2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．如果且，那么直线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.

【详解】，，，，，故，.

故直线不经过第四象限.

故选：D

2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点代入圆的方程即可求解.

【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.

故选：A

【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.

3．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】由和的分母异号可得．

【详解】由题意，解得．

故选：B.

4．抛物线的焦点到圆C：上点的距离的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【分析】确定焦点为，确定圆心为，半径，焦点到圆心的距离减去半径即最小距离.

【详解】抛物线的焦点坐标为，圆C：，圆心为，半径.

焦点到圆心的距离为，则焦点到圆上点的最小值为.

故选：C

5．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别求出，即可得到答案.

【详解】直线经过定点.

因为，所以,

所以要使直线与线段没有公共点，

只需：，即.

所以的取值范围是.

故选：A

6．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.

【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，

设，则由己知得，由抛物线的定义得，

故，

在直角三角形中，，，

又因为，

则，从而得，

又因为，

所以.

故选：B.

7．设集合，集合，当时，则r的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.

【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，

集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，

如下图所示，

当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，

当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，

当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，

所以当时，则r的取值范围为或，

故选：C

.

8．已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】设出，求出点轨迹为圆，圆心为，半径为，得到点到轴的距离最大值为，根据的面积最大值求出，从而求出，求出，结合点到轴的距离最小值，求出面积的最小值.

【详解】设，不妨令，，

故，整理得：，

点轨迹为圆，圆心为，半径为，

由题意得：，

则点到轴的距离最大值为，

所以，解得：，

故，

则，

则点到轴的距离最小值为，

故面积的最小值为.

故选：A

二、多选题

9．已知，O为坐标原点，点是圆外一点，过点P作直线，直线m的方程是，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．m与圆相离 D．m与圆相交

【答案】ABD

【分析】根据垂直关系得到，得到AB正确，再计算圆心到直线的距离与半径的大小关系，得到C错误D正确，得到答案.

【详解】，，故，直线m的方程是，故 ，

两直线不重合，故，，AB正确；

圆心到直线的距离为，直线与圆相交，C错误D正确.

故选：ABD.

10．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1

C．圆：与圆：恰有一条公切线，则

D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点

【答案】ABC

【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．

【详解】由，得，

联立，解得，

直线恒过定点，故A正确；

圆心到直线的距离等于1，

直线与圆相交，而圆的半径为2，

故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，

因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；

两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式，圆心，半径为1，

曲线化为标准式，圆心，半径为，

∴圆心距为，解得，故C正确；

设点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，

两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，

令，，解得，，故直线经过定点，故D错误．

故选：ABC.

11．已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点）射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则MB平分

C．若，则

D．若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线

【答案】ABD

【分析】当，计算坐标，得到，通过线段长度关系得到，得到AB正确，时，计算计算坐标得到，C错误，计算的坐标得到D正确，得到答案.

【详解】根据抛物线性质，直线过抛物线焦点.

若，则抛物线，，的焦点为，

直线的方程为，可得，，因为，

所以，又，所以平分，故AB正确；

若，则抛物线，，的焦点为，

故直线的方程为，由得 或 ，

故，得， 故选项 C 中说法不正确；

若则抛物线，，则直线的方程为，

令，得，故，由选项的分析可知，所以点共线，故选项D中说法正确.

故选：ABD.

12．嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.

【详解】，，即，故A正确；

∵，∴，，

，，∴，故B错误；C错误

由B可知，，则，故D正确；

故选：AD.

三、填空题

13．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线方程________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据直线平移规则得到，一条与l垂直的直线方程为，代入化简即可.

【详解】设直线方程为：，变换后：，

即，故.

一条与l垂直的直线方程为：，即.

故答案为：.

14．设双曲线C：的左，右焦点分别为，，过左焦点且斜率为的直线l与C在第一象限交于点P，若，则双曲线C的离心率为________．

【答案】

【分析】首先利用双曲线的定义表示的三边，再根据斜率表示，并用余弦定理表示，即可求得双曲线的离心率.

【详解】由条件可知，，根据双曲线的定义可知，，并且,所以，,

即，，

则双曲线的离心率

故答案为：

15．已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_______．

【答案】

【分析】根据的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．

【详解】∵的面积为，

∴，

∴，

由已知得，即，

所以，

所以，

又，

所以，

由，解得，进而，

∴，

又，

∴，

∴.

即的取值范围为.

故答案为：

四、双空题

16．已知双曲线C：过点，则其方程为________，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是________．

【答案】         

【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围

【详解】①有双曲线C：过点，所以

所以方程为

②如图：

设的内切圆与分别切于，

所以，

所以，

又，所以，

又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，

设直线的倾斜角为.则，，

，

当时，，

当时，由题知，...

因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，

∴.且，，

综上所述，.

故①答案为：;

【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出，的内切圆与轴同时切于双曲线的右顶点,并将用直线的倾斜角表示出来是解题关键.

五、解答题

17．菱形的顶点、的坐标分别为、，边所在直线过点．

(1)求边所在直线的方程；

(2)求对角线所在直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可得出，则，求出边所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；

（2）求出线段的垂直平分线方程，即为对角线所在直线的方程．

【详解】（1）解：由菱形的性质可知，则，

所以，边所在直线的方程为，即.

（2）解：线段的中点为，，

由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，

因此，对角线所在直线的方程为，即.

18．已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解;

（2）根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解.

【详解】（1）∵双曲线E：的焦点坐标为，

又抛物线（）的焦点，

∴，即.

∴抛物线C的方程为.

（2）设，，由抛物线定义，

知，

∴，于是线段的中点M的横坐标是1，

又准线方程是，

∴点M到准线的距离等于.

19．已知圆C的圆心坐标为，与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．

【答案】(1);

(2)证明见解析，定点为.

【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；

（2）直线n斜率不存在时，不存在；直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，求出直线的方程为即得解.

【详解】（1）设圆的标准为，y轴截圆C所得弦长为8，

即，

故圆的标准方程为．

（2）证明：令，可得，，又点在正半轴，故，

当直线n斜率不存在时，设，，

直线，的斜率之积为2，

，即，

点在圆上，

，

联立，，舍去，

当直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，

①

联立方程，

，，

代入①，得，

化简得或，

若，则直线过，与题设矛盾， 舍.

直线n的方程为：，所以且

所以.

所以过定点．

20．已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是．

(1)求a的值；

(2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在理由见详解.

【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可.

【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即

所以

（2）若，由（1）得，所以

设存在点满足题意，则：

点到的距离是点到的距离的2倍有

即   ①

点到的距离与点到的距离之比是

       ②

             ③

联立①②③解的：

故存在满足上述三个条件的点

21．在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E．

(1)求轨迹E的方程；

(2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

【答案】(1);

(2)或.

【分析】（1）由圆的内切，外切位置关系可得，，即，由椭圆的定义，分析即得解；

（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理求解弦中点坐标，用斜率表示直线的垂直关系可得，代入，求解即可.

【详解】（1）由题意，圆的标准方程为：，圆心，

圆的标准方程为，圆心，

不妨设动圆P的半径为，

动圆P和圆内切，故；动圆P和圆外切，故，

即，又，

故动圆P的圆心轨迹是以为焦点的椭圆，，

即轨迹E的方程是：.

（2）由题意，联立直线与椭圆：

，可得，

不妨设，则，

即，

，

线段MN的中点横坐标，纵坐标，

线段MN的垂直平分线过定点，故，

即，代入可得，

，即

即，解得或.

22．动点与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设过点的直线l与曲线C交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q、使得为定值?若存在，求出Q点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)在x轴上存在点、使得为定值.

【分析】（1）根据题意，列出方程，整理后得到曲线C的方程；

（2）假设存在点，先考虑直线l的斜率不为0时，设直线，与曲线C的方程联立后，得到两根之和，两根之积，表达出，从而当时，得到，再考虑直线l的斜率为0时，也满足，从而得到结论.

【详解】（1）由题意得：，

化简得：；

（2）假设存在点，使得为定值，

当直线l的斜率不为0时，设直线，

联立得：，

所以，且，得且，

设，则，

所以，

，

则

，

由为定值，得，

解得：，此时，

当直线的斜率为0时，此时不妨设，

故，

综上：在x轴上存在点、使得为定值.

【点睛】圆锥曲线定点定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于直线l过点，故用含的式子来表达，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两种情况.