等比数列专题讲义-2023二轮复习

这是一份等比数列专题讲义-2023二轮复习，共19页。
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A. 21B. 63C. 13D. 84
3.在等差数列中,若,则使得数列前项的和取到最大值的
【知识点一：等比数列的定义及其表示】
温馨提示
①公比，这是必然的，也就是不存在的等比数列．我们还可以理解为在等比数列中．不存在数值为的项．
②既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列．常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。如各项均为的数列就不是等比数列．
③“从第项起”，也就是说，等比数列中至少含有三项．
④“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”．
【典型例题】
考点一：等比数列定义及其表示
例1.某班植树小组今年春天计划植树不少于棵,若第一天植树棵,以后每天植树的数
是前一天的倍,则需要的最少天数等于.
例 2. “数列为等比数列”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
练1.已知等比数列中，，则
等于
A.2 B.22 C.4 D .42
练2.在等比数列中，，，则（）
A.B.C.D.
【知识点二：等比数列的通项公式】
1等比数列的通项公式
(1)若一个等比数列的首项为，公比为，则其通项公式为．
知识拓展
①在已知和的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项．
②在已知等比数列中任意两项的前提下．使用以可求等比数列中任意一项．
③用函数的观点看等比数列的通项：
等比数列的通项公式可以改写为.当，且时，因为是指一个指数函数，所以是一个不为的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数的图象上的一群孤立的点．
（2）用方程的观点看通项公式．在中，知三可求一．
2.等比中项
如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项．且，即.
温馨提示
（1）同号非零两数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数．
（2）一个等比数列从第项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项．
【典型例题】
考点一：等比数列通项公式
例1.若是等比数列,且公比,,则.
例2.成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为
A.B.C.D.
练1.已知数列是各项均为正数的等比数列，若，
，则an等于（）
A.B.C.D.
练2.已知是等比数列()的前项和，若，
公比，则数列的通项公式______
练3.已知数列是等差数列，公差，，，，成等比数列，则数列的公差等于______。
考点二：等比中项
例1已知,,成等比数列,且,则.
练1.若数列满足：，，则与的等比中项为
A． B． C． D．
练2.在公差为d(d≠0)的等差数列an中，a1=-1,且a2，a4，a12成等比数列，则d=.
练3.设等比数列的前项和为．若，，成等差数列，则数列的公比为．
【知识点三：求解等比数列前项和】
1. 等比数列的求和公式
已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，则有
或
2. 等比数列前项和公式与函数的关系
当公比时，等比数列的前项和可变形为.设,上式可化简为.由此可见，非常数列的等比数列的前项和是一个指数型函数．
当公比时，因为，所以是的正比例函数．
温馨提示
当时，是函数的图象上一群孤立的点的纵坐标；当时，是正比例函数 图象上一群孤立的点的纵坐标．当等比数列的公比不是一个常数，而是一个字母或一个代数式时．要讨论公比是否等于1．
考点一：等比数列前项和
例1.已知数列满足，（，则的前项和为_______.
练1.已知为等比数列，，，那么的公比为______，数列的前项和为______．
练2. 若等比数列满足,,则公比;前项和___.
练3．设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中的数值不能确定的是
A．B．C．D．
例2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为
A．里B．里C．里D．里
练1.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格.现有纸各一张.若纸的幅宽为，则纸的面积为______，这张纸的面积之和等于______.．
【知识点四：等比数列性质及应用】
等比数列常用性质：
1.若为等比数列，且时，则
若时，则
2.若为等比数列，则为等比数列.
3.若等比数列共有项，则；
若等比数列共有项，则.
4.等差数列单调性由共同决定.
考点一：等比数列综合性质
例1.已知等比数列的各项均为正数，且，则
A．B．C．D．
练1．设等比数列满足 QUOTE an ，则的最大值为_____．
练2.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式 ；设数列的前项和为，则 ．
练3.设为等比数列的前项之积，且，则公比______；当最大时,______
例2. 设等比数列的公比,前n项和为,则.
例3.已知是各项均为正数的等比数列,成等差数列，则
A．B．C．或D．或
练1.已知等比数列的前项和为,则下列结论中一定成立的
A．若,则B．若,则
C．若,则D．若,则
例4.已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
练1.已知为等比数列,则“”是“数列为递减数列”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
练2.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为_________
例5．设无穷等比数列的前项和为，若，则
A．为递减数列B．为递增数列
C．数列有最大项D．数列有最小项
练1．记为等比数列的前n项和．已知，，则数列
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【小试牛刀】
1.若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）．
A. 21B. 63C. 13D. 84
2. 已知等比数列为递增数列,是其前项和.若,,则
A．B．C．D．
3. 成等差数列的三个正数和等于,并且这三个数分别加上后成为等比数列中的,则数列的通项公式为
A．B．C．D．
4.设为等比数列,则“对于任意的,”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知数列的前项和，则
6.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则= ；数列的前项和的最小值为 ．
【巩固练习——基础篇】
1. 已知为无穷等比数列,且公比,记为的前项和,则下面结论正确的是
A．B．
C．是递增数列 D．存在最小值
2. 已知等比数列中,,则
A．B．C．D．
3. 在等比数列中,且,则.
4. 等比数列满足如下条件:①;②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式
5.已知为无穷等比数列,且公比,记为的前项和,则下面结论正确的是
A．B．
C．是递增数列 D．存在最小值
6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于
A.B.C.D.
7.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 __________．
8.已知数列{an}为等比数列，且an＞0，数列{bn}满足bn＝．若b1＝4，b2＝3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn+m}前n项和为Sn，若当且仅当n＝5时，Sn取得最大值，求实数m的取值范围．
【巩固练习——提高篇】
1.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是
A.是等比数 B.对于，，
C.对于，都有 D.若，则对于任意，都有
2.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
3. 设是定义在上不为零的函数，对任意，都，若，则数列的前项和是 .

4.已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中 都是大于的正整数，且，那么 ；若对于任意的，总存在，使得成立，则 ．
5.设数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
文字语言
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示
符号语言
在数列中，如果
成立，则称数列
为等比数列，常数称为等比数列的公比
递推关系
或
A．3
B．
C．
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件