2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期10月考试数学试题（解析版）

2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期10月考试数学试题

一、单选题

1．已知函数，，若对任意的，，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】计算得到，根据题意得到，解得答案.

【详解】，当时，

，当时，

根据题意知： ，故

故选：

【点睛】本题考查了分段函数的值域，恒成立问题和存在问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

2．关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】若，则原不等式为，解得，不合乎题意；

若，由已知条件可得，解得.

综上所述，.

故选：C.

3．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可.

【详解】解：∵，

，

∴.

故选：C.

4．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.

【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，

则对任意的，不等式恒成立，

则不等式，恒成立，

则，恒成立，

得，得，恒成立，

则且，或且，恒成立，

即当时，且，或且，

又当，有，，

得.

故选：C.

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.

5．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】由已知不等式的解集与一元二次根的关系求得，再代入所求不等式后解之即得．

【详解】不等式的解集为，则方程的两根为和3，

所以，解得，

不等式为，即，或．

故选：D．

6．不等式的解集是

A．

B．或

C．或

D．或

【答案】C

【分析】根据分式不等式的求解方法将不等式化为，结合一元高次不等式的求解方法可求得结果.

【详解】由得：，解得：或

不等式的解集为或

故选

【点睛】本题考查分式不等式的求解问题，涉及到一元高次不等式的求解；易错点是忽略分母不等于零的条件.

7．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.

【详解】由题可得和是方程的两个根，且，

，解得，

则，

则函数图象开口向下，与轴交于.

故选：C.

8．已知，条件：，条件：，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.

【详解】，则，

，则，因为，

所以是的充分必要条件.

故选：C

9．关于的不等式的解集为（       ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】D

【分析】原不等式转化为，求解集即可.

【详解】由，解得或.

故选：D

10．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】由利用韦达定理可得，代入所求不等式解不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以即，

不等式等价于，

解得.

故选：A.

11．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．

【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：

①当时，即，

若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；

若时，原不等式为，无解，不符合题意；

②当时，即，

若的解集是空集，则有，解得，

则当不等式的解集不为空集时，有或且，

综合可得：实数的取值范围为；

故选：C．

12．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】是奇函数，单调递增，所以，得，

所以，所以，故选D．

点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围．

二、填空题

13．二次函数的二次项系数为正，且对任意实数恒有，若，则的取值范围是____________.

【答案】

【解析】根据对任意实数恒有，求得二次函数的对称轴，求出的单调性，再结合不等式的条件，求出范围即可.

【详解】解：由于对任意实数恒有，

所以二次函数的对称轴是，

二次函数的二次项系数为正，

在上单调递增，在上单调递减，

，，

，只需，

整理得，解得，

即的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴、单调性，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

14．已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0，1]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得x1+1+﹣a=0成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由得，根据题意可得：解出并且验证等号是否成立即可得出答案.

【详解】解:由,得,

在上递减，在上递增，

对任意的,总存在唯一的,使得成立,

,

解得,

的取值范围是.

故答案为:.

15．已知关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】由题意令，则恒成立，则或，解不等式即可得出答案.

【详解】，即，

令，则恒成立．

所以或,解得，

故实数k的取值范围是．

故答案为：.

16．已知函数，且，则实数a的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合相等的定义进行求解即可.

【详解】设一元二次方程的判别式为，

当时，即时，因此不等式在实数集上恒不成立，因此，符合题意；

当时，即，或时，

设方程的两个根为，

所以，令，

因为，

所以不等式的解集为，

因此，要想该不等式的解集为，

则必有，即，

综上所述：实数a的取值范围是，

故答案为：，

【点睛】关键点睛：根据一元二次不等式解集的性质分类讨论是解题的关键.

三、解答题

17．已知函数

(1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；

(2)对于，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，奇函数

(2)

【分析】（1）利用真数大于0建立不等式，即可求得函数的定义域，再利用奇偶函数的定义，即可判断函数的奇偶性；

（2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的性质，求出的最小值即可求解．

【详解】（1）由，即，解得或，

所以函数的定义域为；

函数的定义域关于原点中心对称，

又因为，

所以是奇函数；

（2）因为时，恒成立，

所以恒成立，

因为，所以在恒成立，

令，，

由二次函数的性质可知，时函数单调递增，时函数单调递减，

而，所以，

所以，即实数的取值范围为．

18．已知函数满足：①；②.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）（1）可得．①，由（2），得，②，联立①②结合，可求得，，进而可得函数的解析表达式；

（2）不等式恒成立等价于在，上恒成立．只需求出．

【详解】（1）（1）

，即，

又（2）

，

，

又，

，．

所以．

（2）

，，，

在，上恒成立．

由于在，上单调递增，

所以，

故，

即．

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.

19．已知在区间，上的值域，.

（1）求的值；

（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）对配方，求出对称轴，讨论若时，若时，若，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求的值；

（2）由题意可得，化为，令，求出的范围，求得右边函数的最小值即可得到的范围；

（3）令，可化为有3个不同的实根，令，讨论的范围和单调性，有两个不同的实数解，，已知函数有3个零点等价为，或，，记，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得的范围.

【详解】（1）在区间，上的值域，.

若时，的最小值为(a)，

由，可得舍去)，满足在区间，上的值域，；

若时，在，递减，的最小值为（3），

由（3），解得(舍去)；

若，则在，递增，的最小值为（1），

由（1），解得.

综上可得，；

（2）由即，

化为，令，由可得，

则，，

记，，由单调递减，可得的最小值为，

则的取值范围是；

（3）令，可化为有3个不同的实根.

令，则，由，当时，，，且递减，

当时，，且递增，

当时，.当时，，且递增，

有两个不同的实数解，，

已知函数有3个零点等价为，或，，

记，则或，

解得或无实数解，

综上可得，的取值范围是.

【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题.

20．已知函数，不等式的解集为．

(1)求的值；

(2)若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）结合一元二次不等式与一元二次方程的根的关系解决.（2）原不等式等价于，然后考虑二次函数，的对称轴分别在三种情况来讨论.

【详解】（1）的解集为，

即的解集为，

，解得；

（2）由Ⅰ可得，

在上恒成立，

即恒成立，

令，

则在上恒成立，

有或或，

解得或或，

综上可得的范围为．

21．（1）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．

（2）若不等式对一切恒成立，求实数x的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）对二次项系数分类讨论，结合判别式可得结果；

（2）变换主元，结合一次函数的性质可得结果.

【详解】（1）因为对一切恒成立

①当a=3时，恒成立，所以a=3符合题意

②当时，，则

综上，a的取值范围为.

（2）因为不等式对一切恒成立

所以对一切恒成立

令，则

，

所以

所以a的取值范围为.

22．已知关于的不等式.

(1)若的解集为，求实数的值；

(2)若，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）结合一元二次不等式根与系数关系解方程可求的值；

（2）原不等式等价于，可分为，，三类情况分类讨论，结合一元二次不等式即可求解.

【详解】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为

，由根与系数关系得：，解得；

（2），

当，不等式为，不等式的解集为；

当时，不等式化为，不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为或，

综上：当时，不等式的解集为；

当，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.