二项式定理专题 - 2023讲义-二轮复习

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成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.求下列各指定项的二项式系数和系数：
（1）的展开式的第6项；
（2）的展开式中含的项.
2.填空：展开式的第4项是_______；第4项的二项式系数是_________；第4项的系数是_______.
【知识点一：二项式定理】
①二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
②二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
③二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
几点注意
通项是的展开式的第项，这里．
二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤ 设，则得公式：．
⑥通项是中含有
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
【典型例题】
考点一： 求展开式和展开式的指定项
例1.的展开式中的系数等于（ ）
A．80B．12C．20D．10
例2.的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A．第4项Ｂ．第4、5项Ｃ．第5项Ｄ.第3、4项
例3.求下列各指定项的二项式系数和系数：
（1）的展开式的第6项；
（2）的展开式中含的项.
练1.填空：展开式的第4项是_______；第4项的二项式系数是_________；第4项的系数是_______.
练2.在的二项展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
练3.求的展开式的第4项的二项式系数和系数.

【知识点二：二项式系数的性质】
⑴杨辉三角形：套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
【典型例题】
考点一： 求二项式中系数最大的项
求的展开式中二项式系数最大的项.
例2.（1）当为偶数时，展开式中，二项式系数最大项是第_________项；
当为奇数时，展开式中，二项式系数最大项是第_________项.
（2）在的展开式中，二项式系数最大项为___________.
例3.已知的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项.
例4.已知展开式的二项式系数之和比展开式的二项式系数之和小，求：
（1）展开式的第项；
（2）展开式中的系数最大项.
例5.已知.若数列
是一个单调递增数列，则的最大值是
例6.若展开式中只有第四项的系数最大，则=，展开式中的第五项为.
练1．的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项
练2．已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【知识点三：赋值法求某些项的系数】
二项式定理
设，则得公式：
二项式系数之和是2n，系数之和令x=1.
【典型例题】
例1．填空：
1、多项式的展开式的各项系数和为_____;
2、设，则______.
例2．设，则
（1）；
（2）__________；
（3）______________.
例3. ，则
A．8B．－8C．16D．－16
练1．若，
其中，则实数的值为的值为
【小试牛刀】
1.在的展开式中，常数项是.（用数字作答）
2.在的展开式中，常数项为.（用数字作答）
3.在的展开式中，常数项为.（用数字作答）
4.的展开式中的常数项为________．
5.在的展开式中，常数项是
【巩固练习——基础篇】
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3B．(x－2)3
C．x3 D．(x＋1)3
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))7 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7)
C．7 D．－7
3.在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）
4．使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1)) 5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
6．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中eq \f(1,x2)的系数为________．
7.在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
8.在的展开式中，的系数为
9在的展开式中,的系数为___________.
【巩固练习——提高篇】
1．若Ceq \\al(1,n)x＋Ceq \\al(2,n)x2＋…＋Ceq \\al(n,n)xn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
2．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19B．19
C．20D．－20
3．对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．
4．求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式的常数项.
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）