高考数学大课堂专题4劣构题题型

专题4  劣构题题型

专题4  劣构题题型

瑞特曼（1965）首次从认知心理学的角度区分了结构良好问题和劣构性问题．前者是初始状态、目标状态和算子都很明确的问题，而后者则是这三者中至少有一个没有明确界定的问题．所谓算子就是解决问题的方法和途径．应该注意的是，劣构性问题并不是这个问题本身有什么错误或是不恰当，而是指它没有明确的结构、要求或解决的途径．

因为劣构性问题属于开放性试题，因此不能仅仅就结论正确与否给与评分，更多时候我们要关注学生做题的过程．我们认为一个正确的作答至少应该体现在两个方面正确，一是知识运用正确；二是逻辑推理的过程和方法正确．假如一个学生的作答在以上两点上都没问题，即使所得结论不正确也可以给予较高的分数．反过来说，如果上面两方面有至少一方面的问题，即使所得结论正确，我们也不能够给他较高的分数．

目标明确，条件开放的劣构性问题

考点讲解：问题的条件即为问题构成要素的初始状态，条件不明确的结构不良试题多以问题的条件缺失和条件冗余两种方式呈现，需要学生结合问题情境补充或者选择合理的条件甚至需要对条件信息进行加工处理才能完成对既定问题的解答．

【例1】（2021年全国新高考II卷）

1．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

【变1】

2．已知函数．

(1)若是的极值点，求a；

(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．

①当时，；②当时，．

注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．

【变2】

3．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(1)确定的解析式；

(2)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.

条件①：的最小值为；

条件②：图象的一个对称中心为；

条件③；的图象经过点.

目标明确、条件不明确的劣构性问题．除了相关基础知识和基本技能的巩固以及在问题解决过程中发展学生的数学运算、逻辑推理、运用数形结合思想解决问题的能力之外，较之于结构良好问题，能够更好的激活学生的知识网络，引导学生在运用已有知识和经验进行解题认知构建的过程中，提升元认知监控能力．学生只有在解题中不断的进行分析、推理、反思、比较和鉴别，才能够形成正确的思路并准确地表达其思维过程．这样的问题解决过程有利于学生合乎逻辑的思维品质和理性精神的形成，对学生批判性思维的培养有一定的意义．

目标和条件均不明确的劣构性问题

考点讲解：问目标和条件均不明确指的是由于条件及问题中所给的信息较多，而且对即将解决的问题没有熟悉的或可供参考的解决方案，需要学生结合具体问题筛选有用的信息拟定问题解决路径，从而实现对问题的解答．此类问题往往由于呈现方式较为新颖而被称作创新题，难度处于中等偏上．

【例1】（2022年新高考全国II卷）

4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【变1】（2021年全国高考甲卷理）

5．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【变2】

6．已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程．

(2)已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．

①；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

条件和目标都需要学生自己选择，这是一种典型的劣构性问题，在解答题目前有初初步的判断，在几种选择中选一种自认为更有把握的去做.

（2021年全国高考乙卷数学文）

7．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

（2021年北京市高考）

8．在中，，．

（1）求；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．

条件①：；

条件②：的周长为；

条件③：的面积为；

（2022年新高考北京高考）

9．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

10．已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：

(1)求的通项公式；

(2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.

11．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为．

(1)求的方程；

(2)若不过点的直线与交于，两点， ①线段的中点的纵坐标为3； ②的重心在直线上；③．请从以上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条件的直线是否存在，若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

（2023贵州省思南县梵净山中学11月月考）

12．已知指数函数经过点.求：

(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；

(2)对于实数，，且，①；②.

在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）

（2023江苏省南通市期中）

13．在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.

(1)若点，求的长；

(2)从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.

①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.

（2022湖南省衡阳市三模）

14．已知函数．

(1)若函数在上单调递增，求实数；

(2)从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．

①当时，，求实数．

②当时，，求实数．

15．已知函数.

(1)若函数，讨论的单调性；

(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.

①若函数，，且，证明：.②若函数，证明：.

16．已知抛物线.

(1)直线与交于、两点，为坐标原点.

从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.

①证明：.

②若，求的值；

(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.

参考答案：

1．(1)答案见解析；(2)证明见解析.

2．(1)

(2)证明见解析.

3．(1).

(2).

4．(1)

(2)见解析

5．证明过程见解析

6．(1)

(2)证明见解析

7．③④（答案不唯一）

8．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

9．(1)见解析

(2)见解析

10．(1)

(2)

11．(1)

(2)见解析

12．(1)

(2)答案见解析

13．(1)

(2)证明见解析

14．(1)

(2)选①，；选②，.

15．(1)答案见解析

(2)证明见解析

16．(1)①证明见解析；②

(2)存在，定值为.