2022-2023学年河北省沧州市高二上学期期末数学试题 解析版

沧州市2022—2023学年第一学期期末教学质量监测

高二数学

班级__________姓名__________

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．

2．回答选择题吋，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则（）

A． B． C． D．

2．已知数列是等差数列，是其前n项和，，，则（）

A．160 B．170 C．180 D．190

3．抛物线的焦点为F，点P（非原点）在抛物线上，且横坐标是纵坐标的倍，则（）

A． B．8 C．9 D．

4．若A为圆上的动点，B为圆上的动点，则的最大值是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．在公比不为1的等比数列中，对任意，，，成等差数列，，则数列的前n项和（）

A． B． C． D．

6．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率（）

A． B． C． D．

7．直线与曲线交于A，B两点，若，则t的值有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．在长方体中，，则平面截长方体的外接球所得截面圆的面积为（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）

A．  B．数列是等比数列且公比

C．数列是等差数列 D．数列是等差数列

10．在正四面体ABCD中，E，F是BC，AD的中点，平面ADE的法向量为，则下列结论正确的是（）

A． B．

C．是平面BCF的法向量 D．

11．已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）

A．四边形的周长为16 B．的最小值为

C．面积的最大值为 D．

12．圆锥曲线的“外准圆”也叫“蒙日圆”，它是由法国数学家加斯帕尔·蒙日发现的．它说的是：圆锥曲线上任意两条互相垂直的切线的交点在同一个圆上，这个圆就叫外准圆．其中圆锥曲线的中心就是外准圆的圆心，而直线在高等数学中也称为半径为无穷大的圆．双曲线只有当时才有外准圆，则下列结论正确的是（）

A．面积为S的圆的外准圆的面积是

B．椭圆的外准圆方程为

C．抛物线的外准圆是

D．双曲线的外准圆方程为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其焦距为__________．

14．已知，圆C的圆心为，过点A到圆C的切线长是半径的2倍，则圆C截直线所得的弦长为__________．

15．在所有棱长均相等的斜三棱柱，，M是的中点，则异面直线BM与所成角的余弦值为__________．

16．在等差数列中，，，为数列的前n项和，，则的最小值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知的顶点O（0，0），OA边上的中线所在直线方程为，OB边上的高线为．

（1）求点A坐标；

（2）求的外接圆方程．

18．（本小题满分12分）

已知等差数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，证明：．

19．（本小题满分12分）

已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线与曲线C交于M，N两点，O为原点，求面积的最大值．

20．（本小题满分12分）

已知数列满足，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和．

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形ABCD是梯形，，，，，E是AD的中点，．

（1）证明：平面ABCD；

（2）求平面APB与平面PBC的夹角的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知圆，，过点N的直线l与圆M交于A，B两点，过点N作MA的平行线交直线MB于点P．

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）若直线NP（不与x轴垂直）与轨迹E交于另一点Q，Q关于x轴的对称点为H，求证：直线PH过定点．

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高二数学参考答案

1．A解析：由已知，∴，解得，故选A．

［命题意图］考查直线的方向向量、平面的法向量的定义以及用向量研究直线与平面的平行垂直问题，数学素养方面主要考查数学运算与知识的迁移．

2．B解析：，，∴，又，，∴，故选B．

［命题意图］考查等差数列及其前n项和的运算，数学素养方面主要考查基本技能与基本方法．

3．C解析：由已知，代入中，得，，∴，故选C．

［命题意图］考查抛物线的定义与性质的灵活应用，数学思想方法主要考查方程思想．

4．D解析：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，∴．又A为圆上的动点，B为圆上的动点，∴的最大值是，故选D．

［命题意图］考查直线与圆的位置关系，数学素养方面考查动静转化和方程思想．

5．B解析：由已知得，即，消去，解得，∴，故选B．

［命题意图］考查等差中项、等比数列的性质与前n项和的计算与应用，数学素养方面主要考查综合能力与运算能力．

6．B解析：双曲线上的点满足，点P到两条渐近线的距离之积为，∴，，故选B．

［命题意图］考查双曲线的性质中的点在曲线上、渐近线、离心率、点到直线距离公式等知识，数学素养方面考查灵活变形和数学运算．

7．C解析：曲线的图象如下图，直线l恒过点，图中，故t的值有3个，故选C．

［命题意图］考查圆及其性质、圆方程的变形、直线过定点等，数学思想方法主要考查数形结合思想和分类讨论思想．

8．C解析：以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则外接球球心O为体对角线的中点，，，，，可求得平面的法向量为，，则点O到平面的距离，又长方体外接球半径，设截面圆半径为r，所以，，故选C．

［命题意图］考查长方体的外接球直径与体对角线的关系、空间向量中点到平面的距离以及截面圆的问题，数学素养方面考查空间想象能力以及综合能力等．

9．ABC解析：，A正确；当时，，∴，也符合，B正确；根据等差数列的定义可知C正确，D不正确．故选ABC．

［命题意图］考查等比数列的通项公式、前n项和、等差数列的定义、由前n项和求通项以及对数运算等，数学素养方面主要考查分析能力与辩证思维．

10．ACD解析：，，A正确；B显然不正确；∵，，∴平面BCF，C正确；同理平面ADE，D正确．故选ACD．

［命题意图］考查用向量证明平行与垂直问题，如何判定平面的法向量问题以及向量与普通方法结合使用的问题，数学思想方法考查数形结合思想和辩证统一思想．

11．BCD解析：对于A，连接，，AF，BF，则四边形为平行四边形，∴，∴四边形的周长为8，A错误；，当且仅当时，等号成立，B正确；∵A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，∴设直线AB的方程为，由得，∴，∴的面积，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，设，，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，又点P和点A在椭圆C上，①，②，①②得，易知，则，得，∴，∴，D正确．故选BCD．

［命题意图］考查椭圆的定义、直线与椭圆位置关系及与基本不等式结合求最值，数学素养方面主要考查灵活变形和数学运算．

12．BCD解析：对于A，圆的两条互相垂直的切线交点到圆心的距离为，外准圆的面积为2S，A不正确；对于B，过椭圆的长轴与短轴的端点作切线是垂直的，其交点到原点的距离为，显然B正确；抛物线两条互相垂直的切线交点在准线上，故C正确；双曲线是关于y轴对称的，∴过y轴上一点作双曲线的两条互相垂直的切线，其斜率为，设切线方程为，代入双曲线方程使，解得，故D正确．故选BCD．

［命题意图］考查数学文化、新定义的使用、圆锥曲线与圆的关系、直线与曲线的位置关系中的相切等，数学思想方法主要考查无穷思想、特值思想．

13．6解析：由题意得，所以，，，故焦距．

［命题意图］考查椭圆的方程及几何性质，数学素养方面主要考查运算能力和推理能力等．

14．解析：，设半径为R，，解得，圆心到直线的距离，所以弦长为．

［命题意图］考查圆的方程、圆的切线以及直线与圆的位置关系的应用，数学素养方面主要考查综合能力与运算能力．

15．解析：如图，设棱长为2，则，不难发现四边形是矩形，∴．，∴．

［命题意图］考查空间向量的数量积、模、夹角以及立体几何中的垂直问题，数学素养方面主要考查数形结合思想、运算思想、抽象推理等．

16．解析：由已知得∴．当时，．当时，．当时，，当时，．当时，，设．∵在上单调递减，上单调递增．又，∴当时，只需比较和，，．∵，∴．

［命题意图］考查数列的绝对值求和及单调性比较大小，数学素养方面主要考查逻辑推理、数学运算．

17．解：（1）设，则OA的中点在直线上，∴．（2分）

点A在直线上，故，．∴点A的坐标为（4，1）．（5分）

（2）由题得直线OB的斜率为，方程为，则，（7分）

设圆的方程为，代入O，A，B三点得

解得，，，

∴△OAB的外接圆方程为．（10分）

［命题意图］考查直线方程的点斜式、高线及中线的定义，综合坐标关系求解点的坐标及外接圆方程，数学素养方面主要考查知识的迁移．

18．解：（1）设数列的公差为d，∴，，

则，（3分）

∴，，解得，，

∴数列的通项公式为．（6分）

（2）∵，（8分）

∴．（12分）

［命题意图］考查等差数列通项公式的灵活应用以及裂项相消等知识，数学思想方法主要考查方程思想、恒等思想、化归思想等．

19．解：（1）由已知，且，（2分）

∴，，

∴椭圆C的标准方程为．（4分）

（2）设，，将代入曲线C中，整理得，

其中，即，

∴，，（6分）

∴，（8分）

点O到直线MN的距离，

∴，（10分）

当且仅当，即时，等号成立．（11分）

∴△OMN面积的最大值为．（12分）

［命题意图］考查椭圆方程、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式求最值等，数学思想方法主要考查特值思想和转化思想等．

20．解：（1）由已知得，，…，，

∴，（2分）

∴，（4分）

∵，∴数列是首项为3，公比为3的等比数列．（6分）

（2），

，

∴，（10分）

即．（12分）

［命题意图］考查累加法求通项以及等比数列求和、等比数列的定义、错位相减求和等，数学思想方法主要考查运算思想和迭代思想．

21．解：（1）由已知，，，∴，，（2分）

又，，PB，平面PBE，∴平面PBE，．（4分）

∵是正三角形，，∴．

∵BC与AD相交，∴平面ABCD．（6分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，．

∴，，，

设平面PAB的法向量为，∴即

令，∴．（8分）

设平面PBC的法向量为：，∴即

令，∴．（10分）

∴，

∴平面与平面的夹角的余弦值为．（12分）

［命题意图］考查立体几何中线面垂直的证明、空间向量中平面与平面的夹角的求法、平面法向量的求法等，数学素养方面考查数形结合、整体思想等．

22．解：（1）如图，∵，∴．

∵，∴，∴，∴，即，（3分）

当A，B互换位置时，，（4分）

∴点P的轨迹E为双曲线，其方程为．（5分）

（2）假设直线PH的斜率不存在，则不难发现点P与Q重合，不符合题意．

设PH的方程为，，，则，

将PH的方程代入曲线E，整理得，

，

∴，，（7分）

∵直线PQ过，∴，即，（8分）

∴，

整理得，整理得，

此时，解得，（10分）

直线PH的方程为，故直线PH恒过定点．（12分）

［命题意图］考查利用平面几何知识向双曲线定义转化、双曲线的方程、直线与圆锥曲线关系问题等，数学思想方法主要考查转化思想、特值思想、运算思想等．