巩固练习——提高篇】
1.已知数列是一个公比为的等比数列，，是数列的前项和，再从条件 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①、条件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②、条件 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中选择一个作为已知，解答下列问题：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和的最小值.
条件 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①: 成等差数列；
条件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②: ；
条件 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③: .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2.已知数列的前项和为,, 从条件 = 1 \* GB3 ①、条件 = 2 \* GB3 ②和条件 = 3 \* GB3 ③中选择两个作为已知，并完成解答：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，求数列的前项和.
条件 = 1 \* GB3 ①： ；
条件 = 2 \* GB3 ②：；
条件 = 3 \* GB3 ③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
等差数列
等比数列
定义
（常数，公差）
（非零常数）
通项公式
中项性质
求和公式

性质应用
若
性质推广，若
等差
等比
如何证明
定义：
中项性质：
定义：
中项性质：