2022-2023学年甘肃省兰州市第六十三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州六十三中高一（上）期末

数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合中的范围，然后直接求即可.

【详解】由得，解得，即，所以.

故选：B.

2. 若函数，则（）

A. 0 B. 1 C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可.

【详解】由，则，

故选：C

3. 在平面直角坐标系中，点位于第（）象限

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

【答案】D

【解析】

【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.

【详解】，，

在第四象限；

故选：D.

4. 命题“”是真命题的充要条件是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果.

【详解】因为命题“”是真命题，

所以在上恒成立，

所以，即，

所以命题“”是真命题的充要条件是.

故选：C

5. 若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（）

A.  B. 1 C. 或2 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性求出最值，即可得出答案.

【详解】解：当时，函数为增函数，

则，

故，解得或（舍去），

当时，函数为减函数，

则，

故，无解，

综上，.

故选：D

6. 下列函数在上为增函数的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.

【详解】因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，

因此选项A不正确；

因为在上为减函数，

所以选项B不正确；

因为在上为减函数，

所以选项C不正确；

当时，，显然函数在上为增函数，

所以选项D正确，

故选：D

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据及诱导公式即可求解.

【详解】∵，

∴.

故选:D．

8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（）

A.

B.

C

D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性结合中间值法比较、、的大小，再利用函数的奇偶性及其在的单调性可得出合适的选项.

【详解】因为，，

所以，，

因为函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，

所以，，

故选：D.

9. 已知函数，下列结论正确的是（）

A. 单调增区间为，值域为

B. 单调减区间是，值域为

C. 单调增区间，值域为

D. 单调减区间是，值域为

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知，函数是复合函数，根据复合函数同增异减的单调性原则可求其单调区间和值域.

详解】要使函数有意义，则有，解得，

所以函数的定义域为.

因为，所以，即函数的值域.

因为当时，在内单调递增，在内单调递减，且在定义域内单调递增，

所以根据复合函数的单调性可得的单调减区间是，增区间为.

故选：C.

10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到一一的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：，）（）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】由条件可推知，再结合对数公式即可求解.

【详解】解：由题意得：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车

故，即

两边取对数即可得，即

那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车

故选：C

二、多选题（本大题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对的2分，有选错的得0分.）

11. 已知函数，则（）

A.

B. 的最小正周期为

C. 把向左平移可以得到函数

D. 在上单调递增

【答案】BD

【解析】

【分析】由正切函数的性质及图象变换规律逐一判断即可得结论．

【详解】，故A错误；

函数的最小正周期为，故B正确；

把向左平移可以得到函数，故C错误；

时，，故在上单调递增，故D正确．

故选：BD．

12. 以下命题正确的是（）

A. 函数与函数表示同一个函数

B. ，使

C. 若不等式的解集为，则

D. 若，且，则的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A，通过化简知，即可判断，对B，根据在同一坐标系内不同底数的指数函数图像特点即可判断，对C利用韦达定理即可，对D利用基本不等式即可求出最值，注意取等条件.

【详解】对于A，，,

故与不是同一个函数，故A错误，

对于B，根据指数函数图像与性质可知，当，的图像在的图像的上方，故对,使，故B正确，

对C，由题意知为方程的两根，且，

由韦达定理得，故，故C正确，

对D，，

当且仅当,即时,等号成立，

故的最小值为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.）

13. 计算：____________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据对数运算法则运算即可.

【详解】.

故答案为：0.

14. 命题“，”为假命题，则的取值范围为__________.

【答案】.

【解析】

【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围.

【详解】因为命题“，”为假命题，

所以命题“，”为真命题，

即时，恒成立，

令，，

所以当的最小值为，

所以，

即的取值范围为，

故答案为：.

15. 已知方程在时有解，求实数a的取值范围___________.

【答案】

【解析】

【分析】将方程在时有解，转化为，与有交点求解.

【详解】因为方程在时有解，

所以，与有交点，

因为，

所以.

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题（本大题共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16. 集合．

（1）若，求；

（2）若是的必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1），；

（2）

【解析】

【分析】（1）将的值代入集合，然后根据交集与并集的定义即可求解；

（2）由题意，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.

【小问1详解】

解：当时，，又，

所以，；

【小问2详解】

解：因为是的必要条件，所以，即，

所以有，解得，

所以实数m的取值范围为.

17. 已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程，结合角的范围求解，再根据诱导公式化简求解即可；

（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.

【小问1详解】

由题意可得：，

或，

又，，

.

故.

【小问2详解】

.

18. 已知函数（其中A>0，，）的部分图象如图所示．

（1）求函数解析式；

（2）将的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数的值域．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）由最大值和最小值确定，由周期确定，由最小值点确定值得函数解析式；

（2）由图象变换得出的表达式，由整体思想结合正弦函数性质得值域．

【小问1详解】

由图知，，，解得，

即．

由图知，函数的图象过点，∴，

∵，∴，∴．

【小问2详解】

由题意得，．

∵，∴，∴，

即函数的值域为．

19. 已知函数是奇函数．

（1）求实数a的值；

（2）判断函数的单调性并加以证明；

（3）若对于任意实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）1；（2）减函数，证明见解析；

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；

（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；

（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.

【小问1详解】

由函数是奇函数，可得：，

即：，，

当时，，此时，

即是奇函数，

综上，.

【小问2详解】

函数为单调递减函数，证明如下，

由(1)得：，任取,且，

则，

，，即：，

，即在上是减函数；

【小问3详解】

是奇函数，

不等式恒成立等价为

恒成立，

在上是减函数，

，即恒成立，

设，可得当时，恒成立，

可得，解得，

故的取值范围为：.