等差数列专题讲义-2023二轮复习

这是一份等差数列专题讲义-2023二轮复习，共16页。
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．等差数列中，，若，则等于s5ucm
A．79B．80C．81D．82
2．已知等差数列的公差d>0，且满足，求数列的通项公式______.
【知识点一：等差数列的定义及其表示】
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．
①如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第项或第项开始是等差数列．
②求公差时。因为是这个数列的后一项与前一项的差，故有,还有
③等差数列的单调性
④等差数列的判定方法
【知识点二：等差数列通项公式】
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为，其中为首项，为公差.
2．对公式的理解
（1）从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中和是基本量，只要知道和即可求出等差数列的任一项．
（2）从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，是的一次函数．其图象是直线上均匀排开的一列孤立的点．我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了．
3．方法清单
函数与方程思想在等差数列运算中
（1）学会运用函数与方程思想解题．
（2）抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键．
（3）等差数列的通项公式、前项和公式涉及五个量： 。知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二”）．
（4）巧设未知量．例如，若三个数成等差数列，可设这三个数分别为（其中为公差）；若四个数成等差数列，可设这四个数分别为（其中为公差）．设项巧与不巧，关系到列式的简繁，计算是否容易，推理是否顺利等．
【典型例题】
考点一：等差数列求通项
例1．等差数列中，，若，则等于s5ucm
A．79B．80C．81D．82
例2．已知等差数列的公差d>0，且满足，求数列的通项公式______.
练1.在等差数列中，若，则
A．B．C．D．
练2.已知是等差数列，若，，则______.
【知识点三：等差数列求和公式】
一般地，我们称叫数列的前项和，用表示，即
.
等差数列的前项和公式：
（公式一）．
（公式二）．
（1）公式一反映了等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个内在性质．推导方法是倒序相加法．
（2）公式二反映了等差数列前项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的函数：（不含常数项），其中，．
（3）当已知首项、末项和项数时，用公式一较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式二较为方便．
等差数列的前项和
令，则
（1）当（即）时，是关于的常数函数，是各项为的常数列．
（2）当（即）时是关于的一次函数，为各项非零的常数列．
（3）当（即）时是关于的二次函数（常数项为0）．
（4）当(即)时不是等差数列．
【典型例题】
考点一：等差数列求和
例1.已知等差数列中,,则数列的通项公式；
.
例2.等差数列中，若，为 的前项和，则
练1.已知是公差为的等差数列，为其前和．若，则
A．B．C．D．
练2.已知数列为等差数列,且,则数列的前5项和是
A．B．C．D．
例3.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层,上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石（如图2所示）.上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,则第二十七环的扇面形石块数是______;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______.
考点二：已知等差数列前ｎ项和，求通项
例1.已知数列的前项和,则.
例2.已知为等差数列,为其前项和.若,,则数列的公差
,通项公式.
练1.设等差数列的前项和为.若,,则数列的通项公式可以是
.
练2.设等差数列的前项和为,若,,则;.
【知识点四：等差数列的性质与应用】
等差数列常用性质
等差中项：如果成等差数列,那么叫做与的等差中项，且.
若为等差数列，且则.
若，为等差数列，则也为等差数列.
若为等差数列，公差为，则若为公差为等差数列.
若为等差数列，则为等差数列.
若为等差数列，则为等差数列.
7.若等差数列与的前项和分别是和,则.
8.等差数列前项和最值常用方法：
法一：的图象可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的正整数是取得最大值的.
法二：当时，有最大值；当时，有最小值.
【典型例题】
考点一：等差数列的性质与应用
例1.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是
A.B.1C.2D.3
例2.已知为等差数列，且前项和分别为，若，
则_____
练1.已知等差数列的前n项和为Sn，若a2=1，S5=10，则________
例3.等差数列中,前项和为,公差,且,若,则
A．B．C．的值不确定D．
练1．已知数列是以3为公差的等差数列，是其前n项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是___________
例4.在等差数列中，设，则
是的
例5.若等差数列满足，，则
当______时，的前项和最大．
练1.设等差数列的前项和为．若，，则
________，的最小值为________．
练2．在等差数列中，，.记，则数列
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
练3. 设等差数列的前项的和为，若，，则当取得最大值时，的值为
A.5B.6C.7D.8
例6.在无穷等差数列中，记，则“存在，使得”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
练1.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
练2.设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例7.共享单车已经成为方便人们出行的交通工具，某公司决定从年月开始向某地投放共享单车，记第个月共享单车的投放量和损失量分别为 QUOTE an 和 QUOTE bn( （单位：千辆），其中，.从第个月到年月，共享单车的每月投放量比上个月增加千辆，从年月开始，共享单车的每月投放量比上个月减少千辆；根据预测，从年月开始，共享单车的每月损失量比上个月增加辆．设第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差，则该地区第个月底的共享单车的估计保有量为_____千辆；当为_____时，该地区第个月底的共享单车估计保有量达到最大．
【小试牛刀】
1.已知等差数列()中，，，则数列的通项公式____________；______
2.已知等差数列中，，，则的前10项和为（）
A.90B.100C.110D.120
3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则= ；数列的前项和的最小值为 ．
4.已知是等差数列的前项和,则“对恒成立”是“数列为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.设等差数列的前n项和为，若，，则
A.27B.39C.45D.63
6.已知等差数列中，，则此数列前项和等于
A. B. C. D.
【巩固练习——基础篇】
1.在等差数列中，，，则_________.
2.等差数列中，若，为的前项和，则
3.已知为等差数列，为其前项和若，，则____________；=_________
4.在公差不为零的等差数列中，，且依次成等比数列，那么数列的前项和等于 .
5.设等差数列的前n项和为，若，则
A.B.C.42D.
6.设等差数列的前n项和为，若，，则
A.27B.39C.45D.63
【巩固练习——提高篇】
1. 若数列为等差数列，且，则
A.1B.2C.3D.4
2. 等差数列的前n项和为，若，则的值是
A.130B.65C.70D.75
3. 已知等差数列{}中，≠0，且，前项的和，则等于_______
4在等差数列中, ,则数列的前4项的和为.
5.已知数列为等差数列,为其前项的和,若,则.
6.等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为
A. B. C. D.
公差
数列的增减性
举例
数列的递增数列
数列的常数列
数列的递减数列
方法
步骤
结论
定义法
数列是等差数列
等差中项法
A．
B．
C．
D．
充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要必要条件
D. 既不充分也不必要条件
A.
B.
C.
D.