2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差（    ）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

【答案】D

【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可.

【详解】，，成等差数列，且，

，

，

解得．

故选：D．

2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（     ）

A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直

【答案】B

【详解】因为，，，，所以,,可得，所以，线与的位置关系是平行，故选B．

3．已知直线与平行，则实数a的值为

A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1

【答案】D

【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.

【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．

经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．

∴a=-1．

故选D

【点睛】对于直线

若直线

4．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果．

【详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，

．

由题意知，，，关于轴成对称分布，

．

又，

故所求的值为．

故选：D．

5．若异面直线l1，l2的方向向量分别是，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.

【详解】因为，所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.

6．在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出.

【详解】设等比数列的公比为，

∵，∴，∵，∴.

∵，∴，∴.

故选：B.

7．已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案

【详解】∵数列 满足，

时， 时， ，可得 .

，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .

.

∵对任意 都有，则 的取值范围为

故选：D.

【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题

8．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，

        故离心率e＝选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

9．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C．是平面ABCD的法向量 D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，所以，故B正确；

由A，B知，C正确；

与不平行，故D错误．

故选：D.

二、多选题

10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

【答案】ABD

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】圆心到直线l的距离，

若点在圆C上，则，所以，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．与之间的距离为4

【答案】ABC

【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；

点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；

根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；

由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．

【详解】如图所示，

由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；

由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，

，即选项B正确；

由抛物线的定义可知，，即选项C正确；

与平行，

与之间的距离，即选项D错误；

故选：ABC

【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．

12．素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．

该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（    ）A．第4行第9列的数为80；              B．第6行的数公差为13；

C．592不会出现在此数阵中； D．第10列中前10行的数之和为1255．

【答案】BD

【分析】依次判断选项正误即可.

【详解】对于A，第四行是以为首项，公差为9的等差数列，则第九列数为：

，故A错误；

对于B，由题第六行为等差数列，又，故B正确；

对于C，若592不在数阵中，则一定是素数，但为合数，故C错误.

对于D，由题可得第10列第1行为，第10列第2行，

则第10列为以为首项，公差为的等差数列，则第10列中前10行的数之和为

，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______．

【答案】

【分析】求出直线的倾斜角，进而可得出所求直线的方程.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，

所以所求直线的倾斜角为，又过点，

所以所求直线的方程为．

故答案为：

14．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.

【答案】6

【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值.

【详解】由已知得，，

令n=5，则，，

所以，

故答案为：6.

15．在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为________．

【答案】

【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解.

【详解】∵在长方体 中,,，

点为的中点，

以为原点，建立空间直角坐标系，如图：

∴, ,,，

即，，

设平面的法向量，

则，即，

令，则，所以

∴点 到平面的距离：

故答案为：

四、双空题

16．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．

【答案】          2

【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.

【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法

由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为

双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，

故答案为：；．

［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率

设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）．

所以．因此双曲线的离心率．

由与联立解得．

因为是正三角形，所以，因此，可得．

将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）．

所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2．

故答案为：；．

［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形

 由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为．

设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，．

由正弦定理得．

于是．

即椭圆的离心率．

故答案为：；．

【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；

方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；

方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．

五、解答题

17．已知等比数列的前项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；

（2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】（1）解：设的公比为，

因为，，则，

又因为，解得，

所以的通项公式为.

（2）解：由，可得，

则，

所以.

18．如图，在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先证明和，再利用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）以为轴､轴､z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）为的中点，.

为的中点，.

平面，平面，

平面.

（2），为的中点，，

.

又平面，

平面.

分别以为轴､轴､z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以,,,,,

所以.

记为平面的法向量，

则，即，不妨令，则

而平面的法向量，

易知二面角的平面角为锐角记为，则.

19．某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示．

(1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离；

(2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？

【答案】(1)，

(2)有触礁的危险

【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断.

【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向

，

由两点间的距离公式知．

（2）设过三点的圆的方程为．

将代入上式，得

，解得．

圆的方程为，

则该圆的圆心为，半径．

设船起初所在的点为，则，

又该船航线所在直线的斜率为1，

该船航线所在的直线方程为．

圆心到此直线的距离．

若不改变方向，该船有触礁的危险．．

20．已知数列满足，且.

(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；

(2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)证明见解析，

(2)答案见解析

【分析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；

（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；

若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可；

若选③：根据裂项相消法进行求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，又，于是，

所以是以4为首项2为公比的等比数列.

所以，两边除以得，.

又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.

所以，即.

（2）若选①：，即.

因为，

所以.

两式相减得，

，

所以.

若选②：，即.

所以

若选③：，即.

所以

21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．

（1）求MN的长；

（2）a为何值时，MN的长最小？

（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3）

【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．

（1）直接由两点间的距离公式可得；

（2）把（1）中求得利用配方法求最值；

（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解．

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，

，， ， ，

，， ．

（1）；

（2），

当时，最小，最小值为；

（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，

则，0，，，，，取的中点，连接，，

则，，，

，，，，

是平面与平面的夹角或其补角．

，，

．

平面与平面夹角的余弦值是．

22．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；

（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）8；（3）存在且

【详解】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；

（2）设直线的斜率，显然，

联立得，求出，，可证；

（3）设直线方程，

联立，（*），

∵，方程总有两个解，

设，得到，

根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线．

详解：

（1）双曲线；

（2）设直线的斜率，显然，

联立得，

，

，

；

（3）设直线方程，

联立，（*），

∵，方程总有两个解，

设，

，

根据得，

整理得，

∵，

∴符合题目要求，存在直线．

点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.