2022-2023学年广西壮族自治区钦州市第四中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区钦州市第四中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

2．定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先可以通过函数为偶函数对一些函数值进行化简，在通过函数单调性进行比较大小．

【详解】因为函数为偶函数，

所以即，

因为在上为减函数，

所以，

所以

【点睛】若函数为偶函数,则满足．

3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知，对任意的，恒成立，然后分和，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，对任意的，恒成立.

当时，则有，合乎题意；

当时，则有，解得.

综上所述，.

故选：C.

【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：

设

①在上恒成立，则；      

②在上恒成立，则；

③在上恒成立，则；

④在上恒成立，则.

4．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列选项中值一定为的是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶函数定义的抽象式，采用赋值法求解，再构造函数，判断错误选项.

【详解】为偶函数，则，令，有.

为奇函数，则，令，有，令，有，∴.

∴，B选项正确；

令，则有，

，

满足定义域为，且为偶函数，为奇函数，

此时，A选项错误；

，C选项错误；

，D选项错误.

故选：B

5．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即，解不等式即可求解.

【详解】由，则，解得且，

所以函数的定义域为

故选：B

6．设,若,则

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.

【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把的定义域为R，转化为不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果.

【详解】由题意可知：当时，不等式恒成立.

当时，显然成立，故符合题意；

当时，要想当时，不等式恒成立，

只需满足且成立即可，解得：，

综上所述：实数a的取值范围是.

故选：D

【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法：

（1）函数性质法

对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.

（2）分离变量法

思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.

（3）变换主元法

特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围.

思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解.

（4）数形结合法

特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解.

8．已知函数，则的值等于

A．4 B．3 C．2 D．无意义

【答案】C

【详解】

故选

9．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据二次根式和分式的意义求解即可

【详解】的定义域应满足，解得

故选：C

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属于基础题

10．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据偶次根式下不小于0，分式的分母不为0列出不等式组，解出即可.

【详解】要使函数有意义，

需满足，解得且，

即函数的定义域为，

故选：B.

11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的定义域为，可得，再求解的解集，即可得函数的定义域.

【详解】由题意可知，函数的定义域为，则函数的定义域满足，则，所以函数的定义域为.

故选：C.

12．若函数，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求和时值域,即可求得的值域.

【详解】① 在上单调递增，

当时,的值域为:

即: 的值域为:

②

令  是开口向上的二次函数,对称轴是:

当时,

,

  故值域是:

的值域为:

故选:D.

【点睛】本题考查了分段函数求值域问题.求分段函数值域时,要先求出每段函数的值域,在求其并集.

二、填空题

13．若函数，则_________.

【答案】##.

【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，解题过程中要注意定义域，属于基础题.

根据定义域首先求出，然后求即为结果.

【详解】∵函数，

∴，

∴，

故填：.

14．已知函数，则函数的值域为___________.

【答案】

【分析】利用配凑法求解析式，然后结合定义域和单调性求值域.

【详解】，则，且，对称轴为，所以在上单调递增，，所以的值域为.

故答案为：.

15．已知函数的定义域为[1，2]，函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】根据抽象函数的定义域求解.

【详解】因为函数的定义域为[1，2]，

所以，所以，

所以令，解得，

故答案为:.

16．若函数的定义域为，则函数的定义域__________．

【答案】

【分析】由题意函数的定义域为，则对于函数中，令，即可求解.

【详解】由题意函数的定义域为，

则对于函数中，令，

解得，

即函数的定义域为，

故答案为：.

三、解答题

17．设，令．

(1)求的解析式

(2)求的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的解析式分段求解即可；

（2）画出图形，利用图像分析即可.

【详解】（1）当时，，

所以，

当时，

所以，

所以.

（2）如图所示：

由图像可知函数的最小值为，最大值为，

故函数的值域为．

18．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；

（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．

【答案】（1）；（2）①，，；②或.

【分析】（1）待定系数法，设，便可由得出，从而可求出，，即得出的解析式；

（2）①利用对应法则即可得到结果；②逆用法则可得结果.

【详解】（1）设，则：

，；

；

；

，；

．

（2）函数

①，，，

；

②当时，，，

又，∴；

当时，，，

又，∴；

当时，，，

又，∴此时无解.

综上，或.

19．（1）已知的定义域为，求的定义域．

（2）已知，求函数的解析式．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据抽象函数的定义域求法，代入计算即可得到结果.

（2）令，根据换元法，即可求得函数的解析式.

【详解】（1）函数的定义域为， 

可得， 则，

则中，，

解得 ，

可得的定义域为； 

令，则，

则，

所以函数的解析式为．

20．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次， 如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．

（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；

（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数．

【答案】（1）（2）这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多．每天最多运营人数为7920.

【详解】试题分析：（1）先设出一次函数的解析式，再代入，利用待定系数法进行求解；（2）先设出有关未知量，结合（1）结论，得到每天运营总人数关于车厢节数的函数，再利用二次函数求其最值．

试题解析：（1）设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b,当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,

得到16=4k+b,10=7k+b．解得:k=-2,b=24,∴y=-2x+24  

设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运营人数最多,设每天运营S节车

厢,则S=xy=x（-2x+24）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72,

所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7 920（人）．

答:这列火车每天往返12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920人．

【解析】1．函数模型及其应用；2．待定系数法；3．二次函数的最值．

【思路点睛】本题考查函数模型及其应用，属于中档题．解决函数应用题的基本步骤：

审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；

建模：利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；

求解：求解数学问题，得出数学结论；

还原：将利用数学知识和方法得到的结论，还原为实际问题的答案．

21．已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．

(1)求的值；

(2)求函数的解析式；

(3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）在不等式中，令可求得的值；

（2）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；

（3）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：对任意，都有恒成立．

令，可得，所以

（2）解：由，知，得．

由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立．

则，即，又，故，

所以，，则，

因为对任意的恒成立，合乎题意.

综上所述，函数的解析式为

（3）解：由（2）可得，则函数在上连续.

①当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以；

②当时，在上单调递增，

所以．

综上，.

当时，恒成立，

即对恒成立，即，

易得函数在上单调递增，，所以，；

当时，恒成立，即恒成立，

因为函数、在上均为增函数，

则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.