2022-2023学年河北省石家庄外国语学校高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄外国语学校高二上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄外国语学校高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知空间向量，且，则x=（    ）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】利用向量平行列方程直接求得.【详解】因为空间向量，且，所以，解得：.故选：C2．抛物线的焦点坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由，得，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，，所以焦点坐标为，故选：D3．“”是“直线和直线垂直”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系求解即可.【详解】当时，两条直线的方程为和，斜率分别为，则，所以两直线垂直，当直线和直线垂直时，，解得，所以“”是“直线和直线垂直”的充要条件，故选:C.4．数列满足，且，则的值为（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，得到数列的周期性，结合周期得到，即可求解.【详解】由题意，数列满足，且，可得，可得数列以3项为周期的周期数列，所以.故选：A.5．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为A． B． C． D．1【答案】A【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为故选：A6．若直线与平行，则与之间的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两条直线平行求出a，再利用平行间距离公式计算作答.【详解】依题意，由解得或，当时，直线，，直线与重合，不符合题意，即，当时，直线，，直线与平行，则，所以与之间的距离.故选：D7．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到的长度.【详解】，，，即线段的长度为.故选：D.8．已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知求出曲线的、、，即可得解.【详解】解：曲线的实轴是，实轴与渐近线的夹角为，故，与的一个交点坐标是，则与曲线对称中心的距离，则，所以，故曲线的焦点坐标为，．故选：A． 二、多选题9．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】依题意，令，解得，故点的坐标为和，故选：AC10．已知圆：，圆：，则（    ）A．B．圆与圆的公共弦所在直线方程为C．圆与圆相离D．圆与圆的公切线有2条【答案】ABD【分析】对A：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；对C：判断与大小关系判断两圆位置关系；对D：根据两圆的位置关系判断公切线的条数.【详解】对于A，由已知，故，故A正确；对于C，两圆半径，，故两圆相交，故C错误；对于B，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确；对于D，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D正确；故选：ABD11．已知双曲线（，）的右焦点为，在线段上存在一点，使得到渐近线的距离为，则双曲线离心率的值可以为（    ）A． B．2 C． D．【答案】AB【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离列出不等式，得到，判断出AB正确.【详解】的一条渐近线方程为，设，，，整理得：，因为，所以，即，解得：，因为，，，，所以AB正确，CD错误.故选：AB12．已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（    ）A．若是等差数列，则B．若是等比数列，则C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或D．若是递增等差数列，对恒成立，则【答案】BC【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前项和求出，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.【详解】因为数列的前项和为，与是方程的两根，由韦达定理得，，，所以解得，或，；对于A选项：若是等差数列，则，故A不正确；对于B选项：若是等比数列，则，因为，所以，则，故B正确；对于C选项：若是递减等差数列，所以，，解得公差，首项，所以，故当或时取得最大值，故C正确；对于D选项：若是递增等差数列，所以，，解得公差，首项1，所以，因为对恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，当且仅当时等号成立，故，则，故D不正确.故选：BC. 三、填空题13．已知函数则的值为_________．【答案】1【分析】对求导，求出，代入，令，即可求出的值.【详解】因为，所以，令，则，所以，所以.故答案为：1.14．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____.【答案】【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值.【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故.故答案为：.15．已知椭圆：的左、右焦点为，，下顶点为，过点作直线垂线，交椭圆于，两点，则的周长是______．【答案】【分析】根据椭圆方程求出、、，即可得到为等边三角形，则为线段的垂直平分线，所以，，再根据椭圆的定义计算可得.【详解】解：椭圆：，则、、，所以，，，则即为等边三角形，所以为线段的垂直平分线，所以，，所以.故答案为：16．已知圆：，过点作直线交圆于两点若平面上，则的最小值为___________.【答案】##【分析】取中点为，连接，则，即为直角三角形；取中点为，连接，则，得到点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，连接，根据圆的性质，求出，再由，即可得出结果.【详解】取中点为，连接，则，即为直角三角形；取中点为，连接，则，即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，连接，因为，所以，由圆的性质可得，，所以.故答案为： 四、解答题17．已知圆，直线l：mx－y＋1－m＝0．(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线l与圆C的位置关系；(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且，求直线l的方程．【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交；(2)或. 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出，求出直线方程.【详解】（1）整理得：，故圆的圆心坐标为，半径为，直线变形为，故直线过定点，因为，故在圆内，所以直线与圆相交；（2）圆心到的距离为，由垂径定理得：，即解得：，故直线的方程为或.18．已知为等差数列的前项和，若．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前50项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求得基本量，从而得解；（2）结合（1）中结论，判断的正负情况，从而利用分组求和法即可得解.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，即，解得，所以.（2）由（1）得，令，解得，所以当时，，则；当时，，则；所以.19．“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．(1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．(2)已知直线是抛物线的对称轴，为直线与水面的交点，为抛物线上一点，分别为抛物线的顶点和焦点．若，，求桥面与水面的距离．【答案】(1)16米(2)8米 【分析】（1）根据题意设抛物线的方程并求得，进而可得结果；（2）先求的坐标，再设的坐标，根据，建立关系，运算求解，进而可得结果.【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知：抛物线过点，代入得，解得，故焦准距为（米）（2）由（1）可得：抛物线的方程为，则其焦点，顶点，设，∵，则，∴，即，又∵，且，∴，解得，故桥面与水面的距离为（米）20．直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．(1)求点到平面的距离；(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）根据已知建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求点到面的距离即可；（2）设点，利用空间向量列出线面角的正弦值式子令其等于，解出即可.【详解】（1）由题意可知：四边形为矩形，则点为中点，又直三棱柱中，，以B为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，则可取，点A到平面的距离；（2）假设存在点P使直线PD与面所成角的正弦值为，记为，，则，其中，则，由第一问知为平面的一个法向量，则，即，则，则，解得或，又，故存在点P使直线PD与面所成角的正弦值为，此时，或.21．已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式和前项和；(2)设,数列的前项和记为，证明：【答案】(1) ，；.(2)证明见解析. 【分析】（1）根据数列递推式，可得，两式相减推出，即可发现数列规律，可得数列通项公式，继而分n为奇数和偶数，讨论求得；（2）利用（1）的结论，求出的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案.【详解】（1）由 ，得,两式相减可得，即 ，因为，则，数列为，即 ，；当n为偶数时，,当n为奇数时， ,故 .（2）由 ,得 ， 所以 .22．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解.【详解】（1）由题可得,，又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，设，则，， 又，则，由可得，所以.同理可得，.所以所以，为定值.