北师大版八年级下册1 因式分解习题

第四章　因 式 分 解

1　因 式 分 解

(打“√”或“×”)

1.把一个多项式分解成几个代数式乘积的形式是因式分解. (×)

2.因式分解和整式乘法是互逆运算. (√)

3.因式分解分解的是整式. (×)

4.因式分解中的常数可以是无理数. (×)

·知识点1　因式分解的概念

1.(2021·宁德霞浦县期末)下列从左到右的变形属于因式分解的是 (B)

A.a(x+y)=ax+ay   B.x2-1=(x+1)(x-1)

C.(x+y)(x-y)=x2-y2  D.x2+2x+1=x(x+2)+1

2.下列变形属于因式分解的是 (C)

A.x2+2x+1=x(x+2)+1  B.(x+1)(x-1)=x2-1

C.x2+4x=x(x+4)   D.a(x-y)=ax-ay

3.(2021·宁德期末)下列由左边到右边的变形,是因式分解的有　②③　.(填序号) 

①a(x+y)=ax+ay;　　　 ②10x2-5x=5x(2x-1);

③y2-4y+4=(y-2)2;   ④t2-16+3t=(t-4)(t+4)+3t.

·知识点2　因式分解和整式乘法的关系

4.下列四个多项式,可能是2x2+mx-3(m是整数)的因式的是 (B)

A.x-2　　　　　　　　 B.2x+3　　　　　　　　

C.x+4　　　　　　　　 D.2x2-1

5.已知x-5是多项式2x2+8x+a的一个因式,则a可为 (D)

A.65 B.-65 C.90 D.-90

6.若x2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b),则a= 　,b= 　. 

7.已知关于x的二次式x2+mx+n,当m=　5　,n=　6　时(写出一组满足条件的整数值即可),它在有理数范围内能够进行因式分解. 

8.关于x的多项式x2-4x+m,如果x+5是多项式的一个因式,求m的值及多项式的另一个因式.

【解析】设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+5)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+5)x+5n

∴

解得:

∴另一个因式为(x-9),m的值为-45.

·知识点3　整除问题

9.(2021·漳州质检)关于x的二次三项式2x2+7x+m能被x+3整除,则m的值为

　3　. 

1.(2021·漳州期末)下列各式从左边到右边的变形中,属于因式分解的是 (C)

A.a(x+y)=ax+ay  B.10x-5=5x(2-)

C.y2-4y+4=(y-2)2  D.t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t

2.下列各式分解因式结果是(a-2)(b+3)的是 (B)

A.-6+2b-3a+ab B.-6-2b+3a+ab C.ab-3b+2a-6  D.ab-2a+3b-6

3.(2021·宁德期末)多项式x2+mx+6因式分解得(x-2)(x+n),则m=　-5　. 

4.若多项式x2-x+m在有理数范围内能分解因式,把你发现字母m的取值规律用含字母n(n为正整数)的式子表示为　m=-n(n+1)　. 

5.(2021·龙岩连城县期末)先阅读下面的内容,再解决问题.

如果一个整式A等于整式B与整式C之积,则称整式B和整式C为整式A的因式.

如:①∵36=4×9,∴4和9是36的因数;

∵x2-x-2=(x+1)(x-2),∴x+1和x-2是x2-x-2的因式.

②若x+1是x2+ax-2的因式,则求常数a的值的过程如下:

解:∵x+1是x2+ax-2的因式,

∴存在一个整式(mx+n),使得x2+ax-2=(x+1)(mx+n),

∵当x=-1时,(x+1)(mx+n)=0,

∴当x=-1时,x2+ax-2=0,

∴1-a-2=0,

∴a=-1.

(1)若x+5是整式x2+mx-10的一个因式,则m=　　　　. 

(2)若整式x2-1是3x4-ax2+bx+1的因式,求的值.

【解析】(1)∵x+5是整式x2+mx-10的一个因式,

∴存在一个整式(mx+n),使得x2+mx-10=(x+5)(mx+n),

∵当x=-5时,(x+5)(mx+n)=0,∴当x=-5时,x2+mx-10=0,

∴25-5m-10=0,∴m=3;

答案:3

(2)∵整式x2-1是3x4-ax2+bx+1的因式,

∴存在一个整式(3x2+mx-1),使得3x4-ax2+bx+1=(x2-1)(3x2+mx-1),

∴当x=1时,(x2-1)(3x2+mx-1)=0,即3x4-ax2+bx+1=0,

则3-a+b+1=0①,

当x=-1时,(x2-1)(3x2+mx-1)=0,即3x4-ax2+bx+1=0,

则3-a-b+1=0②,

联立①②解得a=4,b=0.∴==2.

易错点:因式分解概念不清

(2021·莆田期末)下列等式从左到右的变形是因式分解的是 (D)

A.(x+2)(x+3)=x2+5x+6 B.ax-ay+1=a(x-y)+1

C.8a2b3=2a2·4b3 D.x2-4=(x+2)(x-2)

第四章　因 式 分 解

1　因 式 分解

必备知识·基础练

【易错诊断】

1.×　2.√　3.×　4.×

【对点达标】

1.B　A.从左到右的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;

B.从左到右的变形属于因式分解,故本选项符合题意;

C.从左到右的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;

D.从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意.

2.C　A.x2+2x+1=x(x+2)+1,右边不是几个整式的积的形式,故此选项不符合题意;

B.(x+1)(x-1)=x2-1,从左边到右边的变形属于整式的乘法,故此选项不符合题意;

C.x2+4x=x(x+4)是因式分解,故此选项符合题意;

D.a(x-y)=ax-ay,从左边到右边的变形属于整式的乘法,故此选项不符合题意.

3.【解析】①a(x+y)=ax+ay,等式从左边到右边的变形属于整式乘法,不属于因式分解,

②10x2-5x=5x(2x-1),等式从左边到右边的变形属于因式分解,

③y2-4y+4=(y-2)2,等式从左边到右边的变形属于因式分解,

④t2-16+3t=(t-4)(t+4)+3t,等式从左边到右边的变形不属于因式分解,

即等式从左边到右边的变形,属于因式分解的有②③.

答案:②③

4.B　2x2+mx-3(m是整数)的因式是2x+3.

5.D　设多项式的另一个因式为2x+b.

则(x-5)(2x+b)=2x2+(b-10)x-5b=2x2+8x+a.

所以b-10=8,解得b=18.

所以a=-5b=-5×18=-90.

6.【解析】∵x2-ax-1=(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b,

∴-2b=-1,b-2=-a,

∴b=,a=.

答案:　

7.【解析】由x2+5x+6=(x+2)(x+3),得

已知关于x的二次式x2+mx+n,当m=5,n=6时,它在有理数范围内能够进行因式分解.

答案:5　6

8.解析见正文

9.【解析】根据题意设2x2+7x+m=(x+3)(2x+a)=2x2+(a+6)x+3a,

∴a+6=7,m=3a,

解得:a=1,m=3,则m的值为3.

答案:3

关键能力·综合练

1.C　A.是整式乘法,不是因式分解,故此选项不符合题意;

B.右边不是整式积的形式(含有分式),不是因式分解,故此选项不符合题意;

C.符合因式分解的定义,是因式分解,故此选项符合题意;

D.右边不是整式积的形式,不是因式分解,故此选项不符合题意.

2.B　(a-2)(b+3)=-6-2b+3a+ab.

3.【解析】x2+mx+6因式分解得(x-2)(x+n),得

x2+mx+6=(x-2)(x+n),(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,

x2+mx+6=x2+(n-2)x-2n,

-2n=6,m=n-2.

解得n=-3,m=-5.

答案:-5

4.【解析】根据整式乘法计算公式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq在此题中p+q=-1,

则q=-1-p,

∴pq=p(-1-p)=-p(p+1)

∴把字母m的取值规律用含字母n(n为正整数)的式子表示为m=-n(n+1).

答案:m=-n(n+1)

5.解析见正文

【易错必究】

　D　A.(x+2)(x+3)=x2+5x+6是整式乘法,故A错误;

B.ax-ay+1=a(x-y)+1,不是整式积的形式,故B错误;

C.8a2b3=2a2·4b3不是转化多项式,故C错误;

D.x2-4=(x+2)(x-2)是因式分解,故D正确.