2022-2023学年甘肃省兰州市第六十四中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市第六十四中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．等差数列中，，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列的性质，，即可得出结果.

【详解】解：由等差数列的性质，可得，

所以.

故选：A.

2．在等比数列中，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】等比数列的性质可知,故选.

3．等比数列{an}的各项都是正数，若＝81，＝16，则它的前5项的和是（    ）

A．179 B．211

C．243 D．275

【答案】B

【分析】设公比为，根据＝81，＝16，求得公比，再根据等比数列前n项和的公式即可的解.

【详解】解：设公比为，

因为＝81，＝16，所以q4＝，且q>0，

∴q＝，∴S5＝＝＝211.

故选：B.

4．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．

【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．

故选：A．

5．圆 与直线 的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】C

【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系

【详解】圆心为，半径

圆心到直线的距离为

所以直线与圆相离

故选：C

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

6．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.

【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.

故选：C.

7．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.

【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，

所以点到直线的距离为，

所以，直线被圆截得的弦长为.

故选：A.

8．已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.

【详解】因点P在椭圆上，则，又，

于是得，，

而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”，

即，解得，

所以，椭圆的离心率取值范围是.

故选：D.

9．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

二、多选题

10．给出下列几个问题，其中是组合问题的是（    ）

A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数

B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数

C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数

D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数

【答案】AB

【分析】根据组合的定义判断可得选项.

【详解】解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；

而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.

故选：AB.

11．关于抛物线，下列说法正确的是（    ）

A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴

【答案】AD

【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；

对选项B，，焦点为，故B错误；

对选项C，，准线方程为，故C错误；

对选项D，，对称轴为轴，故D正确.

故选：AD

12．已知双曲线，（    ）

A．

B．若的顶点坐标为，则

C．的焦点坐标为

D．若，则的渐近线方程为

【答案】BD

【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B正确，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.

【详解】A项：因为方程表示双曲线，

所以，解得或，A错误；

B项：因为的顶点坐标为，

所以，解得，B正确；

C项：当时，，

当时，，C错误；

D项：当时，双曲线的标准方程为，

则渐近线方程为，D正确，

故选：BD.

三、填空题

13．数列的前项和为，则它的通项公式为________.

【答案】

【详解】由数列的前项和为，当时，，当时，，当时上式不成立，，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.

14．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）

【答案】

【分析】根据展开式的通项公式即得.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

令，可得，

所以展开式中常数项为，

故答案为：.

15．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为2，则_________.

【答案】

【分析】利用中点坐标公式和焦点弦弦长公式即可得出．

【详解】解：由抛物线可得．设，．

线段的中点的横坐标为，．

直线过焦点，

．

故答案为：．

16．已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_______．

【答案】

【解析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．

【详解】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|

∴要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，

只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，此时P纵坐标为2，则横坐标为2

故答案为： 

【点睛】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题．

四、解答题

17．求满足下列条件的直线方程：

(1)过点，与直线平行；

(2)过点，与直线垂直．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由直线的斜率为，利用直线平行可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果；

（2）由直线的斜率为，利用直线垂直可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果.

【详解】（1）因为直线的斜率为，所求直线与直线平行，

所以所求直线的斜率是，                     

因为所求直线过点，

所以所求的直线方程是，即；

（2）因为直线的斜率为，

所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率是，

因为所求直线过点，

所以直线方程为，即.

18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程．

(1)经过点，两点的椭圆；

(2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线；

(3)准线为的抛物线．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，

（2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得；

（3）由题可设，结合条件即得.

【详解】（1）因为椭圆经过点，，

所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，可设方程为，

所以，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）因为双曲线的焦点为，

可设双曲线的方程为，且，

将点代入曲线方程可得，

解得,

所以双曲线的标准方程为；

（3）由题可知抛物线焦点在轴正半轴，可设抛物线方程为，

所以，即，

所以抛物线的方程为.

19．现有8个人（5男3女）站成一排．

(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？

(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？

(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？

(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？

(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？

【答案】(1)5040

(2)4320

(3)21600

(4)20160

(5)14400

(6)2880

【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；

（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；

（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；

（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；

（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；

（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.

【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，

则甲必须站在排头有种排法；

（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，

将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；

（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，

则甲、乙两人不能排在两端有种排法；

（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，

则甲在乙的左边有种不同的排法；

（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，

将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；

（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，

则女生两旁必须有男生，有种不同排法．

20．已知等差数列满足：，．的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得

解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可

试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，

解得，所以，.

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

即数列的前项和.

【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和

21．求和：.

【答案】

【分析】设，结合乘公比错位相减求和，即可求解.

【详解】设，

则，

两式相减得

，

所以.

22．已知为椭圆内一定点，经过P引一条弦AB，使弦AB被P点平分，求弦AB所在的直线方程及弦长．

【答案】；弦长为.

【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式即得.

【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，

由于点为弦的中点，则，得，

由题意得，两式相减得，

所以，直线的斜率为，

所以，弦所在的直线方程为，即；

由，可得，

所以，

所以.